2025年九年级中考数学二轮复习专题：二次函数之角度问题

2025年中考数学二轮复习专题：二次函数之角度问题 一．角度相等 1．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）． ①如图1．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标； ②如图2．当∠PCB＝∠BCA时，求直线CP的解析式． 2．已知：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）， ①当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标； ②如图2，当∠PCB＝∠BCA时，求直线CP的解析式． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）找出图中与∠DAB相等的一个角，并证明； （3）若点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到直线AC的距离最大时，求点P的坐标． 4．已知抛物线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣2，0） （1）求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． （2）若点M是线段AC上一个动点（不与A、C重合），点N是线段AB上一个动点，设AN＝t（t＞0） ①如图1，当点N运动到AB的中点时，作MN∥y轴交AC于点M．求证：∠BMN＝∠BAC． ②如图2，当点N在运动过程中，点M总存在两个不同的位置使∠BMN＝∠BAC，求出t的范围． ③当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得∠GNB＝∠BAC且GN恰好平分∠AGB？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，已知点H的坐标为（0，﹣1），设点G为y轴左侧抛物线上的一个动点，试猜想：是否存在这样的点G，使△GAH和△GCH的面积相等？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，说明理由． （3）如图2，过x轴上点E（﹣2，0）作ED⊥AB交抛物线于点D ①在y轴上找一点F，使△EDF的周长最小，求出此时点F的坐标； ②在①的条件下，若线段BD上有一点P满足∠EPF＝∠FDP，求线段PF的长． 6．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），P为x轴正半轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点P在B点右侧，过C垂直于DP的直线交抛物线于点H，交DP于点G，求证：PG•DG＝3CG•GH； （3）如图2，若点P在线段OB上，DP交直线BC于点E，当△CDE中有一个角与∠ABD相等，求点P的横坐标． 7．如图，已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0），对称轴是直线x＝． （1）求该二次函数的表达式； （2）如图1，连接AC，若点P是该抛物线上一点，且∠PAB＝∠ACO，求点P的坐标； （3）如图2，点P是该抛物线上一点，点Q为射线CB上一点，且P、Q两点均在第四象限内，线段AQ与BP交于点M，△ABM与△PQM的面积相等，当∠PBQ＝∠AQB时，请问线段PQ的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与x轴交于点A，B两点，点A坐标为（3，0），点B的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若将直线AC绕点A顺时针旋转，交抛物线于一点P，交y轴的正半轴于点D，若∠BAP＝∠BAC，连接PC，求此时△APC的面积； （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点M，使得线段BM被直线AP平分？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+t与坐标轴交于A、C两点，经过A、C两点的抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴的另一交点B的坐标为（2，0），连接BC． （1）填空：t＝　 　，a＝　 　，b＝　 　； （2）若点Q在直线AC下方的抛物线上一动点，连接AQ、CQ2，当S△AQC＝12，求点Q的坐标； （3）若点Q在直线AC下方的抛物线上一动点，当CA恰好平分∠BCQ时，求点Q横坐标． 10．已知二次函数y＝﹣+bx+c图象与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（4，0）（点B在点C的左侧）．点P是该图象位于第一象限上的一动点． （1）求该二次函数的表达式； （2）过点P作PH∥y轴，交AC于点H， ①当点P在何处时，HP的值最大，最大值是多少？ ②若△PAH中恰有一个角与∠ACB相等，求此时点P的横坐标． 11．如图，已知二次函数y＝x2+bx﹣4的图象经过点A（3，﹣4），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AB，BC． （1）填空：b＝　 　； （2）点P是直线AB下方抛物线上一个动点，过点P作PT⊥x轴，垂足为T，PT交AB于点Q，求线段PQ的最大值； （3）点D是y轴正半轴上一点，若∠BDC＝∠ABC，求点D的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过A（3，0），B（﹣1，0）两点，抛物线与y轴交于点D，顶点为C，点F为直线AC上方抛物线上一动点． （1）求C、D两点坐标（用含a的式子表示）； （2）当a＝﹣时，过点F作FG⊥AD于点G，是否存在点F，使得△FGD中的某个角恰好等于∠BAD的两倍？若存在，求点F的横坐标；若不存在，请说明理由． （3）当AD⊥CD时，过点C作CE⊥x轴于点E，求出此时的a值，并求出此时使得∠FDC＝∠ACE的点F坐标． 13．如图1，抛物线与x轴交于点A、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P的横坐标为3，求△BPC的面积； （3）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标． （4）若点M是抛物线上一动点，且满足∠MBC＝∠ACO，请直接写出点M的坐标． 14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，直线y＝mx+n经过B，C两点，与对称轴交于点E． （1）求抛物线及直线BC的函数表达式； （2）点M是直线BC上方抛物线上的动点，连接MB，ME，得到△MBE，求出△MBE面积的最大值及此时点M的坐标； （3）直线y＝kx（k＞0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△CDE相似，求k的值； （4）点N在对称轴上，满足∠BNC＝∠BAC，求出点N的坐标． 15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中OC＝4，2b﹣c＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，若点P为第一象限的抛物线上一点，连接PB，使∠PBC＝∠CBO，求点P坐标； （3）如图3，点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD交BC于点E，当的值最大时，求出此时点D的坐标并求出的最大值． 16．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标． （3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M． ①求线段PM长度的最大值． ②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值． 17．如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．对称轴为直线x＝﹣1． （1）a＝　 　； （2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥AC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点G，求PE+PG的最大值； （3）在抛物线上是否存在Q，使得∠QOB+∠BCO＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由； （4）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点N的坐标． 二．角度倍数 18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴所在的直线是x＝，点B的坐标为（4，0）． （1）抛物线的解析式是　 　； （2）若点P是直线BC下方抛物线上一动点，当∠ABP＝2∠ABC时，求出点P的坐标； （3）若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是直线AB上方抛物线上一点； ①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标； ②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、C，与x轴交于另一点B（1，0），顶点为D． （1）求抛物线对应函数表达式及顶点D的坐标； （2）过A点作射线交直线AC下方的抛物线上于点E，使∠DAE＝45°，求点E的坐标； （3）作CG平行于x轴，交抛物线于点G，点H为线段CD上的点，点G关于∠GHC的平分线的对称点为点M，若，求点H坐标； （4）点M是直线AC上方抛物线上的一动点，MH⊥AC于H，是否存在点M使△MHC中某个角等于∠OCB的两倍．若存在直接写出M的横坐标；若不存在，说明理由． 21．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值； （3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，抛物线y＝mx2+3mx﹣2m+1的图象经过点C，交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（点A在点B左侧），且x2﹣x1＝5，连接BC，D是AC上方的抛物线一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由． 23．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A（﹣4，0），C（0，2），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是AC上方抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1，S2，求的最大值． （3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得∠DCF等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由． 24．如图，抛物线的顶点为P（1，4），且与y轴交于C（0，3），与x轴交于点A、B，过点P作直线PD∥x轴，交y轴于点D． （1）求抛物线的对应函数表达式； （2）在抛物线上取一点M，过点M作直线PD的垂线，垂足为N，使得以P、M、N为顶点的三角形与△PBC相似，求出点M的坐标； （3）在直线PB上是否存在一点Q，使得∠PQC＝2∠PBC？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 三．角度三倍问题（共2小题） 25．如图，已知抛物线经过点A（﹣6，0），B（2，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求EF的最大值； ②若∠PCB＝3∠OCB，求点P的横坐标． 26．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m． ①当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求PE+PF的最大值； ②若∠PCB＝3∠OCB，求m的值． 4． 角度最大问题 27．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）直接写出抛物线的函数解析式； （2）如图1，M是抛物线顶点，点P在抛物线上，若直线AP经过△CBM外接圆的圆心，求点P的横坐标； （3）如图2，点N是第一象限内抛物线上的一动点，连接NA分别交BC、y轴于D、E两点，若△NBD、△CDE的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值； （4）点Q是抛物线对称轴上一动点，当∠OQA的值最大时，请直接求出点Q的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$