云南省昆明仁泽中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

昆明仁泽中学 2024-2025 学年上学期 10 月月考高二数学试卷 第 1 页，共 4 页 昆明仁泽中学 2024—2025 学年上学期 10 月月考 高 二 数 学 试 卷 命 题 人 ：胡树平 审 题 人 ：沈正洪 （考试时长：120 分钟 总分：150 分） 班级 __________ 姓名 __________ 学号 __________ 一、 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．设全集U = R ，集合  | 1 0A x x= −  ，集合  | 2 3B x x= −   ， 则图中阴影部分表示的 集合为 A． | 3x x  B． | 3 1x x−   C． | 2x x  D． | 2 1x x−   2．已知复数 z 在复平面内对应的向量为OZ ，O为坐标原点，则 z 为 A．1 B． 2 C． 3 D． 2 3．一个椭圆的两个焦点分别是 ( )1 3,0F − ， ( )2 3,0F ，椭圆上的点 P 到两焦点的距离之和等 于 8，则该椭圆的标准方程为 A． 2 2 1 16 7 x y + = B． 2 2 1 4 3 x y + = C． 2 2 1 16 9 x y + = D． 2 2 1 64 28 x y + = 4．已知直线 1 : 2 5 0l x y+ + = 与 2 : 3 0l x ay b+ + = 平行，且 2l 过点 ( )3,1− ，则 a b = A． 3− B． 2− C．2 D．3 5．若圆 C的圆心为 ( )3,1 ，且被 y轴截得的弦长为 8，则圆 C的一般方程为 A． ² ² 6 2 15 0x y x y+ − − − = B． ² ² 6 2 7 0x y x y+ − − − = C． ² ² 6 2 15 0x y x y+ − + − = D． ² ² 6 2 7 0x y x y+ − + − = 6．已知在四面体O ABC− 中， a OA= ，b OB= ， c OC= ， 1 3 OM MA= ， N 为 BC 的中 点，若MN xa yb zc= + + ，则 x y z+ + = 昆明仁泽中学 2024-2025 学年上学期 10 月月考高二数学试卷 第 2 页，共 4 页 A． 1 3 B． 3 4 C． 1 2 D．3 7．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， ,M N 分别为 1 1,DB A C 的中点，则直线 1A M 和 BN 夹角的余弦值为 A． 3 2 − B． 3 1 − C． 2 3 D． 1 3 8．已知点 ( )1,3A − ，直线 l ： ( ) ( )2 1 2 1 0m x m y m+ − + + − = ，则 A到 l 的距离的最大值为 A． 2 3 B． 2 5 C． 2 6 D． 2 7 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．直线 1l ： ( )1 1 0x a y+ + − = （ Ra ），直线 2l ： 1 2 y x= − ．下列命题正确的有 A． a R ，使得 1 2l l/ / B． a R ，使得 1 2l l⊥ C． Ra  ， 1l 与 2l 都相交 D． a R ，使得坐标原点到 1l 的距离为 2 10．已知 ( 2,1,4), (4,2,0), (1, 2,1), (0,4,4)AB AC AP AQ= − = = − = ，则下列说法正确的是 A． AP 是平面 ABC 的一个法向量 B． , , ,A B C Q 四点共面 C． PQ BC∥ D． 53BC = 昆明仁泽中学 2024-2025 学年上学期 10 月月考高二数学试卷 第 3 页，共 4 页 11．已知圆 2 2: 4O x y+ = ，点 0 0( , )P x y 是圆O上的点，直线 : 2 0l x y− + = ，则 A．直线 l 与圆O相交弦长 2 3 B． 0 0 4 y x − 的最大值是 3 C．圆O上恰有 3 个点到直线 l的距离等于1 D．过点 P 向圆 ( ) ( ) 2 2 : 3 4 1M x y− + − = 引切线， A为切点，则 PA 最小值为 2 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。 12．若点 ( ),P m n 为直线 2 8 0x y− − = 上的动点，则 ( ) 22 1m n+ − 的最小值为 . 13．已知直线 l 过点 ( )1,2,1P 和点 ( )2,2,0Q ，则点 ( )1, 1, 1A − − 到直线 l 的距离为 . 14．人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿 距离”．其定义如下：设 ( )1 1,A x y= ， ( )2 2,B x y= ，则 ,A B 两点间的曼哈顿距离 ( ) 1 2 1 2,d A B x x y y= − + − .已知 ( )1,2M ，若点 P 满足 ( ), 2d M P = ，点 N 在圆 2 2: 6 4 0C x y x y+ + + = 上运动，则 PN 的最大值为 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知 ABC 的顶点坐标为 ( ) ( ) ( )1,6 , 3, 1 , 4,2A B C− − − . （1）若点 D 是 AC 边上的中点，求直线 BD的方程； （2）求 AB 边上的高所在的直线方程. 16．（15 分）如图，四棱锥 P ABCD− 的底面是平行四边形，PD ⊥平面 ABCD，AD BD⊥ ， M 是 PA的中点． （1）证明： PC∥平面 BDM ； （2）若 PD AD BD= = ，求直线 AB 与平面 BDM 所成角的大小． 昆明仁泽中学 2024-2025 学年上学期 10 月月考高二数学试卷 第 4 页，共 4 页 A B CD D1 C1 B1A1 17．（15 分） 在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， 1AD AA= ． （1）证明：平面 1A BD ⊥平面 1 1BC D ； （2）若 2AB AD= ，求二面角 1 1A BD D− − 的余弦值． 18．（17 分）已知圆C 过两点 ( )1,1A − ， ( )1,3B ，且圆心C 在直线 2 1 0x y− + = 上． （1）求圆C 的标准方程； （2）设 ( )2,0D ，过点 D 作两条互相垂直的直线 l 和直线m ， l 交圆C 于 E 、 F 两点，m 交圆C 于G 、H 两点，求 EF 的最小值和四边形 EGFH 面积的最大值． 19．（17 分）已知两个定点 (0,4), (0,1)A B ，动点 P 满足 | | 2 | |PA PB= ，设动点 P 的轨迹为曲 线 E ，直线 : 4l y kx= − ． （1）求曲线 E 的方程； （2）若 l 与曲线 E 交于不同的C 、 D 两点，且 120COD  = （O为坐标原点），求直线 l 的 斜率； （3）若 1k = ，Q是直线 l 上的动点，过Q作曲线 E 的两条切线QM QN、 ，切点为M 、 N ，设点T 在圆 2 2: ( 4) ( 3) 1F x y− + − = 上，求点T 到直线MN 距离的最大值．