2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册综合测试卷

人教A版（2019）选择性必修第一册 综合测试卷 本试卷共4页，共19小题，满分150分。考试用时120分钟。 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，满足，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 3．“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 6．已知直线与圆交于两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 7．已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 8．已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线过定点 10．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ） A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 11．（多选）已知椭圆，分别为它的左右焦点，点分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线C的焦点为，实轴长为2，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 ． 13．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 14．已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是 ．（把所有正确结论的编号都填上） ①； ②若，则直线MN恒过定点； ③若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为； ④若，则直线MN的斜率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 16．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量，，满足. (1)求A； (2)若角A的平分线交边BC于点D，，求面积的最小值. 17．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 18．已知椭圆的左､右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为. (1)求的方程； (2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围. 19．已知圆：，点，点在圆上运动的垂直平分线交于点 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线交曲线于、两点，求证：以为直径的圆恒过定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版（2019）选择性必修第一册 综合测试答题卡 ( 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） ) 姓名：______________班级：______________ 准考证号 ( 注意事项 1 、 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2 、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3 、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4 、 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] ) ( 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记 ！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 ) 客观题（请用2B铅笔填涂） 1[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 填空题 解答题12.____,_____ 13.___________ 14.___________ 15.（13分） 16.（15分） 17.（15分） 18.（17分） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 19.（17分） $$ 人教A版（2019）选择性必修第一册 综合测试卷（答案） 本试卷共4页，共19小题，满分150分。考试用时120分钟。 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线标准方程类型可直接得出焦点坐标. 【详解】根据抛物线标准方程为可得其焦点坐标为. 故选：B 2．已知空间向量，满足，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值. 【详解】由已知条件得出，解得. 故选：D. 3．“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 4．已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求出切线的斜率，再求直线方程即可，特别要注意直线斜率是否存在. 【详解】因为，所以圆心，半径， ①当切线斜率不存在时，无法与圆相切，舍； ②当切线斜率存在时，不妨设，则，解得. 所以切线方程为. 故选：D. 5．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 6．已知直线与圆交于两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离．因为， 所以，即，解得. 故选：D. 7．已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 8．已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点为椭圆上位于第一象限内的点，设为椭圆的左焦点，计算出、，利用椭圆的定义可得出关于、的等式，进而可求得椭圆的离心率. 【详解】设点为椭圆上位于第一象限内的点，设为椭圆的左焦点， 因为是等边三角形，则，， ，所以，，， 所以，， 由椭圆的定义可得， 因此，椭圆的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线过定点 【答案】BD 【分析】分直线是否过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可判断A；求出直线斜率的范围即可判断B；根据两平行直线的距离公式即可判断C；根据直线过定点问题即可判断D. 【详解】对于A，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故A错误； 对于B，直线的斜率， 所以倾斜角的范围是，故B正确； 对于C，直线，即为， 故直线与直线之间的距离为，故C错误； 对于D，直线，即为， 令，解得， 所以直线过定点，故D正确. 故选：BD. 10．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ） A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 11．（多选）已知椭圆，分别为它的左右焦点，点分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的范围为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的几何性质，结合正切函数的性质，可得判定A错误；设，根据椭圆的方程，以及斜率公式化简运算，可判定B正确；根据椭圆的定义，结合基本不等式，可判定C正确；设直线与椭圆相交于，结合椭圆的定义和三角形的性质，可得判定D正确. 【详解】对于A中，由椭圆，可得， 且，可得，所以，所以A错误； 对于B中，设，则，且，可得， 则为定值，所以B正确. 对于C中，由椭圆的定义，可得， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立，所以C正确. 对于D中，由点Q在椭圆外，设直线与椭圆相交于， 如图所示，则， 因为，且， 可得，即， 所以， 所以，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线C的焦点为，实轴长为2，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】先求出双曲线的基本量，故可求离心率和渐近线方程. 【详解】设双曲线的半焦距为，由题设可得且焦点在轴上， 故可设双曲线方程为：，则即， 故即，故离心率为，渐近线方程为， 故答案为：；. 13．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】3 【分析】设，利用双曲线定义，可得又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积. 【详解】如图，由可知， 设，由定义 ， 的面积为. 故答案为：3 14．已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是 ．（把所有正确结论的编号都填上） ①； ②若，则直线MN恒过定点； ③若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为； ④若，则直线MN的斜率为． 【答案】①④ 【分析】 对于①：根据抛物线的定义分析求解；对于②：设直线MN的方程为，，，根据垂直关系的斜率关系结合韦达定理分析求解；对于③：由题意可知外接圆圆心的纵坐标为，结合抛物线的定义分析求解；对于④：由题意可知直线MN过焦点F，且，结合抛物线的定义分析求解. 【详解】对于①：根据抛物线的定义得，解得， 所以抛物线，，故①正确； 因为直线MN，OM，ON的斜率必存在，设直线MN的方程为，，， 联立方程，相切y得， 则，，， 因为，所以， 解得，满足， 所以直线MN恒过定点，故②错误； 对于③：因为线段OF的垂直平分线，可知外接圆圆心的纵坐标为， 所以外接圆半径为，故③错误； 对于④：因为，可知直线MN过焦点F，且， 设直线MN的倾斜角为， 不妨设M在第一象限，如图，过点M，N分别向准线作垂线段MA，NB，过点N向MA作垂线段NC， 设，则，，， 则，，，， 所以直线MN的斜率为，故④正确． 故答案为：①④. 【点睛】 方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分焦点在x轴，y轴两种情形，结合几何性质列式求解； （2）利用离心率并再分焦点在x轴，y轴两种情形求解. 【详解】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上， 长轴长为4，短轴长为2，即，， 则有，， 故要求椭圆的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为. 则，所以，，， 即椭圆方程为. 若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为. 16．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量，，满足. (1)求A； (2)若角A的平分线交边BC于点D，，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量共线及正弦定理角化边，还有余弦定理由边求角，即可得解； （2）利用等面积思想把角平分线长用进面积公式，然后得到两边关系，再结合不等式，即可求出面积的最小值. 【详解】（1）由得： ， 再由正弦定理角化边得：， 再由余弦定理得：， 又因为，所以； （2）由，， 又因为，，角A的平分线交边BC于点D， 所以有：，整理得：， 由基本不等式得：，所以有：，且时取等号， 即， 即面积的最小值为. 17．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18．已知椭圆的左､右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为. (1)求的方程； (2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的准线得出焦半径，焦点三角形最大面积得出，椭圆关系得出的值，从而得到椭圆方程. （2）由直线与椭圆交点得出方程组，利用韦达定理表示出中点坐标，从而得出中垂线方程，令，用参数表示出，再利用基本不等式得出取值范围. 【详解】（1）焦点在抛物线的准线上，则椭圆半焦距， 当点为短轴顶点时，面积最大，此时， 则， 所以椭圆方程为. （2）当轴时，显然， 当与轴不垂直时，设直线的方程为， 由消去得，， 设，线段的中点， 则， 线段的垂直平分线方程为， 令，得， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号。 于是或， 所以的取值范围是. 19．已知圆：，点，点在圆上运动的垂直平分线交于点 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线交曲线于、两点，求证：以为直径的圆恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义求轨迹方程； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程化简，直线与椭圆必有两个交点，设、，应用韦达定理并假设在轴上存在定点满足题设，计算，由求得值即得． 【详解】（1）的垂直平分线交于点， ，从而， 动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆． 设椭圆的方程为，则，， ，，， 动点的轨迹的方程为； （2）设直线的方程为，则，得， 由题意知，点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 设、，则． 假设在轴上存在定点满足题设，则， 以为直径的圆恒过点， ，即， ， 可化为 ， 由于对于任意的，恒成立，故，解得． 因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为． 【点睛】方法点睛：椭圆中定点问题，首先设直线与椭圆的交点为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，然后设定点为，由定点满足的条件列出恒等式并代入进行转化，利用恒等式知识求得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$