江苏省苏州市2024—2025学年上学期期中考试九年级数学定心卷

2024 年期中考试初三数学定心卷 1. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 二次函数y =-2(x+1(2 - 4，下列说法正确的是 ( ) A. 开口向下 B. 对称轴为直线 x = 1 C. 顶点坐标为 (1,4( D. 当 x<-1 时，y 随 x 的增大而减小 2. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 设 A(-2，y1 )，B(1，y2 )，C(2，y3 ) 是抛物线 y =-x2 - 2x + 2 上的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系为 ( ) A. y1 >y2 >y3 B. y1 >y3 >y2 C. y3 >y2 >y1 D. y3 >y1 >y2 3. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 把抛物线 y = (x+2(2 向下平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，所 得抛物线是 ( ) A. y = (x+3(2 - 2 B. y = (x+1(2 + 2 C. y = (x+3(2 + 2 D. y = (x+1(2 - 2 4. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 点 (-2,y1( ，(3,y2( 与 (4,y3( 为二次函数 y =-x2 - 4x + 5 图象上的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系是 ( ) A. y3 <y2 <y1 B. y1 <y2 <y3 C. y3 <y1 <y2 D. y2 <y1 <y3 5. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 已知 (2，0) 是二次函数y = x2 -x - 2a 图象上的一个点，则 a 的值为 ( ) A. 0 B. - 1 C. 1 D. 2 6. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 如表给出了二次函数 y = ax2 + x + c(a ≠ 0) 的自变量 x 与函数值 y 的部分 对应值，那么方程 ax2 + x + c = 0 的一个根的近似值可能是 ( ) x ⋯ 1 1.1 1.2 1.3 1.4 ⋯ y ⋯ -1 -0.4 9 0.0 4 0.5 9 1.16 ⋯ A. 1.08 B. 1.14 C. 1.28 D. 1.38 7. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 已知 b> 0 时，二次函数 y = ax2 + bx + a2 - 1 的图象如下列四个图之一所 示．根据图分析，a 的值等于 ( ) A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2 8. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 关于 x 的一元二次方程 a (x+1((x-2( + b = 0 (a〈0，b〈0( 的解为 x1，x2，且 x1 < x2 ．则下列结论正确的是 ( ) A. - 1 <x1 < x2 < 2 B. - 1 <x1 < 2 < x2 C. x2 <-1 <x2 < 2 D. x1 <-1 < 2 < x2 9. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 如图，垂直于 x 轴的直线 AB 分别与抛物线 C1 :y = x2 (x≥0(和抛物线 C2 :y = (x≥0(交于 A，B 两点，过点 A 作 CD ∥x 轴分别与 y 轴和抛物线 C2 交于点 C，D，过点B 作EF ∥x 轴分 初三数学 第1页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 别与y 轴和抛物线 C1 交于点E，F，则 的值为 ( ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 )1 ( A. ) ( C. ) ( B. )D. ( 2 4 ) ( 9 ) ( 9 )64 10. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 如图，O 为坐标原点，边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴 上，将正方形 OABC 绕顶点 O 顺时针旋转 75° ,使点B 落在某抛物线上，则该抛物线的解析式为 ( ) 初三数学 第2 页 共8 页 学科网（北京）股份有限公司 B. y =- C. y =- D. y =-3x2 11. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 对于实数 a、b，定义运算“*”；a * b = ，关于 x 的方程 2x * (x-1( = t 恰好有三个不相等的实数根，则 t 的取值范围是 ( ) A. 0 < t < 1 < t < 1 C. - 1 < t < 0 D. - 1 < t < 12. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 函数 y=-x2 + 2|x|+3 的自变量 x 的取值范围为全体实数，其中 x≥ 0 部分 的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于 y 轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x <-1 时，y 随 x 的增大而增大；④当 3 <m < 4 时，关于 x 的方程 -x2 + 2|x| +3 =m 有 4 个实数根．其中正确 的结论个数是 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 13. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 已知抛物线 y=-x2 + 2mx +m，当 -2 <x < 1 时，y 随 x 的增大而增大，m 的取值范围是 . 14. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 抛物线 y = x2 - 2x - 1 与 x 轴的交点坐标分别是 (x1,0( ,(x2,0(，则 = . 15. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 已知二次函数 y = ax2 + bx + c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表. 则 a + b + c 的值是 . x ⋯ -3 -2 -1 0 ⋯ y ⋯ -2 -5 -6 -5 ⋯ 16. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 某商场打出促销广告：某款球鞋 20 双，每双售价 240 元，若一次性购买不超 过 10 双时，售价不变，若一次性购买超过 10 双时，每多买 1 双，则购买的所有球鞋的售价均降低 10 元．已知该 球鞋进价是每双 120 元，若要使该商店从中获利最多，则顾客需一次性购买 双. 17. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y = x2 - 2x - 3 的顶点为 A，与 y 轴 交于点 C，线段 CB ∥x 轴，交该抛物线于另一点B ．平移抛物线 y = x2 - 2x - 3，使其顶点始终在直线 AC 上 移动，当平移后的抛物线与射线 BA 只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，n 的取值范围是 . 18. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 已知函数 y = x2 + x - 1 在m ≤ x ≤ 1 的最大值是 1，最小值是 - ，则m 的 取值范围是 . 19. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 抛物线 y = ax2 - 4ax + 3(a ≠ 0) 与 y 轴交于点A ．过点B(0,1) 作 y 轴的垂 线 l，若抛物线 y = ax2 - 4ax + 3(a ≠ 0) 与直线 l 有两个交点，设其中靠近 y 轴的交点的横坐标为 m，且 |m| < 1，则 a 的取值范围是 . 20. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 二次函数 y = ax2 - 6ax + 5a (a > 的图像与轴交于点 A、B，与 y 轴交于 点 C，过点M(3,1( 的直线将 △ABC 分成两个面积相等的三角形，则 a 的值为 . 初三数学 第3页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 21. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 如图，已知抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴、y 轴正半轴分别交于点 A、B、 D，且点 B 的坐标为 (4，0(，点 C 在抛物线上，且与点 D 的纵坐标相等，点 E 在 x 轴上，且 BE = AB，连接 CE， 取 CE 的中点F，则BF 的长为 . 22. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 如图，正方形 OABC 的边长为 4，OA 与 x 轴负半轴的夹角为 15° ,点B 在抛 物线y = ax2 (a<0( 的图象上，则 a 的值为 . 23. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 如图，利用 135° 的墙角修建一个梯形 ABCD 的储料场，其中BC ∥ CD，并使 ∠C = 90° ,新建墙 BC 上预留一长为 2 米的门EF ．如果新建墙 BE - FC - CD 总长为 16 米，设 CD 的长为x 米. (1) 边AD 的长 (x 的代数式表示)； (2) 当储料场的面积为 48 平方米时，求边 CD 的长； (3) 怎样修建才能使储料场的面积最大？最大面积多少平方米？ 初三数学 第4页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 24. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 OA，OA = 2m，从A 处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．王丽芳同学根据题意在图中建立如 图所示的坐标系，水流喷出的高度 y(m(与水平距离 x (m(之间的关系式是 y = ax2 + bx + c (x>0(，已知水流 的最高点到 OA 的水平距离是m，最高点离水面是m . 求二次函数表达式； (1) 若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外? 25. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 某电商销售一款秋季时装，进价 40 元/ 件，售价 110 元/ 件，每天销售 20 件. 为了庆祝二十大的胜利召开，未来 30 天，这款时装将开展“喜迎二十大，每天降 1 元”的促销活动，即从第 1 天起 每天的单价均比前一天降 1 元．通过市场调研发现，该时装单价每降 1 元，每天销量增加 4 件. (1) 这 30 天内该电商第几天的利润最大？最大利润是多少？ (2) 为了回馈社会，在这 30 天内，该电商决定每销售一件时装，向希望工程捐 a 元 (a > 0,)．要使每天捐款后 的利润随天数 t(t 为正整数)的增大而增大，求 a 的取值范围. 26. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 如图，已知点P 是第一象限内二次函数 y=-x2 + 2mx + 3m2 (m > 0) 图像 上一点，该二次函数图像与 x 轴交于A、B 两点 (A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点 C，连接AC . (1) 线段AB 的长为 (用含m 的代数式表示)； (2) 当m = 1 时，点D 与 C 点关于二次函数图像对称轴对称，若AD 平分 ∠CAP，求点P 的坐标； (3) 若 △ABC 是直角三角形，点E 是AP 与BC 的交点，则 的最小值是多少？直接写出答案即可. 初三数学 第5页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 27. (22 - 23 九年级上·江苏苏州·期中) 已知抛物线 y = ax2 - 2ax + c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点 (点 A 在点B 的 左侧)，与y 轴正半轴交于 C 点，顶点为M，直线MD ⊥ x 轴于点D . 当 a> 0 时，已知 OC = MD，求AB 的长； (2) 当 a< 0 时，若 OC = OB，tan ∠ACB = 2，求抛物线的解析式； (3) 在 (2) 的条件下，作直线AC 和直线BC，点P 为抛物线第一象限上一点，PQ ∥ AC 交直线BC 于 Q 点，求 PQ 的最小值. 28. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 定义：若一个函数图像中存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图 像的“等值点”，例如：点 (1,1(是函数y = 2x - 1 的图像的“等值点”. (1) 分别判断函数y = 2x + 1，y = x2 -x+ 2 的图像上是否存在“等值点”? 如果存在，求出“等值点”的坐标； 如果不存在，请说明理由； (2) 设函数y = (x>0(，y=-x + b (x>0( 的图像的“等值点”分别为点A、B，过点B 作BC ⊥ x 轴，垂足为 C，当 △ABC 面积为 3 时，求 b 的值； (3) 若函数y = x2 - 4(x≥m( 的图像记为 W1，将其沿直线 x =m 翻折后的图像记为 W2，当 W，与 W2 组合成的 图像上恰有两个“等值点”时，请求出m 的取值范围. 初三数学 第6页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 29. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中)“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们 定义一种新的距离：已知 P(a,b)，Q(c,d) 是平面直角坐标系内的两点，我们将 |a - c| +|b - d| 称作P，Q 间的 “L 型距离”，记作 L(P,Q)，即 L(P,Q) = |a - c|+|b - d|．已知二次函数 y1 的图象经过平面直角坐标系内的 A，B，C 三点，其中 A，B 两点的坐标分别为 A(-1,0)，B (0,4)，点 C 在直线 x = 3 上运动，且满足 L(B,C) ≤ BC . (1) 求L(A,B)； (2) 求抛物线y1 的表达式； (3) 已知y2 = 2tx 是该坐标系内的一个一次函数．若D，E 是y2 = 2tx 图象上的两个动点，且DE = 4，求 △CDE 面积的最大值. 初三数学 第7页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 30. (23 - 24 九年级上·江苏苏州·期中) 如图，抛物线 y = ar2 + br + c 与 x 轴分别交于 A (-2,0(、B (6,0(，与 y 轴交 于D(0 ．8(顶点为 C . (1) 求该抛物线的解析式，及顶点 C 的坐标. (2) 如图 (1) 抛物线上是否存在一点P，使得 S△PBD = S△CBD，若存在，求出点P，若不存在，请说明理由： (3) 如图 (2)，将该抛物线绕点B 顺时针旋转 90° ,交y 轴于点F、G，顶点 C 旋转至点E，在旋转后抛物线上EG 之间，是否存在一点M，使得四边形 CGME 面积最大？若存在，请直接写出M 点坐标，若不存在，请说明理由. 初三数学 第8页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 2024 年期中考试初三数学定心卷 参考答案与解析 1. A 【分析】根据二次函数 y =-2(x + 1)2 - 4 和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答 本题. 【详解】解：∵ 二次函数y =-2(x + 1)2 - 4， ∴ a =-2，该函数的图象开口向下，故选项A 正确； 对称轴是直线 x=-1，故选项B 错误； 顶点坐标为 (-1, -4)，故选项 C 错误； 当 x<-1 时，y 随 x 的增大而增大，故选项D 错误； 故选：A . 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答. 2. A 【分析】本题考查了求二次函数的函数值．正确的计算是解题的关键. 分别将各个点坐标代入抛物线解析式，计算求解，然后比大小即可. 【详解】解：将 A(-2，y1) 代入y =-x2 - 2x + 2，得，y1 =-(-2(2 - 2 × (-2( + 2 = 2； 同理y2 =-1，y3 =-6， ∴ y1 >y2 >y3， 故选：A . 3. D 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行作答即可. 【详解】解：∵ 把抛物线y = (x+2(2 向下平移 2 个单位长度， ∴ y = (x+2(2 - 2 ∵ 再向右平移 1 个单位长度， ∴ y = (x+1(2 - 2 故选：D 4. A 【分析】由于 y1，y2，y3 是抛物线上三个点的纵坐标，所以根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y 随 x 的增大而减 小，便可得出y1，y2，y3 的大小关系. 【详解】∵ 抛物线y =-x2 - 4x + 5 =-(x+2(2 + 9， ∴ 对称轴为 x =-2， ∴ 在 x=-2 的右边y 随 x 的增大而减小， ∵ 点 (-2,y1( ，(3,y2(与 (4,y3(为二次函数y =-x2 - 4x + 5 图象上的三点， ∴ y3 <y2 <y1， 故选：A . 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键掌握二次函数图象的性质. 5. C 【分析】把点 (2，0) 代入即可求得 a 的值. 【详解】解：∵ (2，0) 是二次函数y = x2 -x - 2a 图象上的一个点， ∴ 0 = 4 - 2 - 2a， ∴ a = 1， 初三数学 第1页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 故选：C . 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键. 6. B 【分析】本题主要考查了抛物线与 x 轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线y = ax2 + bx + c 与 x 轴的一个交点 在 (1.1,0) 和点 (1.2,0) 之间，更靠近点 (1.2,0)，然后根据抛物线与 x 轴的交点问题可得到方程ax2 + bx + c = 0 一 个根的近似值．掌握二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，是解题的关键. 【详解】解：∵ x = 1.1 时，y = ax2 + bx + c =-0.49； x = 1.2 时，y = ax2 + bx + c = 0.04； ∴ 抛物线y = ax2 + bx + c 与 x 轴的一个交点在 (1.1,0) 和点 (1.2,0) 之间， ∴ 方程 ax2 + bx + c = 0 有一个根约为 1.14 . 故选：B . 7. B 【分析】本题难度中等，考查根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围，先根据所给条件和图象特 征，判断出正确图形，再根据图形特征求出 a 的值. 【详解】解：因为前两个图象的对称轴是 y 轴，所以 - 又因为 a≠ 0，所以 b = 0，与 b> 0 矛盾； 第三个图的对称轴 - > 0，a > 0，则 b< 0，与 b> 0 矛盾； 故第四个图正确. 由于第四个图过原点，所以将 (0,0) 代入解析式，得： a2 - 1 = 0， 解得 a =±1， 由于开口向下， a =-1 . 故选：B . 8. D 【分析】先把关于 x 的一元二次方程 a (x+1((x-2( + b = 0 (a〈0，b〈0( 的解转化为直线和抛物线的交点，再结合图 形进行判断即可. 【详解】解：关于 x 的一元二次方程 a (x+1((x-2( + b = 0 (a〈0，b〈0( 的解就是函数y = a (x+1((x-2(与y=-b 的 初三数学 第2页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 交点的横坐标， ∵ a < 0， ∴ 抛物线开口向下， ∵ b > 0， ∴ y =-b 在 x 轴下方， ∵ x1 < x2， 如图所示： ∴ x1 <-1 < 2 < x2， 故选D . 【点睛】本题考查抛物线与 x 轴的交点，以及直线与抛物线的交点问题，解题关键是把一元二次方程的根转化为直 线和抛物线的交点. 9. B 【分析】此题重点考查学生对二次函数的图象和性质的应用能力．根据二次函数的图象和性质结合三角形面积公 式求解. 【详解】解：设点 A，B 横坐标为 a，则点A 纵坐标为 a2，点B 的纵坐标为 ， “ BE Ⅱx 轴， : 点F 纵坐标为 ， “ 点F 是抛物线y = x2 上的点， : 点F 横坐标为 “ CD Ⅱx 轴， : 点D 纵坐标为a2， “ 点D 是抛物线上的点， : 点D 横坐标为x =、9y = 3a， :AD = 2a，BF = a，CE = a2，OE = 故选：B . 10. B 【分析】过点B 向 x 轴引垂线，垂足为E 点，连接 OB，可得 OB 的长度，进而得到点B 的坐标，代入二次函数解析式 即可求解. 【详解】如图，作BE 丄 x 轴于点E，连接 OB， “ 正方形 OABC 绕顶点 O 顺时针旋转 75O， : 上AOE = 75O， “ 上AOB = 45O， : 上BOE = 30O， : 在Rt△BOE 中，BE = “ OA = 1 ， : OB = 2 ， 初三数学 第3页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 点B 坐标为 设抛物线解析式为y = ax2 (a < 0) 代入点B 坐标 ,- ，得 ， 故选：B . 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，含 30° 角的直角三角形的性质，用待定系数法求函数解析式和勾股定 理的运用，解题的关键是到点B 的坐标. 11. A 【分析】根据题意确定函数的解析式为 2x * (x-1( = 画出函数的图象从图象上观察当关于 x 的方程为 (2x +1(* (x-1( = t 恰有三个互不相等的实数根时m 的取值范围. 【详解】解：由 2x ≤ x - 1 可得 x≤-1，由 2x > x - 1 可得 x >-1 . ∴ 根据题意得 2x * (x-1( = 画出函数的图象如图， 观察函数的图象和直线y = t 有三个不同的交点时，0 < t < 1， ∴ 关于 x 的方程 2x * (x-1( = t 恰好有三个不相等的实数根，则 t 的取值范围是 0 < t < 1 . 故选：A . 12. A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先补全函数图象，再根据图象逐项判断即可. 【详解】解：当 x< 0 时，y=-x2 + 2|x| +3 =-x2 - 2x + 3，补全后的函数图象如下图所示： 由图可知，函数图象关于y 轴对称，故①正确； 函数有最大值，没有最小值，故②错误； 初三数学 第4页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 当 x<-1 时，y 随 x 的增大而增大，故③正确； 当 3 <m < 4 时，直线y =m 与函数图象有 4 个交点，因此关于 x 的方程 -x2 + 2|x| +3 =m 有 4 个实数根，故④正 确； 综上可知，正确的有①③④,共 3 个， 故选A 13. m ≥ 1 【分析】根据题意可得对称轴 x≥ 1，求解即可. 【详解】解：∵ y =-x2 + 2mx +m， ∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线 ∴ 当 x <m 时，y 随 x 增大而增大， ∵ 当 -2 <x < 1 时，y 随 x 的增大而增大， ∴ m ≥ 1， 故答案为：m ≥ 1 . 14. -2 【分析】由抛物线 y = x2 - 2x - 1 与 x 轴的交点坐标分别是 (x1,0( ,(x2,0(，得到 x1,x2 为方程 x2 - 2x - 1 = 0 的两根， 利用根与系数的关系得到 x1 + x2 = 2，x1x2 =-1，将原式变形代入计算可得. 【详解】解：∵ 抛物线y = x2 - 2x - 1 与 x 轴的交点坐标分别是 (x1,0( ,(x2,0( ， ∴ x1,x2 为方程 x2 - 2x - 1 = 0 的两根， ∴ x1 + x2 = 2，x1x2 =-1， 故答案为 -2 . 15. -2 【分析】根据表格可求出该二次函数的对称轴为 x=-1，然后求出 (1，y( 关于 x =-1 的对称点坐标，即可求出 a + b + c 的值. 【详解】解：由表格可知：(-2，-5(与 (0，-5( 是关于对称轴对称的， ∴ 该二次函数的对称轴为 =-1， 设二次函数图象上的点为 (1，y( ，(x，y( ， 由对称性可知 =-1， ∴ x =-3， ∴ (1，y(与 (-3，y( 关于 x =-1 对称， 由表格可知：x =-3 时，y =-2， 令 x = 1 代入y = ax2 + bx + c， ∴ y = a + b + c =-2 . 故答案为：-2 . 16. 11 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．根 据题意，写出y 与 x 的函数关系式，分别根据一次函数和二次函数的性质得到两种情况下获得的最大利润，然后比 较大小即可. 【详解】解：由题意可得， 初三数学 第5 页 共24 页 学科网（北京）股份有限公司 当 0 ≤x ≤ 10 时，y = (240-120(x = 120x， 当 0 <x ≤ 20 时，y = [240-120-10(x-10([x =-10x2 + 220x， 由上可得，y 与 x 的函数关系式为2 +220x ∵ 当 0 ≤x ≤ 10 时，y = 120x，120 > 0， ∴ y 随 x 的增大而增大， ∴ 当 x = 10 时，y 取得最大值 1200， ∵ 当 10 <x ≤ 20 时，y =-10x2 + 220x =-10(x-11(2 + 1210， ∵-10 < 0， ∴ 抛物线开口向下， ∴ 当 x = 11 时，y 取得最大值 1210， ∵ 1200 < 1210， ∴ 当 x = 11 时，该鞋店获利最多， 答：当顾客一次性购买 11 双时，该网店从中获利最多. 故答案为：11 . 17. 1 <n ≤ 4 或n = 【分析】分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h 个单位，则向上平移h 个单位，平移后的抛物线解析式为y= (x - 1 +h)2 - 4 +h，求出直线BA 的解析式为y = x - 5，联立方程组 2 -4+h ，由 Δ = 0 时，解得h = ， 此时抛物线的顶点为 此时平移后的抛物线与射线BA 只有一个公共点；②当抛物线向右平移 k 个单 位，则向下平移 k 个单位，平移后的抛物线解析式为y= (x - 1 - k)2 - 4 - k，当抛物线经过点B 时，此时抛物线的 顶点坐标为 (4, -7)，此时平移后的抛物线与射线BA 只有一个公共点；当抛物线的顶点为 (1, -4) 时，平移后的抛 物线与射线BA 有两个公共点，由此可求解. 【详解】解：∵ y = x2 - 2x - 3 = (x - 1)2 - 4, ∴ 顶点A(1, -4), 令 x = 0，则y =-3, ∴ C(0, -3), 设直线AC 的解析式为y = kx + b, 解得 {r ∴ y =-x - 3， ①如图 1，当抛物线向左平移h 个单位，则向上平移h 个单位， 初三数学 第6页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 平移后的抛物线解析式为y= (x - 1 +h)2 - 4 +h, 设直线BA 的解析式为y = klx + bl , , 解得 ， ∴ y = x - 5, 联立方程组 2 -4 +h ， 整理得 x2 - (3 - 2h)x +h2 -h + 2 = 0, 当 Δ = 0 时，(3 - 2h)2 - 4(h2 -h + 2) = 0, 解得 , 此时抛物线的顶点为 此时平移后的抛物线与射线BA 只有一个公共点； ②如图 2，当抛物线向右平移 k 个单位，则向下平移 k 个单位， ∴ 平移后的抛物线解析式为y= (x - 1 - k)2 - 4 - k, 当抛物线经过点B 时，(2 - 1 - k)2 - 4 - k =-3, 初三数学 第7 页 共24 页 学科网（北京）股份有限公司 解得 k = 0(舍) 或 k = 3， 此时抛物线的顶点坐标为 (4, -7)，此时平移后的抛物线与射线BA 只有一个公共点， 当抛物线的顶点为 (1, -4) 时，平移后的抛物线与射线BA 有两个公共点， ∴ 综上所述：1 <n ≤ 4 或n = . 故答案为：1 <n ≤ 4 或n = . 【分析】将一般式化成顶点式，得到当 时，函数有最小值为：- ，再根据当 x = 1 时：y = 1，利用抛物线的对 称性得到当 x=-2 时，y = 1，根据m ≤ x ≤ 1 时，函数的最大值是 1，最小值是 - ，可知，m 在 - 和 -2 之间，包 括两个端点，即可得解； 解：y = x2 + x - 1 = (x + ∵ a = 1 > 0 ∴ 当 x =- 时，函数有最小值为：- ， 当 x = 1 时：y = 1 + 1 - 1 = 1， 由抛物线的对称性可知：当 x=-2 时，y = 1， ∵ 函数y = x2 + x - 1 在m ≤ x ≤ 1 的最大值是 1，最小值是 - ， 故答案为：-2 ≤ m ≤- . 19. a > 或 a <- 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与 a 的关系，即开口向上时，a > 0，且 a 越大开口越小，开口向下时，a < 0，且 a 越大，开口越大，从而确定 a 的范围. 【详解】+：如图， 抛物线y = ax2 - 4ax + 3(a ≠ 0) 的对称轴为：直线 x =- 设抛物线与直线 l 交点 (靠近y 轴) 坐标为 (m,1( ， ∵ |m| < 1， ∴-1 <m < 1， 当 a> 0 时，若抛物线经过点 (1,1( 时，开口最大，此时 a 值最小， 将点 (1,1(代入y = ax2 - 4ax + 3，得：a - 4a + 3 = 1， 解得 a = ， 初三数学 第8页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ a > ； 当 a< 0 时，若抛物线经过点 (-1,1( 时，开口最大，此时 a 值最大， 将点 (-1,1(代入y = ax2 - 4ax + 3，得：a + 4a + 3 = 1， 解得 ∴ a <- ， ∴ a 的取值范围是a > 或 a <- . 故答案为：a > 或 a <- . 20. /0.9 【分析】本题考查了二次函数和一次函数综合，先得出A (1,0( ,B (5,0(，C (0,5a(，再根据过点M(3,1( 的直线将 △ABC 分成两个面积相等的三角形，得出过点M 的直线为 △ABC 中线，然后进行分类讨论：分别求出各条中线的 函数解析式，将点M 的坐标代入，求出 a 的值，即可. ①当该直线为BC 边上的中线时，②当该直线为AB 边上的 中线时，③当该直线为AC 边上的中线时. 【详解】解：∵ y = ax2 - 6ax + 5a = a (x2 -6x +5( = a (x-1((x-5( ， ∴ 当y = 0 时，x1 = 1,x2 = 5， ∴ A (1,0( ,B (5,0( ， 把 x = 0 代入得：y = 5a， ∴ C (0,5a( ， ∵ 过点M(3,1( 的直线将 △ABC 分成两个面积相等的三角形， ∴ 过点M 的直线为 △ABC 中线， ①当该直线为BC 边上的中线时， 令BC 中点为点D， ∵ B(5,0( ，C (0,5a( ， ∴ D , ， 设直线AD 的函数解析式为y = kx + b， 把A (1,0(，D , 代入得： 解得 ， ∴ 直线AD 的函数解析式为 把M(3,1(代入的：1 = 5a - a = a， 解得 不符合题意，舍去； 初三数学 第9页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 ②当该直线为AB 边上的中线时， 令AB 中点为点E， ∵ A(1,0(，B (5,0( ， ∴ E(3,0( ， ∵ M(3,1( ， ∴ ME ∥ y 轴，不符合题意，舍去； ③当该直线为AC 边上的中线时， 令AC 中点为点F ， ∵ A(1,0( ，C (0,5a( ， ∴ F , ， 设直线BF 的函数解析式为y = kx + b， 把B(5,0(，F , 代入得： r0 =5k +b 解得 ， ∴ 直线BF 的函数解析式为 把M(3,1(代入的：1 =- 解得 ( 10 . )故答案为： 9 21. 2 2 【分析】根据题意A、B 关于对称轴对称，C、D 关于对称轴对称得到AC =BD = 4 2 ，连接AC，由中位线定理得 AC = 2BF，求出AC 长即可得解. 【详解】解：∵ 点 C 在抛物线上，且与点D 的纵坐标相等，D(0，4(，B (4，0( ， ∴ BD =、42 +42 = 4、2 ， ∵ A、B 关于对称轴对称，C、D 关于对称轴对称， ∴ AC =BD = 4 2 ， 初三数学 第10 页 共24 页 学科网（北京）股份有限公司 连AC，BE =AB，CE 的中点是F， 故答案为：2 2 . 【分析】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，连接 OB，过 B 作BD ⊥ x 轴于D，若 OA 与 x 轴负半轴的夹角为 15° ,那么 ∠BOD = 30° ;在正方形 OABC 中，已知了边长，易求 得对角线 OB 的长，进而可在Rt△OBD 中求得BD、OD 的值，也就得到了B 点的坐标，然后将其代入抛物线的解 析式中，即可求得待定系数 a 的值. 【详解】解：如图，连接 OB，过B 作BD ⊥ x 轴于D； 则 ∠BOA = 45° , ∠BOD = 30° ; 已知正方形的边长为 4，则 OB = 4 2 ； Rt△OBD 中，OB = 4 2 ，∠BOD = 30° , 故B(-2 6 ,-2 2 ( ， 代入抛物线的解析式中，得：(2 6 (2a =-2 2 ， 解得 ( 2 12 )故答案为：- 23. (1)18 - 2x (2)4 米或 8 米 (3)CD 的长为 6 米时储料场的面积最大，最大面积为 54 平方米 【分析】(1) 作AG ⊥ BC 于点 G，证明四边形AGCD 是矩形，△ABG 是等腰直角三角形，则BG =AG = x，结合新 建墙BE -FC - CD 总长即可求解； (2) 利用梯形面积公式列方程，即可求解； (3) 设储料场的面积为 S，列 S 关于 x 的二次函数，化为顶点式，即可求出最值. 【详解】(1) 解：如图，作AG ⊥ BC 于点 G， 初三数学 第11页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 “ BC Ⅱ CD，上C =90。，AG 丄BC， ( 。 ): 上C = 上D = 上AGC = 90 ， : 四边形AGCD 是矩形， :AE = CD = x “ BC Ⅱ CD，上BAD = 135。， ( 。 。 ): 上B = 180 -上BAD = 45 ， : △ABG 是等腰直角三角形， :BG =AG = x， “ BE -FC - CD 总长为 16 米，EF = 2， : CG = 16 - CD -BG +EF = 16 -x -x + 2 = 18 - 2x :AD = CG = 18 - 2x； (2) 解：由题意知BC = 16 - CD +EF = 16 -x + 2 = 18 -x， 当储料场的面积为 48 平方米时，(AD+BC( . CD = 48， 即 (18-2x +18-x( . x = 48， 解得 x = 4 或x = 8， 即 CD 的长为 4 米或 8 米； (3) 解：设储料场的面积为 S， 则 S = (AD+BC( . CD = (18-2x +18-x( . x =- x2 + 18x =- (x-6(2 + 54， 因此当 x = 6 时，S 取最大值 54， 即 CD 的长为 6 米时储料场的面积最大，最大面积为 54 平方米. 24. (1)y =-x2 + x + (2) 水池的半径至少为 1 米 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的实际应用. (1) 根据抛物线的顶点式求解即可. (2) 令y = 0 得到-x2 + x + = 0 求得抛物线与 x 轴正半轴的交点坐标，其横坐标就是所求. 【详解】(1)“ 水流的最高点到 OA 的水平距离是m，最高点离水面是m，OA = m， : 抛物线的顶点坐标为 ,A(0, ， 故设抛物线的解析式为y = a(x- 2 + ， : = a(0 - 2 + ， 解得 a =-1， : 抛物线的解析式为y=-(x- 2 + ， : 抛物线的解析式为y=-x2 + x + . (2) 令y = 0 得到 -x2 + x + = 0， 解得 x1 = 1，x2 =- ， 故水池的半径至少为 1 米. 初三数学 第12页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 25. (1) 第 30 天的利润最大，最大利润是 5600 元 (2)0 < a < 6 【分析】(1) 根据每天售出的件数 × 每件盈利 = 利润即可得到的 W 与 x 之间的函数关系式，由函数的性质即可求 出其最大利润以及其哪一天所获得的； (2) 根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题. 【详解】(1) 设销售利润为w 元，销售时间为 x 天， 由题意可知，w = (110 -x - 40) (4x + 20), =-4x2 + 260x + 1400 =-4(x - 32.5)2 + 5625, ∵ a =-5 < 0, ∴ 函数有最大值， ∴ 当 x = 30 时，w 取最大值为w =-4 × 302 + 260 × 30 + 1400 = 5600 元， ∴ 第 30 天的利润最大，最大利润是 5600 元； (2) 设未来 30 天每天获得的利润为y，时间为 t 天，根据题意， 得y = (110 - 40 -t) (20 + 4t) - (20 + 4t)a, 化简，得y =-4t2 + (260 - 4a)t + 1400 - 20a, 每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数 t(t 为正整数) 的增大而增大， ( ∴ - 260 - 4 a )2 ×(-4) > 29.5, 解得，a < 6, 又 ∵ a > 0, 即 a 的取值范围是：0 < a < 6 . 26. (1)4m (2)P ， (3 【分析】(1) 令y = 0，则 -x2 + 2mx + 3m2 = 0，进行计算得即可求出A、B 的坐标，即可得； (2) 根据题意和二次函数的性质依次求出点 C、D、A、B 的坐标，即可得 ∠ABC = 45° ,过点D 作DH ⊥ x 轴交于点 H，得DH = 3，AH = 3，即可得 ∠DAH = 45° ,可得BC ⊥AD， 根据 △CQK 是等腰直角三角形可求出点 Q 的坐标，根据 C 点关于AD 的对称点 G(2,1)，即可得AD 平分 ∠CAG， 设直线AP 的解析式为y = kx + b，即可得，进行计算得出一次函数的解析式为y = x + ，联立方程 ry =-x2 +2x +3 组 {y = x + ，进行计算即可得； (3) 令 x = 0，则y = 3m2，求出点 C 的坐标，令y = 0，则 -x2 + 2mx + 3m2 = 0， 解得 x=-m 或 x = 3m，即可得点A、B 的坐标，设直线BC 的解析式为y = kx + b， 即可得 b (3)3 (k)m (+) =0 ，进行计算即可得一次函数的解析式为y=-mx + 3m2，过点P 作PQ ∥ y 轴交BC 于点 Q，过 点A 作AF ∥ y 轴交BC 于点F，设P(t, -t2 + 2mt + 3m2)，则F(-m,4m2)，Q(t, -mt + 3m2)，由PQ ∥ AF 得 = = ，当PQ 最大时， 有最小值，PQ=-t2 + 3mt =-(t- m(2 + m2，当 t = m 时，PQ 有 最大值 m2，即可得. 【详解】(1) 解：令 y = 0，则 -x2 + 2mx + 3m2 = 0， x2 - 2mx - 3m2 = 0 (x - 3m) (x +m) = 0 初三数学 第13页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 x1 = 3m，x2 =-m， ∵ A 在点B 的左侧，m > 0， ∴ A(-m,0)，B(3m,0)， ∴ 线段AB 的长为：3m - (-m) = 4m， 故答案为：4m； (2) 解：当m = 1 时，y =-x2 + 2x + 3 =- (x - 1)2 + 4， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x = 1， 令 x = 0，则y = 3， ∴ C(0,3)， ∵ 点D 与 C 点关于二次函数图像对称轴对称， ∴ D(2,3)， 令y = 0，则 -x2 + 2x + 3 = 0， x2 - 2x - 3 = 0 (x + 1) (x - 3) = 0 解得 x1 =-1 或x2 = 3， ∵ A 在点B 的左侧， ∴ A(-1,0)，B(3,0)， ∴ OB = OC = 3， ∴ ∠ABC = 45° , 如图所示，过点D 作DH ⊥ x 轴交于点H， ∴ DH = 3，AH = OA + OH = 3， ∴ ∠DAH = ∠ABC = 45° , ∴ BC ⊥AD， ∵ AO = 1， ∴ OK = 1， ∴ CK = 2， ∵ ΔCQK 是等腰直角三角形， ∴ Q(1,2)， ∴ C 点关于AD 的对称点 G(2,1)， ∴ ∠CAQ = ∠QAG， ∴ AD 平分 ∠CAG， 设直线AP 的解析式为y = kx + b， ∴ 解得 ∴ y = x + ， 初三数学 第14 页 共24 页 学科网（北京）股份有限公司 联立方程组 ， 解得 或 ， ∴ P , ； (3) 解：令 x = 0，则y = 3m2， ∴ C(0,3m2)， 令y = 0，则 -x2 + 2mx + 3m2 = 0， 解得 x=-m 或x = 3m， ∴ B(3m,0)，A(-m,0)， 设直线BC 的解析式为y = kx + b， ∴ b (3)3 (k)m (+) =0 ， 解得 b (k)3m (-m)2 ， ∴ y =-mx + 3m2， 如图所示，过点P 作PQ ∥ y 轴交BC 于点 Q，过点A 作AF ∥ y 轴交BC 于点F， 设P(t, -t2 + 2mt + 3m2)， ∴ F(-m,4m2)，Q(t, -mt + 3m2)， ∴ PQ =-t2 + 2mt + 3m2 +mt - 3m2 =-t2 + 3mt，FA = 5m2， ∵ PQ ∥ AF， ∴ AE = AF = 4m2 PE PQ -t2 +3mt ， 当PQ 最大时，有最小值， ∵ PQ =-t2 + 3mt =-(t- m(2 + m2， 当 t = m 时，PQ 有最大值m2， ∴ AE 的最小值是： 4m2 = 4m2 = 4m2 = 16 PE 2 +3m × - + 9 . 27. (1)AB = 、7 (2)y =-x2 + 2x + 3 (3)PQ 没有最小值 【分析】(1) 将抛物线的解析式由一般式变为顶点式，再用参数表示出抛物线的顶点M，根据 OC = MD 可列出c 与 a 的等量关系，再结合根与系数的关系求解即可； 初三数学 第15 页 共24 页 学科网（北京）股份有限公司 (2) 由 a < 0，可知函数图象开口向下，函数的对称轴为：x =- 画出函数图象，连接AC，BC，过A 作AH ⊥ BC 交于点H，AH 与y 轴交于点E，设 CH = n，根据tan∠ACB = 2，则AH = CH ⋅ tan∠ACB = 2n，由 OC = OB，∠COB = 90° ,可知 △COB 为等腰直角三角形，进而可以推理出 △EHC 为等腰直角三角形，则EH = CH = n， 则 n，且EA = EH = n，根据对顶角相等可以推出 △AOE 为等腰直角三角形，则 OE = OA = n，则 OB = OC = n，则A(- n，0(，B( n，0(，由二次函数的对称轴为 x = 1，则A，B 的中点为 ，则 n( = 1，解得：n = ，则A(-1，0(，B ( 3，0(，C ( 0，3(，由三 点坐标可以推出函数解析式； (3) 根据PQ ⎳ AC，则P 为抛物线第一象限的点，根据题意画出图象，分析可知P 点越接近B 点或 C 点时，PQ 的 长度越小，则PQ 的长度可以无限接近于 0, 但不会等于 0，则PQ 没有最小值. 【详解】(1) 解：抛物线 y = ax2 - 2ax + c = a (x-1(2 + c - a， 顶点M为 (1，c - a)， ∵ OC = ∴ 抛物线为y = ax2 - 2ax + 则 x1 + x2 =- = 2，x1 ⋅ x2 = 故 (2) 解：由 a < 0，可知函数图象开口向下，函数的对称轴为：x =- 画出函数图形如下图所示： 初三数学 第16页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 连接AC，BC，过A 作AH 丄BC 交于点H，AH 与y 轴交于点E， 设 CH =n， “ tan上ACB = 2， :AH = CH .tan上ACB = 2n， “ OC = OB，上COB = 90O， : △COB 为等腰直角三角形， : 上1 = 45O，且 上AHC = 90O， : 上2 = 45O， : △EHC 为等腰直角三角形， :EH = CH =n， : CE =、n2 +n2 =、2 n，且EA =EH =n， “ 上3 = 上2 = 45O，上AOC = 90O， : △AOE 为等腰直角三角形， “ 二次函数的对称轴为x = 1， :A，B 的中点为 (1，0)， 解得：n =、2 ， :A(-1，0(，B (3，0(，C (0，3( ， 将A，C 两点坐标代入y = ax2 - 2ax + c 中， 得 +2a +c ， 解得 则函数解析式为：y =-x2 + 2x + 3 . (3) 解：根据题意作出图象，如下图所示， “ PQ Ⅱ AC， :P 为抛物线在第一象限的点， P 点越接近B 点或 C 点时，PQ 的长度越小， 且P 点在第一象限，则P 点不会与B 点，C 点重合， :PQ 的长度可以无限接近于 0, 但不会等于 0， :PQ 没有最小值. 初三数学 第17页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 28. (1) 函数y = 2x + 1 的图象上存在“等值点”为 (-1,-1(；函数y = x2 -x+ 2 的图象上不存在个“等值点” (2)b 的值为 3 +、33 或 3 -、33 (3)m <- 或 <m < 【分析】(1) 根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案； (2) 先根据“等值点”的定义求出函数 y = (x>0(的图象上“等值点”A (3,3(，同理求出Bb,b(，根据 △ABC 的面积为 3 可得 × |b| × |3 - b | = 3，求解即可； (3) 先求出函数y = x2 - 4 的图象上有两个“等值点” ， (，( ， (，再利用翻折的性 质分类讨论即可. 【详解】(1) 在y = 2x + 1 中，令 x = 2x + 1，得 x =-1 ， ∴ 函数y = 2x + 1 的图象上存在“等值点”为 (-1,-1( ； 在y = x2 -x+ 2 中，令 x = x2 -x+ 2，此时 Δ = (-2(2 - 4 × 1 × 2 =-4 < 0，方程无解， ∴ 函数y = x2 -x+ 2 的图象上不存在个“等值点”； (2) 在函数y = (x>0( 中，令 x = ， 解得：x = 3， ∴ A (3,3( ， 在函数y=-x + b 中，令x =-x + b， 解得：x = b, ∴ Bb,b(， ∵ BC ⊥ x 轴， ∴ Bb,0(， ∴ BC = |b| ， ∵ △ABC 的面积为 3， ∴ × |b| × |3 - b | = 3， 当 b < 0 时，b2 - 6b - 24 = 0， 解得 b = 3 - 33 ， 当 0 ≤b < 6 时，b2 - 6b + 24 = 0， ∵ Δ = (-6(2 - 4 × 1 × 24 =-60 < 0， ∴ 方程 b2 - 6b + 24 = 0 没有实数根， 当 b ≥ 6 时，b2 - 6b - 24 = 0， 解得：b = 3 +、33 ， 综上所述，b 的值为 3 +、33 或 3 - 33 ； (3) 令 x = x2 - 4， 解得：x1 = ，x2 = ， ∴ 函数y = x2 - 4 的图象上有两个“等值点” ， (，( ， (， ①当m < 时，W1，W2 两部分组成的图象上必有 2 个“等值点” ， (， , (， 将函数y = x2 - 4(x≥m( 的图像沿直线 x =m 翻折后为：y = (x-2m(2 - 4(x<m( ， 令 x = (x-2m(2 - 4， 初三数学 第18页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 整理得：x2 - (4m + 1)x + 4m2 - 4 = 0， ∵ W2 的图象上不存在“等值点”， ∴ Δ < 0， ∴ (4m +1(2 - 4(4m2 -4( < 0， ∴ m <- ， ②当m = 时，有 3 个“等值点” ，(，( ， (，( ， (，， ③当 <m < 时，W1，W2 两部分组成的图象上恰有 2 个“等值点”， ④当m = 时，W1，W2 两部分组成的图象上恰有 1 个“等值点” ， (， ⑤当m > 时，W1，W2 两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当 W1，W2 两部分组成的图象上恰有 2 个“等值点”时，m <- 或 <m < . 29. (1)5 (2)y1 =-x2 + 3x + 4 (3)10 【分析】(1) 根据题干中对于“L 型距离”的定义，即可求解； (2) 根据二次函数y1 经过点A、B、C 三点，所以只要求出 C 点坐标即可：根据点 C 在直线 x = 3 上运动，所以可设 点 C (3,m(，根据L(B,C) ≤ BC 列方程求解出m 的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线y1 的表达式； (3) 根据 △CDE 的一边DE 长度固定等于 4，所以只要求出顶点 C 到DE 的最大距离即可：由DE 所在的直线y2 = 2tx 过固定点 O (0,0(，故直线y2 的图像是绕点 O (0,0(旋转的直线，当 OC ⊥ 直线y2 时，点 C 到DE 的距离最大，此 时就是 △CDE 的最大面积，根据三角形面积公式求解即可. 【详解】(1) ∵ A(-1,0)，B(0,4)， ∴ L(A,B) = |-1-0| + |0-4| = 1 + 4 = 5； (2) ∵ 点 C 在直线 x = 3 上运动， ∴ 设点 C (3,m(，且B(0,4) 由平面上两点间距离，利用勾股定理得： ∴ BC2 = (3-0(2 + (4-m(2 = 9 + (4-m(2 ∵ L(B,C( = |0-3| + |4-m| = 3 + |4-m| ∴ L2 (B,C( = (3+|4-m|(2 = 32 + 6 |4-m| + (4-m(2 ∵ 0 ≤ L(B,C( ≤ BC ∴ L2 (B,C( ≤ BC2 即 32 + 6 |4-m| + (4-m(2 ≤ 9 + (4-m(2 ∴ 6 |4-m| ≤ 0， 又 ∵ |4-m| ≥ 0 ∴ 4 -m = 0 ∴ m = 4 ∴ C (3,4( ∵ 二次函数y1 的图像经过A (-1,0(，B (0,4( ，C (3,4( ， ∴ 设y1 = a1x2 + b1x + c1 ∴ 代入解析式得： √ a1 -b1 +c1 =0 {c1 =4 L9a1 +3b1 +c1 =4 初三数学 第19页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 (a1 =-1 解方程组得：{b1 =3 (c1 =4 ∴ 抛物线y1 的表达式为y1 =-x2 + 3x + 4； (3) ∵ y2 = 2tx 令 x = 0 时，y2 = 0 ∴ 直线y2 恒过定点 O (0,0( ∴ 直线y2 的图像是绕点 O (0,0(旋转的直线， ∴ 当 OC ⊥ 直线y2 时，点 C 到DE 的距离最大，△CDE 面积也最大，即 S△CDE = ⋅ DE ⋅ OC， ∵ OC = 42 +32 = 5，DE = 4 ∴ △CDE 面积最大值为 × 4 × 5 = 10 . 30. (1)y =- x2 + x + 8，顶点 C 的坐标为 (2, (2) 存在，P1 (4,8(，P2 (3 +、17 , P3 (3 - 17 ,( (3) 存在，M , 【分析】(1) 利用待定系数法，将A(-2,0)、B (6,0(、D (0,8(代入抛物线表达式，即可求出抛物线解析式，再将解析式 化为顶点式即可求出顶点坐标； (2) 利用待定系数法求出直线BD 的解析式，由 S△CBD = S△CDK + S△CKB 求得 △CBD 的面积，根据同底等高的三角形 面积相等及平行线的性质，过点 C 作BD 的平行线与抛物线相交于点P1，则 S△BDP1 = S△CBD，待定系数法求出直线 CP1 的解析式y =- x + ，根据直线 CP1 与抛物线相交，列方程组即可求出直线 CP1 与抛物线的交点P1 的坐 标，将直线 CP1 的解析式转化为y =- x + 8 + ，即可得到直线 CP1 是由直线BD：y =- x + 8 向上平移 个单位所得，将直线BD：y =- x + 8 向下平移 个单位得直线 l：y =- x + 8 - =- x + ，则直线 l 与 抛物线的交点为点P，满足 S△PBD = S△CBD，求出直线 l 与抛物线的交点即可； (3) 如图，令原抛物线的对称轴与 x 轴的交点为点H，则点H 坐标为 (2,0)，连接BC，BE，过点E 作EQ ⊥ x 轴，垂 足为点 Q，连接BG，将BG 逆时针旋转 90° 得点 Gl 在原抛物线上，过点B 作y 轴的平行线BR，过点 Gl 作 GlR ⊥ BR，点R 为垂足，通过构造全等三角形 △CHB ≌ △BQE，求出点E 的坐标为 ,4(，同理得 △OBG ≌ △RBGl，求 出点 Gl 的纵坐标，代入原抛物线解析式y =- x2 + x + 8，即可得出点 Gl 坐标，进而求出点 G 的坐标为 (0, -1)，由题意可设旋转后的抛物线解析式为 x = ay2 + by + c，将点 G，E，B 的坐标代入抛物线解析式，求解即可得 抛物线的解析式为 x =- y2 + y + 6，再根据 S四边形CGME = S△CGE + S△GEM，可得当 S△GEM 最大时，S四边形CGME 有 最大值，即当与 GE 平行的直线与旋转后的抛物线相切时，切点为M，S△GEM 最大，已知点 G，E 的坐标，利用待定 系数法，求得直线 GE 的解析式为y = x - 1，可设与 GE 平行的切线解析式为y = x - 1 +m，利用切线与抛 物线只有一个交点，联立抛物线与切线解析式得方程 - y2 + y + 6 = y + - m 有两个相等的实数根， 根据 Δ = 32 - 4 × (-1) (4 + 5m) =0，求得m =- ，即可得到切线解析式，联立抛物线与切线解析式得 - y2 + y + 6 = y - ，求出点M 的坐标，再验证点M是否在EG 之间即可. 【详解】(1) 解：将A(-2,0)、B (6,0(、D (0,8(代入抛物线表达式y = ax2 + bx + c， (4a-2b +c =0 a =- ( ( c = 8 )得：{( c (3)6b +c =0 ，解得 b = ， 初三数学 第20 页 共24 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 抛物线表达式为 x + 8， 将抛物线表达式化为顶点式得：y =- x + 8 =- ∴ 顶点 C 的坐标为 (2) 解：设直线BD 的解析式为y = kx + b， 将B(6,0(、D (0,8(代入直线BD 的解析式y = kx + b， 得 b =0 ，解得 ， ∴ 直线BD 的解析式x + 8， ∵ 抛物线的顶点 C(2, ， ∴ 抛物线的对称轴是 x = 2， 如图，令对称轴与BD 的交点为K， 则由题意得 x +8 ，解得 ∴ S△CBD = S△CDK + S△CKB = CK ⋅ xC + CK(xB -xC) = CK ⋅ xB = yC -yK) ⋅ xB = - × 6 = 16， 过点 C 作BD 的平行线与抛物线相交于点P1，则 S△BDP1 = S△CBD， 设直线 CP1 的解析式为 ， 将点 C(2, 代入直线 CP1 的解析式 x + b， 得 × 2 + b = 解得 ， 初三数学 第21页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 直线 CP1 的解析式为 ， ∴ 得方程组 x +8 ，解得 ， ∴ P1 (4,8)， ∵ 直线 CP1 的解析式为 x + 8 + ∴ 直线 CP1 是由直线BD：y =- 向上平移 个单位所得， 将直线BDy =- 向下平移 个单位得到直线 l：y =- x + 8 - 则直线 l 与抛物线的交点为点P，满足 S△PBD = S△CBD， ∴ 得方程组 x +8 ，解得 综上所述得，抛物线上存在一点P，使得 S△PBD = S△CBD，点P 的坐标为(4,8( ， (3) 解：如图，令原抛物线的对称轴与 x 轴的交点为点H，则点H 坐标为 (2,0)，连接BC，BE，过点E 作EQ ⊥ x 轴， 垂足为点 Q，连接BG，将BG 逆时针旋转 90° 得点 Gl 在原抛物线上，过点B 作y 轴的平行线BR，过点 Gl 作 GlR ⊥ BR，点R 为垂足， ∵ 原抛物线绕点B 顺时针旋转 90° ,顶点 C 旋转至 点E， ∴ ∠CBE = 90° , BE =BC， ∵ ∠CHB = 90° , ∠BQE = 90° , ∴ ∠HCB + ∠HBC = 90° , ∠HBC + ∠QBE = 180° -90° = 90° , ∴ ∠HCB = ∠QBE， 在 △CHB 和 △BQE 中， ∴ △CHB ≌ △BQE， 又 ∵ C(2, 初三数学 第22 页 共24 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ BQ = CH = ，EQ =BH = 6 - 2 = 4， ∴ xE = OB +BQ = 6 + = ，yE = 4，即E ,4(， ∵ ∠OBG + ∠GBR = 90° , ∠GlBR + ∠GBR = 90° , ∴ ∠OBG = ∠RBGl， 又 ∵ BG =BGl，∠BOG = ∠BRGl = 90° , ∴ △OBG ≌ △RBGl， ∴ RGl = OG，BR =BO = 6， ∴ yGl =-6， ∵ 点 Gl 在原抛物线上， 将yGl =-6，代入y =- x2 + x + 8， 得 - x2 + x + 8 =-6，解得 x1 =-4(舍去)，x2 = 7， ∴ Gl (7, -6)， ∴ RGl = xGl -xB = 7 - 6 = 1， ∴ OG =RGl = 1， ∴ G(0, -1)， 根据题意设旋转后的抛物线解析式为：x = ay2 + by + c， 将E ,4(，B(6,0)，G(0, -1) 代入抛物线解析式 x = ay2 + by + c， 得 {-ac (b)0 (c) = ，解得 ， ∴ 旋转后的抛物线解析式为：x =- y2 + y + 6， ∵ S四边形CGME = S△CGE + S△GEM，S△CGE 的值固定， ∴ 当 S△GEM 最大时，S四边形CGME 有最大值， 当与 GE 平行的直线与旋转后的抛物线相切时，切点为M，S△GEM 最大， 设直线 GE 的解析式为：y = kx + b， ( L b =- 1 L b =- 1 )将E ,4(，G(0, -1) 代入解析式y = kx + b， 得 {( k +b =4 ，解得 {(k = ， ∴ 直线 GE 的解析式为：y = x - 1， 设与 GE 平行且与旋转后的抛物线相切的切线解析式为：y = x - 1 +m，转化为x = y + - ， 当直线与抛物线相切时只有一个交点， ∴ 联立抛物线与切线解析式得 - y2 + y + 6 = y + - m， 去分母，合并同类项得 -y2 + 3y + 4 + 5m = 0， ∵ 方程有两个相等实数根， ∴ Δ = 32 - 4 × (-1) (4 + 5m) = 0， 解得m =- ， ∴ 切线的解析式为y = x - 1 - = x - ， 联立抛物线与切线解析式得 - y2 + y + 6 = y - ，解得y = ， 初三数学 第23页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 切点M坐标为 ( 2 3 ， 2 )∵ 0 < 25 < 50 -1 < 3 < 4， ∴ M , 在旋转后的抛物线上EG 之间 故在旋转后抛物线上EG 之间，存在一点M，使得四边形 CGME 面积最大，坐标为M , . 初三数学 第24页 共24页 $$