第四章 一次函数 专题五一次函数与三角形 讲义 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

专题五一次函数与三角形 【知识点】 1. 一次函数与等腰三角形 (1) 等腰三角形的构造方法：如图①所示，以线段AB 为边的等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心，AB长为半径的圆上(不与线段AB 共线). (2) 等腰三角形存在性问题的解题策略：解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，则需要进行分类讨论. ①几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，最后利用等腰三角形的性质来计算： ②代数法：先罗列三边长，再分类讨论列出方程，然后解方程并检验. 2. 一次函数与直角三角形 (1) 直角三角形的构造方法：如图②所示，以线段AB为边的直角三角形的另一个顶点在以AB为直径的圆上，或过点A，B且与AB垂直的直线上(A，B两点除外). (2) 直角三角形存在性问题的解题策略 解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，则需要进行分类讨论. ①几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，最后利用直角三角形的性质来计算； ②代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验. 3. 一次函数与全等三角形 解决全等三角形存在性问题时，若不能确定所有的对应元素时，则需要讨论. (1) 有一个三角形固定：另一个三角形与这个固定的三角形有一个元素相等，可以画出所有可能的三角形，从而利用全等三角形的性质(对应边相等、对应角相等)列出关系式. (2) 两个三角形都不固定：若条件中有一条边对应相等，就要使这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等； 若条件中有一个角对应相等，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等. 题型1 特殊直线上等腰三角形的构造 【例1】在平面直角坐标系中, 点A(3, 1), O(O, O). (1)在x轴上找一点P，使得△OAP 是以OA为腰的等腰三角形，则满足条件的点 P有几个? (2) 在坐标轴上找一点 P，使得△OAP 是以OA为腰的等腰三角形，则满足条件的点 P有几个? (3) 在坐标轴上找一点 P，使得△OAP 是等腰三角形，则满足条件的点 P有几个? (4) 在x=2上找一点P，使得△OAP是等腰三角形，则满足条件的点 P有几个? 101 举一反三。 1. 认真阅读题目，完成下列各题： (1) 在平面直角坐标系中, 已知点A(1, 1), O(0, O) , 在x轴上确定一点P, 使 为以AO为腰的等腰三角形，则满足条件的点P有几个? 并确定其坐标. (2) 在平面直角坐标系中,已知点A(3, 1),O(0, O) ,在坐标轴上确定一点P, 使 为以 AO为腰的等腰三角形，则满足条件的点P有几个? 并确定其坐标. (3) 在平面直角坐标系中, 已知点A(3, 1), O(0, O),在x轴上确定一点P, 使 为以AO为底的等腰三角形，则满足条件的点 P有几个? 并确定其坐标. 题型2 一次函数与等腰三角形的综合 【例2】如图所示，直线 与x轴交于点. 直线 与x轴，y轴分别交于B，C两点，并与直线 相交于点 D，且 (1) 求点D的坐标; (2) 求出四边形AOCD的面积; (3) 若E为x轴上一点, 且 为等腰三角形，求点 E的坐标. 102 举一反三。 2. 如图所示，直线 交于点 C，直线 与x轴交于点 A, 直线l₂与x轴交于点B(3, 0), 与y轴于点 D(0，3)，已知直线l₁的函数解析式为. (1) 求直线 的解析式和交点 C的坐标； (2) 将直线l₁向下平移a个单位使之经过点 B，与y轴交于点 E： ①求 的面积； ②若点Q为y轴上一动点，当 为等腰三角形，求出点Q的坐标. 题型3 一次函数与直角三角形问题 【例3】如图所示, 在平面直角坐标系中, 点A(12, 0), K(4, 0), 过点A的直线. 交y轴于点N，过K 点且垂直于x轴的直线与过A 点的直线. 交于点M. (1) 试判断 的形状，并说明理由； (2)将AN所在的直线l向上平移. 平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点 D，E. 当直线l平移时(包括l与直线AN重合)，在直线MK 上是否存在点 P，使得 是以DE 为直角边的等腰直角三角形?若存在，直接写出所有满足条件的点 P的坐标； 若不存在，请说明理由. 103 举一反三。 3. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数. 的图象与x轴、y轴分别交于点 A，B，线段OA，AB 的中点分别为点 C，D，点P 为直线OB 上一动点，是否存在点 P，使得 为直角三角形? 若存在，请求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由. 题型4 一次函数与全等三角形问题 【例4】如图所示，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，线段AB的中点为D(3, 2). 将 沿直线CD折叠，使点A 与点B 重合，直线CD与x轴交于点 C. (1) 求此一次函数的解析式； (2) 求点 C的坐标; (3) 在坐标平面内存在点 P(除点C外)，使得以A，D，P为顶点的三角形与 全等，请直接写出点 P的坐标. 104 举一反三。 4. 如图所示，一次函数 的图象与x轴和y轴分别交于点A 和B，再将 沿直线CD对折，使点A 与点B重合、直线CD与x轴交于点 C，与AB交于点 D. (1) 点A的坐标为 ,点B 的坐标为 ; (2) 求OC的长度; (3) 在坐标平面内，是否存在点 P (除点 O 外)，使得 与 全等? 若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，请说明理由. 题型5 由等腰直角三角形构造全等三角形 【例5】如图所示，在平面直角坐标系中，点A(1，1)，点B为x轴上一点. (1) 如图①，将AB绕点A逆时针旋转 得AD，则点 D 在一条定直线上，试求这条直线的解析式； (2) 如图②，B，C两点分别位于两坐标轴负半轴上， 求 5. 如图所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°, A(a, 1), B(0, b), 点O在边AC上,且( 求直线AB的解析式. 题型6 由 角构造全等三角形 【例6】如图①所示，在平面直角坐标系中，直线. 交y轴于点A，交x轴于点B. (1) 点 P 为直线. 上一点，若 求点P坐标； (2) 如图②所示，点E为x轴正半轴上一点，将直线 AE 绕点A 逆时针旋转 ,得到直线 AF, 过点E作AE的垂线交AF于点D. 若直线AD的解析式为 求直线DE 的解析式. 举一反三。 6. 如图所示，直线AB的解析式为. 点A, C在x轴上, 点B在y轴上, (1) 求点A, B, C的坐标; (2) 如图①, 点P在 BA的延长线上, 且. 求点P的坐标； (3) 如图②, 若点 P在线段AB 上, 且. 求点P的坐标. 题型7 隐藏的 角构造等腰直角三角形 【例7】如图所示，直线 与x轴交于点A, 与y轴交于点 B. 若C(0, 2), 于点 E,连接OE. (1) 求. 的度数； (2) 求点E的坐标. 举一反三。 7. 如图所示，直线. 与坐标轴交于点 A，B，直线 与坐标轴交于点 C，D，点E为AB 上一点，且 (1) 直接写出: 的度数； (2) 求点 E的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$