6.4.1 用样本估计总体的集中趋势 课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

6.4.1 用样本估计总体的集中趋势 湘教版（2019）必修第一册 学习目标 1.结合实例, 能用样本估计总体的集中趋势 2.理解集中趋势参数的统计含义 重点 难点 新课导入 平均数、中位数、众数、方差等数据表示数据的集中趋势或离散程度. 思考一下：在初中，我们用什么数据的集中趋势或离散程度的数字特征？ 我们在研究一个对象时, 往往不是那么容易获取其全部数据, 这时, 可以采用随机抽样的方法在总体中抽取样本. 由于样本是从总体中随机抽取的部分数据, 因而样本蕴含着总体的许多信息, 这使得我们有可能通过样本的某些特性去估计总体的相应特征. 在高中，用什么数据表示样本的集中趋势？ 新课学习 首先介绍几个统计概念. 参数 参数的字母表示 常见的总体参数 新课学习 统计量 常见的统计量 统计量的字母表示 新课学习 平均数 平均数也称均值,是刻画一组数据集中趋势最主要的指标. 思考一下：给定一组数据，如何计算平均数？ 查 新课学习 思考一下：求和符号具有什么性质？ 查 新课学习 思考一下：总体均值和样本均值有什么区别？ 查 例1 一种产品需要人工组装, 现有A，B两种可供选择的组装方法. 为检验哪种方法生产效率更高，现随机抽取 29 名工人并随机分成两组：第一组 14 人，采用方法A 组装；第二组 15 人，采用方法B组装. 让两组工人在相同的时间内组装产品, 得到组装好的产品数量(单位: 个)如下表所示: 新课学习 思考：哪组组装方法的效率更高？ 新课学习 分析：平均数刻画了一组数据的平均水平. 我们要比较组装方法在相同时间内的效率时, 可以分别计算用不同组装方法得到的产品数量的平均数, 再通过平均数来进行比较. 由于在相同时间内, 方法A的平均产量高于方法B的平均产量, 所以我们可以认为方法A的效率更高. 新课学习 例2 下表是某地统计局调查100 户家庭月均用水量 (单位: t) 的频率分布表. 新课学习 思考：试根据该表估计该地每户家庭的月均用水量？ 分析:要确定这100户家庭的月均用水量, 就必须计算其总用水量. 由于每组中每户月用水量只是一个范围, 因此可用各组区间的组中值 (位于各组中央的值) 近似地表示. 方法一： 100 户家庭的月总用水量约为 因此, 估计该地每户家庭的月均用水量为2.02t . 新课学习 方法二： 求组中值与对应频率之积的和 因此, 估计该地每户家庭的月均用水量为2.02t . 新课学习 例3 某市进行家庭人均年收入调查时, 分别对城镇家庭和农村家庭进行调查. 在全部城镇的85679户中无放回地随机抽取了350户，在全部农村的275692户中无放回地随机抽取了360户. 调查结果为：城镇家庭人均年收入是35612元，农村家庭人均年收入是6623元. 试估计该市家庭人均年收入. 此抽样为分层抽样，但不是同比例抽样. 设总体A表示该市所有家庭的人均年收入，总体A分为两层: 第一层A1对应所有城镇家庭的人均年收入，第二层A2对应所有农村家庭的人均年收入. 新课学习 新课学习 层权的定义 简单估计的定义 新课学习 众数的定义 我们称观测数据中出现次数最多的数是众数, 用M0表示.如果观测数据中每个数出现的次数都相同, 它就没有众数. 一组数据可以有两个或多个众数. 思考一下：众数的优点是什么？ 众数作为一组数据的代表, 能反映一组数据的集中趋势, 它不受数据组中极端值的影响 新课学习 中位数的定义 将一组观测数据按从小到大的顺序排列后, 我们称处于中间位置的数是中位数,用Me表示.具体而言，当数据的个数是奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时, 则中间两个数的平均数即为中位数. 思考一下：中位数的性质是什么？ 由中位数的定义可知, 所研究的数据中至少有一半小于或等于中位数, 至少有一半大于或等于中位数. 新课学习 思考一下：中位数的优点是什么？ 中位数的作用与算术平均数有些相近, 可以用来表示总体的 “中等” 水平, 因此中位数作为一组数据的代表, 也能反咉一组数据的集中趋势.中位数不受数据组中极端值的影响, 从而具有较好的稳定性. 由于中位数是一种位置的平均数, 因此世界许多国家或地区在分析人口统计数据时, 常将年龄中位数作为分析人口年龄分布状况和集中趋势的重要指标. 新课学习 例 4 假设通过抽样调查, 获得了某市100户居民某年的月均用电量 (单位: kW h), 按从小到大顺序排列为: 新课学习 思考：计算样本数据的中位数、众数, 并据此估计该市每户居民月均用电量的中位数、众数？ 因此，估计该市居民每户月均用电量的中位数是66.0 ，众数是62.4. 新课学习 例5 某创业公司全体职工某月的奖金如下： 思考：试求出该公司该月奖金数据的众数、中位数和平均数？ 新课学习 我们把这组数据的众数、中位数、平均数表示在下图中. 新课学习 思考：你认为用平均数、中位数或众数中的哪一个更能反映该公司的月奖金水平? 由于大多数员工的月奖金达不到平均数3115 , 显然用平均数作为该公司员工月奖金的代表值并不合适；众数2000及中位数2250在一定程度上代表了大多数人的月奖金水平，较能反映月奖金水平的实际情况. 新课学习 思考：能用该公司的月奖金数据估计全国该类创业公司的月奖金水平吗？说说你的理由? 由于全国各地的月奖金差异性较大, 因而不能用一个公司的数据估计全国该类公司的月奖金水平. 课堂巩固 D 课堂巩固 D 课堂巩固 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 C 课堂巩固 课堂巩固 97 课堂巩固 7.5 总结一下 3.众数的定义以及众数的优点 4.中位数的定义以及中位数的优点 1.平均数的定义 2.平均数的计算公式 谢 谢 您 的 观 看 参数是用来描述总体特征的指标. 常见的总体参数有总体平均数、众数和中位数以及总体方差等等. 在统计中，总体参数通常用希腊字母表示. 如总体平均数用 表示. 统计量是用来描述样本特征的指标. 它是根据样本计算出来的量. 常见的统计量有样本平均数、样本方差等. 统计量通常用英文字母来表示, 如样本平均数用 表示. 若样本容量为n，第i个个体是 ，则样本平均数 这一公式在数学中常简记为 ，其中的符号“ ”表示求和，读作“西格玛”， 右边式子中的i表示求和的范围，其最小值与最大值分別写在 的下面与上面. （3） ； （4） . （1） ； （2） ； 总体均值是总体的指标，是一个固定的量. 而样本均值依赖于样本的选择，不同的样本通常有不同的样本均值. 因此我们说样本均值带有随机性.在随机抽样的前提下，当样本容量增加时，样本均值 会向总体均值 接近.于是，称 为 的估计. 设两组工人采用方法A，B组装的平均产量分别为 ， ，则 （个） （个） 又 ； 总结：一般地, 若取值为 的频率分別为 ,则其平均数为 . 用 表示来自总体 的样本均值，用 表示来自总体 的样本均值，则 ， . 在A中所占的比例是 . 在A中所占的比例是 . 所以A的总体均值的估计是 . 即该市家庭人均年收入的估计是13496元. 我们知道，在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用 表示第i层 的个体总数，则有 . 我们称 为第i层的层权. 对 ，用 表示从第i层抽出样本的均值. 我们称 是总体均值 的简单估计. 由于100为偶数，所以最中间存在两个数，第50位是65.9，第51位是66.1 ， 所以中位数为 . 由上述数据可知，众数为 62.4. 在上述80个数据中，2000 出现了22次，出现的次数最多，因此这组数据的众数是2000 . 把这80个数据按从小到大的顺序排列后，位于中间的数是2000，2500 ，因此这组数据的中位数是 . 这组数据的平均数为 1.某篮球兴趣小组有7名学生参加投篮比赛，每人投10次，投中的次数分别为8，5，7，5，8，6，8.则这组数据的众数和中位数分别为( ) A.5，7 B.6，7 C.8，5 D.8，7 解析：数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，因此，这组数据的众数为8，中位数为7．故选：D. 2.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为 ，众数为 ，平均值为 ，则( ) A. B. C. D. 解析：由图，得分从小到大，中位数为第15和16名的平均值，则 ， 而众数为 ，平均数 ， 所以 . 3.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是( ) A.众数<中位数<平均数 B.众数<平均数<中位数 C.中位数<平均数<众数 D.中位数<众数<平均数 解析：由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值， 显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数， 由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数， 所以众数<中位数<平均数.故选：A 4.为了迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中两个数据被遮盖. 成绩\分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是( ) A.平均数，方差 B.中位数，方差 C.中位数，众数 D.平均数，众数 解析：由表格数据可知，成绩为91分、92人的人数为 人， 成绩为100分的出现的次数最多，所以成绩的众数为100， 成绩从小到大排列后处在第25/26为的两个数都是98分，所以数据的中位数为98，所以中位数和众数与被遮盖的数据无关. 5.某同学10次数学检测成绩统计如下：95，97，94，93，95，97，97，96，94，93，这组数据的众数为___________． 解析：在10次数学检测成绩中，93、94、95各有2次，96有1次，97有3次， 所以这组数据的众数是97. 6.有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_________. 解析：依题意可得极差为 ，平均数为 ， 所以 ，解得 ，所以中位线为 . $$