精品解析：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

会泽县茚旺高级中学 2024年春季学期高二年级6月月考考试试题 数 学 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22个小题，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.注意：答在试卷上无效） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某校安排三个年级的课外活动，时间在周一至周五，要求每个年级只参加一次且每天至多安排一个年级且高三年级安排在另外两个年级的前面，则不同的安排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知向量，，，则实数m的值为（    ） A. B. C. D. 1 6. 函数在区间的部分图象大致为（    ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 8. ．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.注意：答在试卷上无效） 9. 某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（ ） A. 的值为0.015，的值为40 B. 平均分为72，众数为75 C. 中位数为75 D. 已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人 10. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 12. 已知函数，则（    ） A. 在上最大值为2 B. 有两个零点 C. 的图像关于点对称 D. 的图像关于轴对称 第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 三、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.注意：答在试卷上无效） 13. 已知的取值如下表： 1 2 3 4 32 48 72 88 根据表中的数据求得关于的回归直线方程为，则表中第2个记录数据的残差__________. 14. 的展开式中的系数为______． 15. 已知是等差数列，，则__________. 16. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，且，为坐标原点，直线交的准线于点，则与的面积之比为______． 四、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.注意：答在试卷上无效） 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且_________． 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （1）求； （2）若，求． 18. 已知数列满足，（）.记 （1）求证：是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，． （1）证明：平面； （2）若，，且，，求二面角的余弦值． 20. 甲、乙运动员进行网球比赛，每场比赛采用5盘3胜制（即有一运动员先胜3局即获胜，比赛结束），甲每盘赢乙的概率为，两人比赛中没有平局． （1）求甲以3:1赢球的概率； （2）为了激发两位运动员的积极性，规定：每赢1 盘胜方将获得1000 元的奖金，每盘的输方没有奖金；若连赢2盘，则这两盘中的每盘将增加300元的奖金；若连赢3盘，则这3盘中的每盘将增加600元的奖金．已知本场比赛第1盘乙获胜，第2盘甲获胜，记甲在本场比赛中获得的奖金总额为X元，求X的分布列与数学期望． 21. 已知抛物线的焦点为.过焦点的直线与抛物线交于A，B，的最小值为12. （1）求抛物线的方程； （2）若过点的另一直线与曲线相交于，两点，，，且与的面积的和为，求直线的斜率. 22. 已知. （1）当时，求函数的极值； （2）若存在3个零点，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 会泽县茚旺高级中学 2024年春季学期高二年级6月月考考试试题 数 学 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22个小题，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.注意：答在试卷上无效） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再利用集合的运算即可求出结果. 【详解】因为，由，解得，即，又，所以， 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念和复数的除法运算即可得到答案. 【详解】因为，所以, 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由求得，从而判断出充分、必要条件. 【详解】， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 某校安排三个年级的课外活动，时间在周一至周五，要求每个年级只参加一次且每天至多安排一个年级且高三年级安排在另外两个年级的前面，则不同的安排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理和排列组合，先选时间再安排年级即可求解 【详解】从周一到周五选择三天，共有，将选出来的三天安排三个年级，因为高三必须在前面，所以只需要对高一高二两个年级进行安排，共有. 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有 故选：D 5. 已知向量，，，则实数m的值为（    ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先求得的坐标，再由求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：D. 6. 函数在区间的部分图象大致为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及的函数值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】因为函数，，所以函数为偶函数，排除C，D； 因为令，，所以排除B， 故选：A． 7. 已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合圆的性质及条件证明为等边三角形，由点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离，由条件列出关于的方程，化简求出离心率即可. 【详解】设双曲线的半焦距为， 则右焦点的坐标为， 不妨设以为圆心，为半径的圆与渐近线的两个交点为． 则，又， 所以为等边三角形， 所以点到直线的距离等于， 所以，又， 故，所以， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 8. ．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出外接圆半径，根据直三棱柱求出球心到平面的距离为，由及球的体积公式求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得外接圆半径满足，所以， 又因为在直三棱柱中侧棱垂直于底面，所以该三棱柱外接球的球心到平面的距离为， 所以该三棱柱外接球的半径为，体积为. 故选：B. 【点睛】思路点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 二、多项选择题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.注意：答在试卷上无效） 9. 某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（ ） A. 的值为0.015，的值为40 B. 平均分为72，众数为75 C. 中位数为75 D. 已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人 【答案】AB 【解析】 【分析】由各组的频率之和为1可得的值；由区间的人数以及频率可得；众数看图可得，中位数通过计算可得. 【详解】①由图可知，，，， ，，， 由频率之和为1可得，故； ②因为，所以； ③由图可知，众数为75； ④平均数为； ⑤，所以中位数位于区间， 设中位数为，则，解得； 综上所述，AB正确，而C错误； 样本可以估计总体，但是不能通过样本直接确定总体，样本与总体之间总是存在一定的偏差，故选项D错误. 故选：AB 10. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可. 【详解】对于C，依题意，设公比为，因为，， 所以，即，解得，故C正确； 对于D，故，故D正确； 对于A，则，故A正确； 对于B，则，； 所以，故B错误； 故选：ACD. 11. 将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换结论求出的函数的解析式，根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象， 将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 所以，故A错误； 函数的最小正周期为，所以B正确； ，所以的图象不关于点对称，C错误； 令，，可得，， 取可得，， 所以直线为函数的图象的一条对称轴，D正确. 故选：BD 12. 已知函数，则（    ） A. 在上最大值为2 B. 有两个零点 C. 的图像关于点对称 D. 的图像关于轴对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求导即可判断A，将零点问题转化为函数图像交点问题即可判断B，根据对称中心的定义即可判断C，将问题转化为判断是否为偶函数即可判断D 【详解】对于，， 在上单调递增， ，故正确； 对于的零点个数即方程的实根个数， 即方程的实根个数，即与图像的交点个数. 在同一坐标系中画出与图像如图所示： 两个函数图像只有一个交点，故B错误； 对于，若的图像关于点对称， 则有对任意恒成立. 恒成立， 的图像关于点对称，故正确； 对于，定义域为R, ， 则的图像不关于轴对称，故D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 三、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.注意：答在试卷上无效） 13. 已知的取值如下表： 1 2 3 4 32 48 72 88 根据表中的数据求得关于的回归直线方程为，则表中第2个记录数据的残差__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用回归方程求出时的预测值，再求出残差作答. 【详解】关于的回归直线方程为，当时，， 所以表中第2个记录数据的残差. 故答案为： 14. 的展开式中的系数为______． 【答案】40 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，直接计算即可得到结果. 【详解】展开式的通项公式为， 令，则，所以的系数为． 故答案为：40. 15. 已知是等差数列，，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由得， 所以， 故答案为：5 16. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，且，为坐标原点，直线交的准线于点，则与的面积之比为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据及焦半径公式求出，即可求出点坐标，从而求出直线的方程，再联立方程求出点坐标，求出的方程即可求出点坐标，最后根据面积公式计算可得. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，因为， 所以，即，则，解得，不妨取， 则直线的方程为，即， 由，解得，所以， 又直线的方程为，令，可得，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.注意：答在试卷上无效） 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且_________． 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （1）求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①，用余弦定理即可求解，选②，用向量的数量积的运算即可求解；（2）用正弦定理即可解决. 【小问1详解】 若选①， 由余弦定理可得， ∴， 又，∴，∴． 若选②， 则， 又，∴，∴． 【小问2详解】 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得， 又∵， ∴，解得． ∴． 18. 已知数列满足，（）.记 （1）求证：是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） 由已知，∵，∴， ∵， ∴， 又∵，∴， ∴易知数列中任意一项不为，∴， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列定义证明即可； （2）使用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由第（1）问，，∴， ∴设数列的前项和为，则 ①， ①得， ②， ①②得， ， ∴， ∴. ∴数列的前项和为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，． （1）证明：平面； （2）若，，且，，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 因为四边形是矩形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直，再得线线垂直，由线面垂直的判定定理得证； （2）取中点为，以为坐标原点，OB，OF，OP所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取中点为，连接，由平面，平面，知， 又，，所以且，平面平面，平面平面，平面，则平面， 取中点，连接，则，由（1）知平面， 于是以为坐标原点，OB，OF，OP所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 则C（1,3,0），P（0,0,1），D（－1,3,0），E（1,2,0）， ，，，． 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则由得取得一个法向量为， 由得取得一个法向量为， 设二面角的平面角大小为，可知是一个锐角， 则． 20. 甲、乙运动员进行网球比赛，每场比赛采用5盘3胜制（即有一运动员先胜3局即获胜，比赛结束），甲每盘赢乙的概率为，两人比赛中没有平局． （1）求甲以3:1赢球的概率； （2）为了激发两位运动员的积极性，规定：每赢1 盘胜方将获得1000 元的奖金，每盘的输方没有奖金；若连赢2盘，则这两盘中的每盘将增加300元的奖金；若连赢3盘，则这3盘中的每盘将增加600元的奖金．已知本场比赛第1盘乙获胜，第2盘甲获胜，记甲在本场比赛中获得的奖金总额为X元，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）由甲是以3:1赢球，可得第四次一定是甲赢，且前三场甲输一场，再根据相互独立事件的概率公式即可得解； （2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 因为甲是以3:1赢球，所以第四次一定是甲赢，且前三场甲输一场， 则甲以3:1赢球的概率为； 【小问2详解】 依题意知可取， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 所以. 21. 已知抛物线的焦点为.过焦点的直线与抛物线交于A，B，的最小值为12. （1）求抛物线的方程； （2）若过点的另一直线与曲线相交于，两点，，，且与的面积的和为，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）2或-2 【解析】 【分析】（1）由题意，取，代入抛物线的方程可求出，即可得出答案. （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理求出，再求出点到直线的距离，即可表示出，由抛物线的对称性知，再结合条件求解即可. 【小问1详解】 依题意抛物线的焦点为， 则时，直线l与x轴垂直， 不妨取，则， 因为，所以， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 因为抛物线的方程为，所以， 则直线的方程为，设，， 联立消去得， 由韦达定理，得，， 所以. 因为点C，D在曲线上，且， 所以根据抛物线的对称性知. 因为，所以点到直线的距离， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以直线的斜率为2或. 22. 已知. （1）当时，求函数的极值； （2）若存在3个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出的单调性即可求得极值. （2）将的表达式因式分解可得有一零点，从而问题转化为方程有2个实根，分离参数后作出的图象，数形结合即可求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，，， 由得，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时取得极小值为，无极大值. 【小问2详解】 解：由函数， 可得有一个零点为，要使得存在3个零点， 则需方程有2个实根， 而方程可化为， 令，则函数与的图象有两个交点. ，令得， 当变化时，、的变化情况列表如下： 1 0 极小值 所以函数在处取得极小值为. 当时，又，所以的大致图象如图： 由函数与的图象有两个交点，根据图象可得. 所以要使得存在3个零点，则实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $