上海市徐汇区南洋模范中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

南模初中2024学年九年级第一学期期中考试数学学科试卷 （考试时间100分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 2. 在中，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（ ） A. ， B. ， C. D. 4. 如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A. 一个篮球场的面积 B. 一张乒乓球台台面的面积 C. 《中学生报》的一个版面的面积 D. 《数学》课本封面的面积 6. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　） A. AB2＝AP2+BP2 B. BP2＝AP•BA C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分18分） 7. 如果，那么的值是________． 8. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且，那么_____． 9. 已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是________． 10. 如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为______． 11. 若向量与单位向量的方向相反，且，则_____．（用表示） 12. 抛物线在对称轴的左侧部分是_________的（填“上升”或“下降”）． 13. 已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为________． 14. 如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则=____． 15. 在中，，点G是重心，如果，那么________． 16. 如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点E、H分别在边、上，如果其面积为24，那么的值为 _______． 17. 如图，在中，，，D为边上一动点（不与点B重合），以为边作正方形，连接，则当的面积最大时，的长为_________． 18. 如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，，，，，将绕着点C顺时针旋转，当点D恰好落在边上时，连接，那么________． 三、解答题（本大题共7题，第19－22每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. 计算： 20. 已知二次函数 （1）用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 21. 已知：如图，中，点D是AC边上一点，且AD：DC=2：1． (1)设，先化简,再求作： (直接作在图中)； (2)用 (x、y为实数)的形式表示． 22. 小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： （1）如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； （2）如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 23. 如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点与点都是抛物线上的点． ①求的值； ②如果，求点的坐标． 25. 如图1，点D为内一点，联结，，以为邻边作平行四边形，与边交于点F，． （1）求证：； （2）延长，交边于点G，如果，且的面积与平行四边形面积相等，求的值； （3）如图2，联结，若平分，，求线段的长． 南模初中2024学年九年级第一学期期中考试数学学科试卷 （考试时间100分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分18分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】6 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】2 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】下降 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】1． 【15题答案】 【答案】9 【16题答案】 【答案】24 【17题答案】 【答案】## 【18题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共7题，第19－22每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】（1），对称轴是直线，顶点坐标 （2） 【21题答案】 【答案】（1）， 即为所求． （2）． 【22题答案】 【答案】（1） （2）①解：由中心投影的性质作图，如图2，点即为所求； ②3 【23题答案】 【答案】（1） 证明：， ． 、分别是和的外角， ，， ， ． 又， ． （2） 证明：，， ． ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． 【24题答案】 【答案】（1）．点的坐标为 （2）①；②点的坐标为， 【25题答案】 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）2 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $