第三章 圆锥曲线的方程章末测试-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线章末测试卷 一、单选题 1．已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（   ）. A． B．或 C． D．或 3．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 4．设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论不正确的是 A．卫星向径的最小值为 B．卫星向径的最大值为 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 二、多选题 9．已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则PB平分 D．若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线 11．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题 12．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则 ． 13．把离心率为的椭圆称为“正椭圆”．已知、为“正椭圆”的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若周长为16，则“正椭圆”方程为 ． 14．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于 ． 五、解答题 15．已知抛物线与双曲线有相同的焦点. (1)求的方程，并求其准线的方程； (2)过且斜率存在的直线与交于不同的两点，求与的值. 16．求满足下列条件的曲线方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点； (2)若动点P在上移动，求点P与点连线的中点的轨迹方程． 17．已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，若直线过点，与的左、右两支交于，两点，且的面积为，求直线的方程． 18．已知椭圆C：，且该椭圆的离心率为，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C交于A、B 两点，线段 AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值； (2)若直线l的方程为，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB为平行四边形，求椭圆C的方程． 19．已知离心率为的椭圆的右焦点为，点为椭圆上第一象限内的一点，满足垂直于轴，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于直线对称，证明：直线过定点. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1.【详解】因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为， 所以抛物线C的准线方程为.故选：D. 2．【详解】当双曲线的焦点在横轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：； 当双曲线的焦点在纵轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：. 综上所述，双曲线的方程为或.故选：D 3．【详解】由题意知，， 所以， 又， 所以， 所以的周长为．故选：C． 4．【详解】因为P是C上的点，且，， 所以，， 又， 故，解得.故选：D 5．【详解】设点，则的斜率为，的斜率为， 故， 所以，故D正确.故选：D 6．【详解】设椭圆上的点为， 则点到直线的距离为，其中， 由，故椭圆上的点到直线的距离的最大值为．故选：D. 7．【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为.故选：D. 8．【详解】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离. 根据椭圆的几何性质有：卫星向径的最小值为， 卫星向径的最大值为，所以A, B正确. 当卫星向径的最小值与最大值的比值越小时， 由，可得越大，椭圆越扁，所以C正确. 卫星运行速度在近地点时,其向径最小，由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等. 则卫星运行速度在近地点时最大，同理在远地点时最小，所以D不正确.故选：D 9．【详解】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确.故选：ACD. 10．【详解】对于选项，若，则抛物线,的焦点为, 由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项正确； 对于选项,若，则抛物线,的焦点为, 由已知条件得，直线的方程为，可得， ，选项不正确； 对于选项,时，∵，∴， 又∵，∴平分，选项正确； 对于选项，若，则抛物线,的焦点为, 延长交直线于点，则，由选项可知，则M，B，Q三点共线，故正确； 故选：． 11．【详解】对选项A，因为，由定义知，故A正确； 对选项B，点在上， 则， 化简得，所以，，B错误； 对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与， 则，又，所以， 故，所以，C正确； 对选项D，设，则， 因为，则，又， 所以，化简得，故，所以，故1，所以，故D正确，故选：ACD 12．【详解】抛物线的准线方程为， 因为点在抛物线上，且，所以，解得. 故答案为： 13．【详解】由题意可得：，则， 又因为周长为16， 所以， 则， 故“正椭圆”方程为. 故答案为：. 14．【详解】 设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，， 为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图， 由椭圆和双曲线定义与对称性知，， 四边形为平行四边形，， ，而，则，因此， 即，于是有，则，， 所以，当且仅当，时取等号．故答案为： 15．【详解】（1）∵双曲线， 可得双曲线的右焦点为， ，则，即， 故的方程为，其准线的方程为. （2）由题意直线过点且斜率存在， 设其方程为， 联立整理得， ，， 则. 16．【详解】（1）因为双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为：， 因为离心率为，所以，解得， 又因为双曲线经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为：； （2）设，中点为， 由题意得，则， 因为动点P在上， 所以，即，化简得. 17．【详解】（1）由题得， ① 由对称性不妨设的顶点为，则， ② 联立①②解得，， 所以的方程为． （2）设，， 当直线的斜率不存在时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 由得， 所以， 解得， 因为，， 所以 ． 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或；又因为，所以， 所以直线的方程为． 18．【详解】（1）依题意，因为，所以    设，则， 两式相减可得， 得，即， 因为M为线段 AB的中点，      则， 直线OM的斜率，直线l的斜率， 于是得是定值， 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.    （2）设点P的坐标为， 由，消去x并整理得：， 则，                  又四边形OAPB为平行四边形，即线段AB与线段OP互相平分， 则，即点， 而点P在椭圆C上，于是得，解得， 所以椭圆C的方程为：. 19．【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，点在椭圆上， 代入椭圆方程，有，解得， 且，可得 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，由 消去，整理得， 因为直线交椭圆于两点，所以， 设，所以， 因为直线和直线关于直线对称， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$