陕西省2024-2025学年九年级数学上学期期中考试模拟卷1

2024-2025学年九年级数学上学期期中考试模拟卷1 一．选择题（共10小题） 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝﹣x B． C． D．y＝x2﹣2x+1 2．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OD＝2OA，BC＝3，则EF的长是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 5．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y＝（k≠0）的大致图象是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C．＝ D．＝ 8．已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 9．如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC中点，则EF的长为（　　） A．10 B．5 C． D．2.5 10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（　　） A．4 B．8 C．2 D．4 二．填空题（共6小题） 11．若，则＝　 　． 12．在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2），则y1+y2的值是 　 　． 13．不透明的箱子里装有除颜色外完全相同的黑白两种颜色的塑料球共50个，为了估计两种颜色的球各有多少个，将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到黑球的频率稳定在0.7，据此可以估计箱子里黑球个数约是 　 　个． 14．已知点P是线段AB的黄金分割点，AB＝6，那么AP的长是 　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为（5，4），点C的坐标为（3，0），且AB＝2DE，则点D的坐标为 　 　． 16．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则四边形OABD的面积为　 　． 三．解答题（共7小题） 17．解下列方程： （1）x2+3x﹣4＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 18．如图，已知，△ABC在平面直角坐标系中，点A（2，﹣2）、B（3，1）、C（1，0）．（提示：正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （1）请按要求对△ABC作如下变换： ①将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1； ②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2． （2）在（1）的条件下，B1的坐标是 　 　，B2的坐标是 　 　． 19．“十二年学习在南外，十二年成长在深圳湾”的南外集团教育历程和“葆有外语特色，做强数理实力”的南外教育内涵获得了全社会的广泛认可．为了不断提升学生对南外集团的归属感，集团举办了一次南外校史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：50≤x＜60，B：60≤x＜70，C：70≤x＜80，D：80≤x＜90，E：90≤x≤100，并绘制出如图的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为 　 　°，并将条形统计图补充完整． （2）若“90≤x≤100”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数是 　 　，中位数是 　 　． （3）经过初赛，进入决赛的同学有1名女生（记为A）和2名男生（记为B，C），现从这三位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率． 20．某水果经销商销售一种水果，如果每千克盈利1元，每月可售出5000千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价0.1元，月销售量将减少400千克．现该经销商要在批发这种高档水果中保证每月盈利5060元，同时又要价格尽可能的低，那么每千克应涨价多少元？ 21．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度． 22．如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积； （3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集． 23．感知：如图（1）已知正方形ABCD和等腰直角三角形EBF，点E在正方形BC边上，点F在正方形AB边的延长线上，∠EBF＝90°，连结AE，CF．易证∠AEB＝∠CFB（不需要证明）． 探究：如图（2）将图（1）中△BEF绕着点B逆时针旋转，旋转角为α，（0＜α＜90°），连结AE，CF．证明：∠AEB＝∠CFB． 应用：如图（3），在（2）条件下当A、E、F三点共线时，连结CE，若AE＝1，EF＝2，则CE＝　 　． 2024-2025学年九年级数学上学期期中考试模拟卷1 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝﹣x B． C． D．y＝x2﹣2x+1 【考点】反比例函数的定义． 【分析】根据反比例函数的定义，直接分别判断，即可得出答案． 【解答】解：A、y＝﹣x，不符合一般式，不是反比例函数，不符合题意； B、，符合一般式，正确，符合题意； C、，不符合一般式，不是反比例函数，不符合题意； D、y＝x2﹣2x+1，不符合一般式，不是反比例函数，不符合题意， 故选：B． 【点评】此题考查了反比例函数的定义，熟练掌握一般式是解题的关键． 2．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形， 又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线， 故选：D． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到，然后根据比例的性质可求出AE． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∵AD＝2，BD＝3，AC＝10， ∴， ∴AE＝4． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确记忆行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题关键． 4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OD＝2OA，BC＝3，则EF的长是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【考点】位似变换． 【分析】根据位似图形的概念得到AB∥ED，进而证明△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似， ∴△ABC∽△DEF， ∴AB∥ED， ∴△OAB∽△ODE， ∴AB：DE＝OA：OD＝1：2，即△ABC与△DEF的相似比为1：2， ∴BC：EF＝1：2， ∵BC＝3， ∴EF＝6． 故选：D． 【点评】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键． 5．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0， 整理得：x2﹣x＝， 配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝． 故选：C． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y＝（k≠0）的大致图象是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象． 【分析】分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可． 【解答】解：∵y＝k（x﹣1）， ∴函数y＝k（x﹣1）过点（1，0）， 故①④不合题意； 当k＞0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、三、四象限，函数y＝（k≠0）在一、三象限； 当k＜0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、二、四象限，函数y＝（k≠0）在二、四象限； 故②③符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C．＝ D．＝ 【考点】相似三角形的判定． 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故A选项不符合题意； B、∠AED＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故B选项不符合题意； C、＝，即＝，且夹角∠A＝∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故C选项不符合题意； D、＝，缺少条件∠AED和∠ACB相等，则不能确定△ABC∽△ADE，故D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 8．已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】根与系数的关系． 【分析】先根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，再利用通分得到+＝，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3， 所以+＝＝﹣． 故选：D． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 9．如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC中点，则EF的长为（　　） A．10 B．5 C． D．2.5 【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质． 【分析】由菱形的性质得BC＝DC，AC⊥BD，因为∠DBC＝60°，所以△BCD是等边三角形，则BC＝BD＝10，所以EF＝BC＝5，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC，AC⊥BD， ∵∠DBC＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝BD＝10， ∵∠BEC＝90°，点F为BC的中点， ∴EF＝BC＝5， 故选：B． 【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明△BCD是等边三角形是解题的关键． 10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（　　） A．4 B．8 C．2 D．4 【考点】矩形的性质；垂线段最短；三角形中位线定理． 【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当CP⊥P1P2时，PC取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知CP1⊥P1P2，故CP的最小值为CP1的长，由勾股定理求解即可． 【解答】解：如图： 当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP2， ∴P1P2∥DE且P1P2＝DE 当点F在ED上除点D、E的位置处时，有AP＝FP 由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值 ∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点， ∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形， ∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90° ∴∠AP2P1＝90° ∴∠AP1P2＝45° ∴∠P2P1C＝90°，即CP1⊥P1P2， ∴CP的最小值为CP1的长 在等腰直角△CDP1中，DP1＝CD＝4， ∴CP1＝4 ∴PC的最小值是4． 故选：D． 【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度． 二．填空题（共6小题） 11．若，则＝　　． 【考点】比例的性质． 【分析】直接利用已知得出y＝x，再代入比例式求出答案． 【解答】解：∵， ∴y＝x， ∴＝＝． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了比例的性质，得出y＝x是解题关键． 12．在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2），则y1+y2的值是 　0　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】将两点代入得到y1＝，y2＝﹣，则y1+y2＝0． 【解答】解：∵函数的图象经过点（3，y1）和（﹣3，y2）， ∴y1＝，y2＝﹣， ∴y1+y2＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 13．不透明的箱子里装有除颜色外完全相同的黑白两种颜色的塑料球共50个，为了估计两种颜色的球各有多少个，将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到黑球的频率稳定在0.7，据此可以估计箱子里黑球个数约是 　35　个． 【考点】利用频率估计概率． 【分析】因为摸到黑球的频率在0.7附近波动，所以摸出黑球的概率为0.7，根据概率公式即可求解． 【解答】解：50×0.7＝35（个）， 故估计箱子里黑球个数约是35个． 故答案为：35． 【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系． 14．已知点P是线段AB的黄金分割点，AB＝6，那么AP的长是 　3﹣3或9﹣3　． 【考点】黄金分割． 【分析】根据黄金分割点的定义，代入数据即可得出AP的长． 【解答】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点， 当AP是较长线段时； 则AP＝6×＝3﹣3． 当AP是较短线段时， AP＝6﹣3+3＝9﹣3． 故答案为：3﹣3或9﹣3． 【点评】本题考查了黄金分割，正确记忆把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割是解题关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为（5，4），点C的坐标为（3，0），且AB＝2DE，则点D的坐标为 　（2，﹣2）　． 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥OC于点N．利用相似三角形的性质求出DN，ON可得结论． 【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥OC于点N． ∵△ABC与△DEC是以点C为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEC， ∴AC：DC＝AB：DE＝2， ∵A（5，4），C（3，0）， ∴OM＝5，OC＝3，AM＝4， ∴CM＝5﹣3＝2， ∵AM⊥OM，DN⊥OM， ∴AM∥DN， ∴△AMC∽△DNC， ∴AM：DN＝MC：CN＝AC：CD＝2， ∴CN＝1，DN＝2， ∴ON＝3﹣1＝2， ∴D（2，﹣2）． 【点评】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 16．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则四边形OABD的面积为　　． 【考点】反比例函数综合题． 【分析】首先求出直线AO解析式，进而得出AB直线解析，再利用AB直线解析式与反比例函数联立求出B点坐标，进而利用S四边形OABD＝S△OAE﹣S△BDE，求出即可． 【解答】解：∵A在双曲线上，∴k＝xy＝2， 故y＝， 设AO方程为y＝kx，将A点坐标代入得出： 2＝1×k， 解得：k＝2， 故AO直线解析式为：y＝2x， ∵AB⊥AO， ∴直线AB的解析式可以假设为y＝﹣x+b， 将A点坐标代入得：b＝， 故直线AB的解析式为：y＝﹣x+， 将直线AB与反比例函数联立得出： ， 解得：，， 那么B点坐标为：（4，）， ∵BC∥AO，BC经过B点， ∴BC直线解析式一次项系数为：2， 故设解析式为：y＝2x+c， 将B点代入得出：＝2×4+c 故 b＝﹣， 则直线BC解析式为：y＝2x﹣， 则BC与x轴交点D为：0＝2x﹣， 解得：x＝， 故D点坐标为：（，0）， ∵直线AB的解析式为：y＝﹣x+， ∴AB与x轴交点坐标E为：（5，0）， 则S四边形OABD ＝S△OAE﹣S△BDE ＝×OE×|Ay|﹣×DE×|By| ＝×5×2﹣×（5﹣）× ＝5﹣ ＝． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和反比例函数解析式和三角形面积求法等知识，得出D，E点坐标是解题关键． 三．解答题（共7小题） 17．解下列方程： （1）x2+3x﹣4＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法． 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用配方法求解可得． 【解答】解：（1）x2+3x﹣4＝0， 则（x﹣1）（x+4）＝0， 则x﹣1＝0或x+4＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣4； （2）2x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣2x＝， ∴x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝， ∴x﹣1＝±， ∴x＝1±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．如图，已知，△ABC在平面直角坐标系中，点A（2，﹣2）、B（3，1）、C（1，0）．（提示：正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （1）请按要求对△ABC作如下变换： ①将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1； ②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2． （2）在（1）的条件下，B1的坐标是 　（﹣1，3）　，B2的坐标是 　（﹣6，﹣2）　． 【考点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转变换． 【分析】（1）①根据网格结构找出点ABC绕点O逆时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； ②连接AO并延长至A2，使A2O＝2AO，连接BO并延长至B2，使B2O＝2BO，连接CO并延长至C2，使C2O＝2CO，然后顺次连接A2、B2、C2即可； （2）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可． 【解答】解：（1）①根据网格结构找出点ABC绕点O逆时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，图中△A1B1C1为所作； ②连接AO并延长至A2，使A2O＝2AO，连接BO并延长至B2，使B2O＝2BO，连接CO并延长至C2，使C2O＝2CO，然后顺次连接A2、B2、C2即可； （2）根据平面直角坐标系写出点的坐标可得：B1的坐标是（﹣1，3），B2的坐标是（﹣6，﹣2）． 【点评】本题考查了利用位似变换作图，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 19．“十二年学习在南外，十二年成长在深圳湾”的南外集团教育历程和“葆有外语特色，做强数理实力”的南外教育内涵获得了全社会的广泛认可．为了不断提升学生对南外集团的归属感，集团举办了一次南外校史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：50≤x＜60，B：60≤x＜70，C：70≤x＜80，D：80≤x＜90，E：90≤x≤100，并绘制出如图的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为 　54　°，并将条形统计图补充完整． （2）若“90≤x≤100”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数是 　96　，中位数是 　95.5　． （3）经过初赛，进入决赛的同学有1名女生（记为A）和2名男生（记为B，C），现从这三位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率． 【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；众数． 【分析】（1）先用C组的人数除以C组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数，再计算A组人数所占的百分比，最后用360°乘以A组所占百分比，即可求出A组所在扇形的圆心角度数；用总人数乘以B组所占百分比，即可求出B组的人数，即可补充条形统计图； （2）根据众数和中位数的定义，即可进行解答；众数：在一组数据中出现次数最多的数据；中位数：将数据按大小顺序排列，位于中间位置的数据即为中位数； （3）画出树状图，根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）参加此次竞赛总人数：23÷23%＝100（人）， A组所在扇形的圆心角度数＝360°×＝54°， B组人数：100×15%＝15（人）， 条形统计图如图所示： 故答案为：54． （2）排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100， ∴中位数为：＝95.5， ∵96出现次数最多， ∴众数为96， 故答案为：96，95.5； （3）画树状图如下： ∴一共有6种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有4种， ∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为． 【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据相关联，求中位数、众数，以及加权平均数，解题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，加权平均数的求法以及正确从统计图中获取需要的信息． 20．某水果经销商销售一种水果，如果每千克盈利1元，每月可售出5000千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价0.1元，月销售量将减少400千克．现该经销商要在批发这种高档水果中保证每月盈利5060元，同时又要价格尽可能的低，那么每千克应涨价多少元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】设每千克应涨价x元，得出月销售量将减少400×千克，再由盈利额＝每千克盈利×月销售量，依题意得方程求解即可． 【解答】解：设每千克应涨价x元， 依题意得方程：（5000﹣400×）（1+x）＝5060， 整理，得200x2﹣50x+3＝0， 解这个方程，得x1＝0.1，x2＝0.15． 又要价格尽可能的低，应取x＝0.1． 答：每千克应涨价0.1元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据盈利额＝每千克盈利×月销售量，得出等式方程是解题关键． 21．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度． 【考点】相似三角形的应用． 【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可． 【解答】解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N， 由题意得：AN＝2米，CN＝1.9﹣1.6＝0.3（米），MN＝38米， ∵CN∥EM， ∴△ACN∽△AEM， ∴， ∴， ∴EM＝6， ∵AB＝MF＝1.7米， ∴城楼的高度为：6+1.6﹣1.7＝5.9（米）． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，构造直角三角形，利用相似三角形的判定证出△ACN∽△AEM是解题的关键． 22．如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积； （3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【解答】解：（1）将A（﹣3，1），C（﹣4，0）代入y＝kx+b， 得， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝x+4， 将A（﹣3，1）代入， 得m＝﹣3， ∴反比例的解析式为y＝﹣（x＜0）； （2）∵直线AC的解析式为y＝x+4与y轴交点D， ∴点D的坐标为（0，4）， 由，解得或， ∴点B的坐标为（﹣1，3）， ∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD＝＝4； （3）观察图象，当x＜0时，关于x的不等式的解集是x＜﹣3或﹣1＜x＜0． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 23．感知：如图（1）已知正方形ABCD和等腰直角三角形EBF，点E在正方形BC边上，点F在正方形AB边的延长线上，∠EBF＝90°，连结AE，CF．易证∠AEB＝∠CFB（不需要证明）． 探究：如图（2）将图（1）中△BEF绕着点B逆时针旋转，旋转角为α，（0＜α＜90°），连结AE，CF．证明：∠AEB＝∠CFB． 应用：如图（3），在（2）条件下当A、E、F三点共线时，连结CE，若AE＝1，EF＝2，则CE＝　　． 【考点】四边形综合题． 【分析】感知：由正方形的性质得∠ABC＝∠CBF＝90°，AB＝BC，再由等腰直角三角形的性质得BE＝BF，然后证△ABE≌△CBF（SAS），即可得出结论； 探究：由正方形的性质得∠ABC＝∠CBF＝90°，AB＝BC，再由等腰直角三角形的性质得BE＝BF，然后证∠ABE＝∠CBF，得△ABE≌△CBF（SAS），即可得出结论； 应用：先求出CF＝1，再证∠CFE＝90°，然后由勾股定理即可得出结论． 【解答】感知：证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠CBF＝90°，AB＝BC， ∵△BEF是等腰直角三角形，∠EBF＝90°， ∴BE＝BF， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠AEB＝∠CFB； 探究：证明：∵四边形ABD是正方形，△ABC是等腰直角三角形，∠EBF＝90°， ∴AB＝CB，∠ABC＝90°，BE＝BF， 又∵∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝90°＝∠EBF， ∴∠ABE＝∠CBF， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠AEB＝∠CFB； 应用：解：由（2）知，△ABE≌△CBF，∠BFC＝∠BEA， ∴CF＝AE＝1， ∵△BEF是等腰直角三角形， ∴∠BFE＝∠BEF＝45°， ∴∠AEB＝135°， ∴∠BFC＝135°， ∴∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝90°， 在Rt△CFE中，CF＝1，EF＝2，由勾股定理得：CE＝＝＝， 故答案为：． 【点评】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明△ABE≌△CBF是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$