专题四一次函数的图象变换2024-2025学年北师大版数学八年级上册

专题四 一次函数的图象变换 【知识点】 1. 一次函数y= kx+b(k≠0)图象的平移 直线y= kx+b(k≠0, b≠0)可由直线y= kx(k≠0)向上或向下平移得到, 当b>0时, 将直线y= kx沿y轴向上平移b个单位长度，得到直线y= kx+b； 当b<0时，将直线y= kx沿y轴向下平移|b|个单位长度, 得到直线y= kx+b. 方法：(1)k值不变，平移图象上的一个点； (2)k值不变，“上加下减，左加右减”. 2. 一次函数y= kx+b(k≠0)图象的对称 方法：关于x轴：(1) 对称图象上的两个点；(2)k、b均变为相反数； 关于y轴：(1) 对称图象上的两个点； (2) k变为相反数，b不变； 关于垂直轴的直线：对称图象上的两个点，由对称后的两点坐标确定解析式. 3. 一些特殊直线y= kx+b(k≠0) y= kx+b k|=1 过(1, 0)点 过(-1, 0)点 大致图象 举例 y=-x+1, y=x-2等 y=-2x+2, y=3x-3等 y= x+ ,y=-x-1等 重要性质 (1)与y=x或y=-x平行;(2) 与x, y轴的夹角为45°, 并与坐标轴围成等腰直角三角形 k， b互为相反数， 即k+b=0 k=b 另：对于两条直线 当 且 时，两直线平行，反之亦然； 当 时，两直线相交，交点是这两个方程的公共解； 当 时，两直线互相垂直. 4. 一次函数与“将军饮马” “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现. 模型 1——定直线与两定点 (如图①、②所示) “线段和差口诀”：线段之和有最小，对称异侧连线找； 线段之差有最大，对称同侧交点画. 模型2——两定点一定长 (如图③所示) 固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN的最小值，需平移BN(或AM)，转化为模型l解决. 题型 1 一次函数图象的平移问题 【例1】如图所示,在直角坐标系xOy 中,矩形 ABCD 四个顶点的坐标分别为A(1, 1), B(3, 1),C(3, 2), D(1, 2), 直线l: y= kx+b与直线y=-2x平行. (1) 求k的值; (2) 若直线l过点D，求直线l的解析式； (3) 若直线l同时与边AB和CD 都相交，求b的取值范围. 举一反三。 1. 正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在x轴的正半轴上，且A 点的坐标是(1, 0). (1) 直线 经过点C，且与x轴交于点 E，求E 点坐标及四边形AECD 的面积； (2) 若有一直线l经过点 E且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l的解析式； (3) 若直线l₁经过点 且与直线 平行，将(2) 中直线l沿着x轴向左平移1个单位交x轴与点M，交直线l₁于点N，求. 的面积. 题型2 一次函数图象的垂直问题 【例2】已知两直线 若 则有 (1) 应用: 已知 与 垂直, 求k; (2) 直线经过A(2, 3), 且与 垂直，求该直线的函数解析式. 举一反三。 2. 已知：如图所示，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于A, B两点, 过点C(4, 0)作AB的垂线交AB 于点E , 交y轴于点 D, 求点 D, E的坐标. 题型3 一次函数的对称问题 【例3】已知直线 与直线a 关于y轴对称，在同一坐标系中画出它们的图象，并求出直线a对应的函数关系式. 举一反三。 3. 若直线l与直线y=2x-1关于x轴对称，求直线l对应的函数关系式，并在同一坐标系中画出他们的图象. 题型4 一次函数的折叠问题 【例4】如图所示，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是y轴上一点，将 沿直线AC折叠，使点B恰好落在x轴上，求点 C的坐标. 举一反三。 4. 如图所示，直线 与x轴、y轴分别交于点 A 和点B，M是OB 上的一点，若将 沿直线AM折叠，点B 恰好落在x轴上的点 处. (1) 求 的坐标； (2) 求直线AM 的解析式. 题型5 一次函数与“将军饮马”问题 (1) ——定直线与两定点 【例5】如图所示, 已知点A(1, 3), B(5, -2), 在x轴上找一点P, 使: 最小； 最小： 最大. 举一反三。 5.(1)如图①所示, 在直角坐标系中, 已知点A(2, 2)和点B(5, 4),试在x轴上找一点P, 使得以A, B, P为顶点的 的周长有最小值. (2) 如图②所示, 在直角坐标系中, 有点A(2, 3), B(-4, 2), y轴上有一动点P, 当 的值最大时，求 的面积. 题型6 一次函数与“将军饮马”问题 (2) ———两定点一定长 【例6】如图所示，直线 与x轴交于点 B，与直线 交于点A，点E为线段OA 的中点，点F为线段CD 的中点. 长为2的动线段CD(端点C从原点 O开始) 在线段OB上以每秒1个单位的速度向点 B运动，当端点D 到达点B时运动停止. 设运动时间为t秒，当四边形AECF的周长最小时，求运动时间t为多少? 举一反三。 6. 在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且 D 为OC中点, 点 E, F 在线段 OA 上, 点 E 在点 F 左侧, . 当四边形 BDEF的周长最小时，求点E的坐标. 100 学科网（北京）股份有限公司 $$