期中测试卷 2024-2025学年 人教版数学九年级上册 （21～24章）

2024-2025学年九年级上学期期中测试卷 一．选择题（共10小题） 1．在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是　　 A．1 B．1， C． D．以上都不对 4．如图，将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若．将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为　　 A．， B． C．， D．， 5．若一元二次方程有实数根，则的值不可能是　　 A． B． C．0 D．1 6．如图，在半径为5的圆中，，是互相垂直的两条弦，垂足为，且，则的长为　　 A．3 B．4 C． D． 7．关于二次函数的图象，下列说法正确的是　　 A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．最小值是 D．图象与轴没有交点 8．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形的中心重合，且与边、相交于、（如图）．图中阴影部分的面积记为，三条线段、、的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，下列说法正确的是　　 A．变化，不变 B．不变，变化 C．变化，变化 D．与均不变 9．“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1372万辆．则这两年新能源汽车销售量年平均增长率为　　 A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则切线长的最小值是　　 A． B．3 C． D．4 二．填空题（共6小题） 11．抛物线的顶点坐标是 　　． 12．已知，，3分别是等腰三角形三边的长，且，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 　　． 13．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角最小是 　　度． 14．如图，点，，，都在直径为的上，若，，则阴影部分扇形的面积是 　　． 15．将进货价为70元件的某种商品按零售价100元件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价元，设每天的利润为元，则关于的函数解析式是　　． 16．抛物线的图象如图所示，点，，，，，在抛物线第一象限的图象上．点，，，，，在轴的正半轴上，△，△，，△都是等腰直角三角形，则　　． 三．解答题（共8小题） 17．解方程： （1）； （2）（用公式法解）． 18．已知二次函数当时取最小值，且抛物线图象经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求抛物线与轴的交点坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为，， （1）若△经过平移后得到△，已知． ①作出平移后的△； ②平移的距离为 　　个单位长度； （2）将△绕点逆时针旋转，得到△． ①作出旋转后的△； ②直接写出、的坐标． 20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）若该方程的一个实数根为，求另一个实数根； （2）若该方程的两个不相等的实数根为和，且，求的值． 21．（2023秋•安次区校级期中）如图，在中，，，直径于点，连接，． （1）求的度数； （2）求的长度． 22．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个， 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 23．如图，为的直径，，为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点，连接． （1）试说明：是的切线． （2）若，，求的长． 24．在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线交轴于点，（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为． （1）若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； （2）当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； （3）是否存在以点，，为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期期中测试卷 一．选择题（共10小题） 1．在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该项不符合题意； ．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； ．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选． 2．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】由题意得：， 即：， 故选． 3．若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是　　 A．1 B．1， C． D．以上都不对 【答案】 【解析】把代入得：， 解得：，， 是一元二次方程， ， 解得：， ， 故选． 4．如图，将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若．将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为　　 A．， B． C．， D．， 【答案】 【解析】如图所示：过点作． 将三角板绕原点顺时针旋转， ，． ． ，． 的坐标为，． 故选． 5．若一元二次方程有实数根，则的值不可能是　　 A． B． C．0 D．1 【答案】 【解析】方程化为一般式为， 根据题意得△， 解得， 即的取值范围为， 所以的值不可能是． 故选． 6．如图，在半径为5的圆中，，是互相垂直的两条弦，垂足为，且，则的长为　　 A．3 B．4 C． D． 【答案】 【解析】作于，于，连接，， ， 半径为5， ， 弦、互相垂直， ， 于，于， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 故选． 7．关于二次函数的图象，下列说法正确的是　　 A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．最小值是 D．图象与轴没有交点 【答案】 【解析】抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线，所以选项不符合题意； 抛物线开口向下，当时，随的增大而减小，所以选项不符合题意； 当时，有最大值，最大值为，所以选项不符合题意； 当时，，此方程没有实数解，抛物线与轴没有交点，所以选项符合题意． 故选． 8．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形的中心重合，且与边、相交于、（如图）．图中阴影部分的面积记为，三条线段、、的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，下列说法正确的是　　 A．变化，不变 B．不变，变化 C．变化，变化 D．与均不变 【答案】 【解析】如图，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， 定值，定值， 故选． 9．“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1372万辆．则这两年新能源汽车销售量年平均增长率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 这款新能源汽车销售量的年平均增长率为． 故选． 10．如图，在中，，，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则切线长的最小值是　　 A． B．3 C． D．4 【答案】 【解析】连接， 切圆于， 半径， ， 圆的半径为1， ， 当最小时，最小， 当时，最小， ， ， ， 的最小值是． 故选． 二．填空题（共6小题） 11．抛物线的顶点坐标是 　　． 【答案】． 【解析】抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12．已知，，3分别是等腰三角形三边的长，且，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 　5或6　． 【答案】5或6． 【解析】①当、为腰时，， 、是关于的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， △， 解得：； ②当和3（或和是腰时，， 把代入方程得， 解得：； 所以或6． 故答案为：5或6． 13．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角最小是 　60　度． 【答案】60． 【解析】 则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合，则最小为． 故答案为：60． 14．如图，点，，，都在直径为的上，若，，则阴影部分扇形的面积是 　　． 【答案】． 【解析】， ， ， ． 故答案为：． 15．将进货价为70元件的某种商品按零售价100元件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价元，设每天的利润为元，则关于的函数解析式是　　． 【答案】． 【解析】设应降价元，销售量为个， 根据题意得：． 故答案为：． 16．抛物线的图象如图所示，点，，，，，在抛物线第一象限的图象上．点，，，，，在轴的正半轴上，△，△，，△都是等腰直角三角形，则　　． 【答案】为：． 【解析】设， △是等腰直角三角形， ， 的坐标为，代入二次函数，则，解得或（舍， 设， △是等腰直角三角形， ， 的坐标为，代入二次函数，得，解得或（舍， 同理可求出，， ， 根据勾股定理可得， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 17．解方程： （1）； （2）（用公式法解）． 【解析】（1）， ， 则， 所以，． （2）， △， 则， 所以，． 18．已知二次函数当时取最小值，且抛物线图象经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求抛物线与轴的交点坐标． 【解析】（1）设抛物线的表达式为：， 则， 将代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）令， 解得：或， 即抛物线与轴的交点坐标为：、． 19．如图，在平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为，， （1）若△经过平移后得到△，已知． ①作出平移后的△； ②平移的距离为 　　个单位长度； （2）将△绕点逆时针旋转，得到△． ①作出旋转后的△； ②直接写出、的坐标． 【解析】（1）①如图1，△为所作； ②平移的距离， 故答案为：； （2）①如图2，△为所作； ②，． 20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）若该方程的一个实数根为，求另一个实数根； （2）若该方程的两个不相等的实数根为和，且，求的值． 【解析】（1）设关于的一元二次方程另一个实数根为， 根据题意得：， ， 即另一个实数根为5； （2）方程的两个不相等的实数根为和， ，， ， 解得或1， 当时，△； 当时，△（不符合题意，舍去）． 综上可得，的值为． 21．如图，在中，，，直径于点，连接，． （1）求的度数； （2）求的长度． 【解析】（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， 在中，， ， ， ． 22．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个， 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【解析】（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； （2）设该零件的实际售价应定为元，则每个的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让车企得到实惠， ． 答：该零件的实际售价应定为50元． 23．如图，为的直径，，为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点，连接． （1）试说明：是的切线． （2）若，，求的长． 【解析】（1）连接， ， ， ， ， ， ， ，为半径， 是的切线； （2）为的直径， ， ，， ，， 即， ， ． 24．在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线交轴于点，（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为． （1）若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； （2）当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； （3）是否存在以点，，为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）在抛物线中，令，则， 解得：或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小． 令，则， ， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （3）假设存在，设点的坐标为， ，， ，，， 当点在轴上方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 当点在轴下方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 综上，抛物线的函数关系式为：或． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$