陕西省2024-2025学年九年级数学上学期期中考试模拟卷2

2024-2025学年九年级数学上学期期中考试模拟卷2 一．选择题（共10小题） 1．下列各式中，y一定是x的反比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝﹣x2 2．下面几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知l1∥l2∥l3，它们依次交直线l4、l5于点A、B、C和点D、E、F，如果DE：DF＝3：5，AC＝12，那么BC的长等于（　　） A．2 B．4 C． D． 4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OD＝2OA，BC＝3，则EF的长是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 5．把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（　　） A．3、8 B．3、10 C．﹣3、3 D．﹣3、10 6．函数y＝kx﹣k和函数y＝在同一坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，连接DE，下列选项中不能判定△ADE∽△ACB的是（　　） A．∠AED＝∠B B．AD•BC＝AC•DE C．∠ADE＝∠C D．AD•AB＝AE•AC 8．已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 9．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，AM平分∠BAC，若AM＝2，则菱形ABCD的面积为（　　） A．6 B．8 C． D．8 10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 二．填空题（共6小题） 11．若，则＝　 　． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，4），AB⊥x轴，垂足为B，OA，AB分别与反比例函数的图象相交于C，D两点．若C为OA的中点，则点D的坐标为 　 　． 13．一个不透明的布袋里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，由此可估计袋中约有白球 　 　个． 14．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 　 　． 15．如图，已知△ABC和△A′B′C是以点C（﹣1，0）为位似中心，位似比为1：2的位似图形，若点B的对应点B′的横坐标为a，则点B的横坐标为 　 　． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数（k＞0）的图象经过点A（1，2）、B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接AB、BC．若三角形ABC的面积为3，则点B的坐标为 　 　． 三．解答题（共7小题） 17．用适当的方法解方程： （1）x2﹣4x﹣7＝0； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0． 18．如图，已知，△ABC在平面直角坐标系中，点A（2，﹣2）、B（3，1）、C（1，0）．（提示：正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （1）请按要求对△ABC作如下变换： ①将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1； ②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2． （2）在（1）的条件下，B1的坐标是 　 　，B2的坐标是 　 　． 19．“十二年学习在南外，十二年成长在深圳湾”的南外集团教育历程和“葆有外语特色，做强数理实力”的南外教育内涵获得了全社会的广泛认可．为了不断提升学生对南外集团的归属感，集团举办了一次南外校史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：50≤x＜60，B：60≤x＜70，C：70≤x＜80，D：80≤x＜90，E：90≤x≤100，并绘制出如图的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为 　 　°，并将条形统计图补充完整． （2）若“90≤x≤100”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数是 　 　，中位数是 　 　． （3）经过初赛，进入决赛的同学有1名女生（记为A）和2名男生（记为B，C），现从这三位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率． 20．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元． （1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出　 　只粽子，利润为　 　元． （2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 21．一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB的高度，设计了以下方案：在点C处放一面平面镜，从点C处后退到1m点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m放在F处（即FC＝4m），从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度ED、GH均为1.5m，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．求灯柱AB的高度．（平面镜的大小忽略不计） 22．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式mx+n＞的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 23．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ，分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝　 　，PD＝　 　． （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度； （3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长． 2024-2025学年九年级数学上学期期中考试模拟卷2 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列各式中，y一定是x的反比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝﹣x2 【考点】反比例函数的定义． 【分析】根据反比例函数的形式为：或y＝kx﹣1（k≠0），逐项判定即可． 【解答】解：A、∵y＝2x﹣1， ∴y一定是x的反比例函数，故此选项符合题意； B、∵， ∴y是x的正比例函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； C、∵， ∴当k＝0时，y不是x的反比例函数，故此选项不符合题意； D、∵y＝﹣x2， ∴y是x的二次函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 2．下面几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可． 【解答】解：左视图是一个矩形，矩形的内部有一条横向的虚线． 故选：D． 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 3．如图，已知l1∥l2∥l3，它们依次交直线l4、l5于点A、B、C和点D、E、F，如果DE：DF＝3：5，AC＝12，那么BC的长等于（　　） A．2 B．4 C． D． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】由“DE：DF＝3：5，EF＝DF﹣DE”，可得出EF：DF＝2：5，由l1∥l2∥l3，利用平行线分线段成比例，可得出＝，代入AC＝12，EF：DF＝2：5，即可求出BC的长． 【解答】解：∵DE：DF＝3：5，EF＝DF﹣DE， ∴EF：DF＝2：5． ∵l1∥l2∥l3， ∴＝， ∴＝， ∴BC＝． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OD＝2OA，BC＝3，则EF的长是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【考点】位似变换． 【分析】根据位似图形的概念得到AB∥ED，进而证明△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似， ∴△ABC∽△DEF， ∴AB∥ED， ∴△OAB∽△ODE， ∴AB：DE＝OA：OD＝1：2，即△ABC与△DEF的相似比为1：2， ∴BC：EF＝1：2， ∵BC＝3， ∴EF＝6． 故选：D． 【点评】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键． 5．把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（　　） A．3、8 B．3、10 C．﹣3、3 D．﹣3、10 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得出答案． 【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0， ∴x2﹣6x＝1， 则x2﹣6x+9＝1+9，即（x﹣3）2＝10， ∴m＝﹣3，n＝10， 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 6．函数y＝kx﹣k和函数y＝在同一坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象． 【分析】首先根据反比例函数的比例系数k的符号确定反比例函数所在的象限，然后根据k的符号确定y＝kx﹣k所在的象限，即可作出判断． 【解答】解：∵y＝kx﹣k＝k（x﹣1）， ∴函数y＝kx﹣k与x轴的交点为（1，0），故C、D不合题意； 函数y＝（k≠0，且k为常数）中k＞0时，反比例函数图象在一、三象限，此时y＝kx﹣k的图象在第一、三、四象限； 当函数y＝（k≠0，且k为常数）中k＜0时，反比例函数图象在二、四象限，此时y＝kx﹣k的图象在第一、二、四象限， 故选：A． 【点评】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 7．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，连接DE，下列选项中不能判定△ADE∽△ACB的是（　　） A．∠AED＝∠B B．AD•BC＝AC•DE C．∠ADE＝∠C D．AD•AB＝AE•AC 【考点】相似三角形的判定． 【分析】两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．据此分别进行判断即可． 【解答】解：由题意得∠DAE＝∠CAB， A、当∠AED＝∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； B、当AD•BC＝AC•DE，即＝时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意； C、当∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； D、当AD•AB＝AE•AC，即＝时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键要明确：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 8．已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】根与系数的关系． 【分析】先根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，再利用通分得到+＝，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3， 所以+＝＝﹣． 故选：D． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 9．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，AM平分∠BAC，若AM＝2，则菱形ABCD的面积为（　　） A．6 B．8 C． D．8 【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质． 【分析】由菱形的性质得AB＝CB，AC⊥BD，而∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形，所以∠BAC＝60°，∠CAM＝∠BAC＝30°，则OM＝AM＝1，由勾股定理得OA＝＝，则OB＝OA•tan60°＝3，所以AC＝2OA＝2，BD＝2OB＝6，即可求得S菱形ABCD＝×2×6＝6，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴AB＝CB，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴△ABC是等边三角形，∠AOB＝90°， ∴∠BAC＝60°， ∵AM平分∠BAC，AM＝2， ∴∠CAM＝∠BAM＝∠BAC＝30°， ∴OM＝AM＝1， ∵OA＝＝＝， ∴OB＝OA•tan60°＝×＝3， ∴AC＝2OA＝2，BD＝2OB＝6， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×2×6＝6， 故选：C． 【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、菱形的面积等知识，求得∠CAM＝∠BAC＝30°及OM＝1是解题的关键． 10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【考点】矩形的性质；垂线段最短；三角形中位线定理． 【分析】由中位线定理可得点P的运动轨迹是线段P1P2，再由垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，连接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q，则BP的最小值为BP′的长，P2Q是△EAD的中位线，由勾股定理求出BP2、BP1、CE的长，由三角形中位线定理得出P1P2的长，设P′P2＝x，则P′P1＝﹣x，由勾股定理得BP22﹣P′P22＝BP12﹣P′P12，解得x＝，即可得出结果． 【解答】解：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2＝CE， 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP， 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF， ∴点P的运动轨迹是线段P1P2，如图所示： ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∠DAB＝∠BCD＝∠ABC＝90°， ∴CP1＝CD＝3， ∵E为AB的中点， ∴AE＝BE＝AB＝3， 连接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q， 则BP的最小值为BP′的长，P2Q是△EAD的中位线， ∴P2Q＝AD＝2，QE＝AQ＝AE＝， ∴BQ＝BE+QE＝3+＝， 在Rt△BP2Q中，由勾股定理得：BP2＝＝＝， 在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE＝＝＝5， ∴P1P2＝CE＝， 在Rt△BCP1中，由勾股定理得：BP1＝＝＝5， 设P′P2＝x，则P′P1＝﹣x， 由勾股定理得：BP22﹣P′P22＝BP12﹣P′P12，即（）2﹣x2＝52﹣（﹣x）2， 解得：x＝， ∴BP′2＝（）2﹣（）2＝， ∴BP′＝4.8， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、垂线段最短等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．若，则＝　　． 【考点】比例的性质． 【分析】根据分比性质即可得解． 【解答】解：∵， ∴＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查比例的性质，正确记忆如果，那么是解题关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，4），AB⊥x轴，垂足为B，OA，AB分别与反比例函数的图象相交于C，D两点．若C为OA的中点，则点D的坐标为 　（2，1）　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E，求出点C的坐标为（1，2），则△COE的面积为1，从而求出k的值，代入即可． 【解答】解：过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图， 由题可知CE∥AB， ∵C为OA的中点，点A的坐标为（2，4）， ∴点C的坐标为（1，2）， ∴△COE的面积为1， ∴， 解得：k＝2， ∴反比例函数的表达式为， 当x＝2时，， ∴点D的坐标为（2，1）， 故答案为：（2，1）． 【点评】此题考查了反比例函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义． 13．一个不透明的布袋里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，由此可估计袋中约有白球 　8　个． 【考点】利用频率估计概率． 【分析】利用频率估计概率，可得摸到红球的概率为0.6，再根据概率公式可得答案． 【解答】解：∵发现摸到红球的频率稳定在0.6附近， ∴摸到红球的概率约为0.6． 设袋中约有红球x个， ∴， 解得：x＝12， 袋中约有白球：20﹣12＝8（个）． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率估计概率及概率计算是解题的关键． 14．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 　　． 【考点】黄金分割． 【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解． 【解答】解：弦AB＝80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC＝x，则AC＝80﹣x， ∴，解方程得，， 点D是靠近点A的黄金分割点，设AD＝y，则BD＝80﹣y， ∴，解方程得，， ∴C，D之间的距离为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键． 15．如图，已知△ABC和△A′B′C是以点C（﹣1，0）为位似中心，位似比为1：2的位似图形，若点B的对应点B′的横坐标为a，则点B的横坐标为 　　． 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【分析】设B点横坐标为x，过B作BM⊥x轴于点M，过B′作B′N⊥x轴于点N，根据平行线分线段成比例定理得到，根据相似三角形的性质求出，计算即可． 【解答】解：设B点横坐标为x，如图，过B作BM⊥x轴于点M，过B′作B′N⊥x轴于点N， ∴BM∥B′N， ∴△BCM∽△B′CN， ∴， ∵△ABC和△A′B′C是位似比为1：2的位似图形， 即， 解得， ∴B点横坐标为． 【点评】本题考查了位似变换的性质、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数（k＞0）的图象经过点A（1，2）、B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接AB、BC．若三角形ABC的面积为3，则点B的坐标为 　　． 【考点】反比例函数综合题． 【分析】由于函数y＝（x＞0常数k＞0）的图象经过点A（1，2），把（1，2）代入解析式求出k＝2，然后得到AC＝2．设B点的横坐标是m，则AC边上的高是（m﹣1），根据三角形的面积公式得到关于m的方程，从而求出，然后把m的值代入y＝，即可求得B的纵坐标，最后就求出了点B的坐标． 【解答】解：∵函数y＝（x＞0、常数k＞0）的图象经过点A（1，2）， ∴把（1，2）代入解析式得到2＝， ∴k＝2， 设B点的横坐标是m， 则AC边上的高是（m﹣1）， ∵AC＝2 ∴根据三角形的面积公式得到×2•（m﹣1）＝3， ∴m＝4，把m＝4代入y＝， ∴B的纵坐标是， ∴点B的坐标是（4，）． 故答案为：（4，）． 【点评】解答本题的关键是根据已知坐标系中点的坐标，可以表示图形中线段的长度．根据三角形的面积公式即可解答． 三．解答题（共7小题） 17．用适当的方法解方程： （1）x2﹣4x﹣7＝0； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法． 【分析】（1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣7＝0， ∴x2﹣4x＝7， 则x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11， 解得x﹣2＝， ∴x＝2，即x1＝2+，x2＝2﹣； （2）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0， ∴（x﹣2）（x+1）＝0， 则x﹣2＝0或x+1＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．如图，已知，△ABC在平面直角坐标系中，点A（2，﹣2）、B（3，1）、C（1，0）．（提示：正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （1）请按要求对△ABC作如下变换： ①将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1； ②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2． （2）在（1）的条件下，B1的坐标是 　（﹣1，3）　，B2的坐标是 　（﹣6，﹣2）　． 【考点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转变换． 【分析】（1）①根据网格结构找出点ABC绕点O逆时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； ②连接AO并延长至A2，使A2O＝2AO，连接BO并延长至B2，使B2O＝2BO，连接CO并延长至C2，使C2O＝2CO，然后顺次连接A2、B2、C2即可； （2）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可． 【解答】解：（1）①根据网格结构找出点ABC绕点O逆时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，图中△A1B1C1为所作； ②连接AO并延长至A2，使A2O＝2AO，连接BO并延长至B2，使B2O＝2BO，连接CO并延长至C2，使C2O＝2CO，然后顺次连接A2、B2、C2即可； （2）根据平面直角坐标系写出点的坐标可得：B1的坐标是（﹣1，3），B2的坐标是（﹣6，﹣2）． 【点评】本题考查了利用位似变换作图，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 19．“十二年学习在南外，十二年成长在深圳湾”的南外集团教育历程和“葆有外语特色，做强数理实力”的南外教育内涵获得了全社会的广泛认可．为了不断提升学生对南外集团的归属感，集团举办了一次南外校史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：50≤x＜60，B：60≤x＜70，C：70≤x＜80，D：80≤x＜90，E：90≤x≤100，并绘制出如图的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为 　54　°，并将条形统计图补充完整． （2）若“90≤x≤100”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数是 　96　，中位数是 　95.5　． （3）经过初赛，进入决赛的同学有1名女生（记为A）和2名男生（记为B，C），现从这三位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率． 【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；众数． 【分析】（1）先用C组的人数除以C组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数，再计算A组人数所占的百分比，最后用360°乘以A组所占百分比，即可求出A组所在扇形的圆心角度数；用总人数乘以B组所占百分比，即可求出B组的人数，即可补充条形统计图； （2）根据众数和中位数的定义，即可进行解答；众数：在一组数据中出现次数最多的数据；中位数：将数据按大小顺序排列，位于中间位置的数据即为中位数； （3）画出树状图，根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）参加此次竞赛总人数：23÷23%＝100（人）， A组所在扇形的圆心角度数＝360°×＝54°， B组人数：100×15%＝15（人）， 条形统计图如图所示： 故答案为：54． （2）排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100， ∴中位数为：＝95.5， ∵96出现次数最多， ∴众数为96， 故答案为：96，95.5； （3）画树状图如下： ∴一共有6种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有4种， ∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为． 【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据相关联，求中位数、众数，以及加权平均数，解题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，加权平均数的求法以及正确从统计图中获取需要的信息． 20．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元． （1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出　（300+100×）　只粽子，利润为　（1﹣m）（300+100×）　元． （2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到； （2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解． 【解答】解：（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出（300+100×）只粽子，利润为 （1﹣m）（300+100×）元． （2）令（1﹣m）（300+100×）＝420． 化简得，100m2﹣70m+12＝0． 即，m2﹣0.7m+0.12＝0． 解得m＝0.4或m＝0.3． 可得，当m＝0.4时卖出的粽子更多． 答：当m为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来． 21．一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB的高度，设计了以下方案：在点C处放一面平面镜，从点C处后退到1m点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m放在F处（即FC＝4m），从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度ED、GH均为1.5m，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．求灯柱AB的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【考点】相似三角形的应用． 【分析】先证明△ABC∽△EDC得到AB＝1.5BC，再证明△ABF∽△GHF得到BF＝4+x，由此建立方程，求出BC的长即可求出AB的长． 【解答】解：∵∠ECD＝∠ACB，∠EDC＝∠ABC， ∴△ABC∽△EDC． ∴． ∵ED＝1.5m，CD＝1m， ∴． 设BC＝x m，则AB＝1.5x m， 同理可得△ABF∽△GHF， ∴． ∵AB＝1.5x m，BF＝BC+CF＝（4+x）m，GH＝1.5m，FH＝1.5m， ∴， 解得x＝8， ∴AB＝1.5x＝12（m）． 答：灯柱AB的高度为12m． 【点评】本题主要考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意利用相似三角形的性质推出BF＝4+x是解题的关键． 22．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式mx+n＞的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可； （3）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P大坐标为（m，）利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3）， ∴k＝1×3＝﹣3×a， ∴k＝3，a＝﹣1， ∴反比例函数解析式为y＝， 一次函数y＝mx+n图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3）， ，解得， 一次函数解析式为y＝x+2； （2）由图象可知，不等式mx+n＞的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1． （3）在一次函数y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2， ∴C（﹣2，0），D（0，2） ∴S△OBD＝＝1， ∴S△OCP＝4S△OBD＝4， 设点P大坐标为（m，）， ∴＝4， 解得m＝﹣， ∴点P（﹣，﹣4）． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 23．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ，分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝　8﹣2t　，PD＝　t　． （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度； （3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长． 【考点】相似三角形的判定与性质；一次函数综合题；勾股定理；菱形的判定与性质． 【分析】（1）根据题意得：CQ＝2t，PA＝t，由Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，PD∥BC，即可得tanA＝＝，则可求得QB与PD的值； （2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ，列方程即可求得答案； （3）设E是AC的中点，连接ME．当t＝4时，点Q与点B重合，运动停止．设此时PQ的中点为F，连接EF，由△PMN∽△PQC．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：CQ＝2t，PA＝t， ∴QB＝8﹣2t， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，PD∥BC， ∴∠APD＝90°， ∴tanA＝＝， ∴PD＝t． 故答案为：（1）8﹣2t，t． （2）不存在 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10 ∵PD∥BC， ∴△APD∽△ACB， ∴，即， ∴AD＝t， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣t， ∵BQ∥DP， ∴当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形， 即8﹣2t＝，解得：t＝． 当t＝时，PD＝＝，BD＝10﹣×＝6， ∴DP≠BD， ∴▱PDBQ不能为菱形． 设点Q的速度为每秒v个单位长度， 则BQ＝8﹣vt，PD＝t，BD＝10﹣t， 要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ， 当PD＝BD时，即t＝10﹣t，解得：t＝ 当PD＝BQ，t＝时，即＝8﹣，解得：v＝ 当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形． （3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系． 依题意，可知0≤t≤4，当t＝0时，点M1的坐标为（3，0），当t＝4时点M2的坐标为（1，4）． 设直线M1M2的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线M1M2的解析式为y＝﹣2x+6． ∵点Q（0，2t），P（6﹣t，0） ∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）． 把x＝代入y＝﹣2x+6得y＝﹣2×+6＝t， ∴点M3在直线M1M2上． 过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝4，M1N＝2． ∴M1M2＝2 ∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/30 20:55:37；用户：常长守；邮箱：xyqd@xyh.com；学号：22184481 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$