甘肃省庄浪县紫荆中学2024-2025学年高一新生入学考试数学试题

2024年紫荆中学高一入学考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，只交回答题卡，本试卷自己保留。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则x的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 3．点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（  ） A．（，） B．（-，） C．（-，-） D．（-，-） 4．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，为的直径，为的切线，连结交于点，连结．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．若，是方程的两个根，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．函数定义域为（ ） A． B． C． D． 8．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 10．下列公式正确的是（　　） A． B． C． D． 11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中正确的是（　　） A．abc＞0 B．（a+c）2﹣b2＝0 C．9a+4c＜0 D．若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式组的所有整数解的和为是 _____． 13．方程组的解集为 ． 14．若多项式含有因式，则m的值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）计算或求值： (1)（4分）． (2)（4分）． (3)（5分）已知，，求的值． 16．（15分）把下列各式因式分解： (1)（4分） (2)（3分） (3)（4分） (4)（4分） 17．（15分）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 注：本题换成解方程组，13题换成已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整体代入的方法、整式的乘法，利用整体代入是解题的关键；根据，整理可得，代入求解即可． 【详解】解：， 整理得：① 又② 将①代入②可得：， 故答案为：． 18．（17分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍. (1)甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？ 19．（17分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”； ； ； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程（、是常数，）是“邻根方程”，令，试求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及评分标准 1.【答案】C 【解析】因为，，所以. 2.【答案】D 【解析】由已知有，故，解得.符合题意的选项只有D选项的2.故选：D． 3.【答案】A 【分析】先利用特殊三角函数值，求出sin60°、cos60°的值，再利用坐标系中，任一点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即可求． 【详解】∵sin60°=，cos60°=，∴（-sin60°，cos60°）=（-，），关于y轴对称点的坐标是（，）．故选：A． 4.【答案】D 【分析】由算术平方根与立方根的定义判断. 【详解】由算术平方根的定义，，A错误； 由立方根定义，，B错误； ，C错误； ，，D正确. 故选：D 5.【答案】B 【分析】根据圆周角定理和切线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．本题考查切线的性质、圆周角定理等知识，三角形内角和定理，根据切线的性质求出，根据圆周角定理求出是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 为的切线， ， ， 故选：B． 6.【答案】D 【分析】根据韦达定理，可得答案. 【详解】由题意，，则， 故选：D. 7.【答案】C 【解析】由题知，解得， 所以函数的定义域为，故选：C. 8.【答案】B 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以该函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以，即函数的值域为. 故选：B. 9.【答案】BD 【解析】根据函数的定义可知，一个有唯一的与其对应， 所以AC选项错误，BD选项正确.故选：BD 10.【答案】ABC 【分析】根据数学运算有关公式确定正确选项. 【详解】，A正确， ，B正确， ，C正确， ，D错误. 故选：ABC 11.解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴为直线x2， ∴b＝4a＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＜0， ∴abc＜0，故选项A错误． ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB， ∴点B坐标为（1，0）， ∴x＝1时，y＝a+b+c＝0， ∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a﹣b+c）＝0，故选项B正确． ∵a+b+c＝5a+c＝0， ∴c＝﹣5a， ∴9a+4c＝﹣11a＜0，故选项C正确． ∵x＝﹣2时y取最小值， ∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即am2+bm+2b≥4a，故选项D正确． 故选：BCD． 12.【答案】0 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集,然后求出其公共解集,最后求其整数解即可. 【详解】由得， 由得， 所以不等式组的解集为， 则整数解为，故和为0. 故答案为：0. 13.【答案】 【分析】（1）根据方程组的解法，利用消元法，即可求解； 【详解】由方程组， ①+②，可得，②③，可得， 联立方程组，解得， 代入①式，可得， 所以方程组的解集为. 注：写出方程组的解得3分，写出解集得5分。 14.【答案】2 【解析】由题意可设：另一个因式为， 则， 可得，解得，所以m的值是2. 15.【答案】(1) (2) （3） 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则与运算顺序是解此题的关键． （1）先计算二次根式、特殊角三角函数值、负整数指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． （3），两边平方，代入数据，即可求解. 【详解】（1）解： ；…………………………………………4分 （2）解： ．…………………………………………4分 （3），两边平方得：， 又因为，所以……………………………………5分 16.【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式； （2）利用立方差公式计算即可； （3）利用十字相乘法、分组分解法分解因式； （4）利用完全平方公式和平方差公式计算即可. 【详解】（1）；……………………………4分 （2）；……………………3分 （3） ；……………………………4分 （4）.…4分 【答案】(1)；(2)或；(3)或 17.【解析】（1）可化为 ， 所以解为…………………………………………5分 （2）当时，不等式可化为， 此时不等式解为； 当时，不等式可化为， 此时不等式无解； 当时，不等式可化为， 此时不等式解为； 综上：原不等式的解为或.…………………………………………5分 （3）原不等式可化为， 与同解， 所以不等式的解为：或.…………………………………………5分 18.【答案】(1)元，元； (2)个. 【分析】（1）设出两种粽子的单价，可列方程求解即可； （2）假设最多购进甲种粽子的个数，可列不等式来求解. 【详解】（1）设乙种粽子的单价为元，则甲种粽子的单价是元， 由题意可得：，去分母得：， 解得，经检验，是原方程的解，则， 所以甲、乙两种粽子的单价分别是8元和4元.…………9分 （2）假设最多购进个甲种粽子，则乙种粽子购进个， 由题意得：， 整理得：， 解得： 所以最多购进87个甲种粽子.………………………………8分 19.【答案】(1)不是“邻根方程”， 是 “邻根方程” (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出、的根，即可判断； （2）利用求根公式解出方程，利用，即可解出答案； （3）利用求根公式解出方程，利用，可得，代入，利用二次函数的最值，即可解出答案. 【详解】（1）， 所以， 所以，，，故不是“邻根方程”；…………………………………………3分 ， 所以， 所以，故是 “邻根方程”；…………………………………………3分 （2）因为方程（是常数）是“邻根方程”， 所以方程必有两不相等实根，即，记， 由求根公式有：， 所以， 解得：或；…………………………………………5分 （3）因为方程是“邻根方程”， 记， 所以， 所以， 所以当时，的最大值为.…………………………………………6分 $$