第三章 概率的进一步认识 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第三章 概率的进一步认识 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·北京海淀·二模）九年级（1）班羽毛球小组共有4名队员，其中两名男生，两名女生．从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东临沂·期中）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用4，5，6这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北邯郸·二模）用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定，的大小 4．（2024·安徽安庆·二模）在如图所示的等边三角形中任选一个，则所选等边三角形恰好含点的概率等于（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东枣庄·一模）圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京房山·二模）农科院某研究所在相同条件下做某种农作物的发芽率试验，结果如下表所示： 种子个数 200 500 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个判断，其中合理的是（    ） A．种子个数为800时，发芽种子的个数是718，所以种子发芽的概率为0.898 B．实验种子的个数最少的那次实验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 C．实验种子的个数最多的那次实验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 D．随着参加实验的种子数量增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1） 7．（2024·河南郑州·二模）中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）在一个不透明的盒子中装有颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中黑色棋子可能有（    ） A．5颗 B．10颗 C．18颗 D．26颗 9．（24-25八年级上·山西晋中·阶段练习）如图（1），地面上有一个不规则图案，为了求出图案的面积，我们采用以下方法：用一个长为a的正方形，将不规则图案围起来，然后在正方形中随机投掷小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或正方形区域外不计试验结果），现将大量有效试验结果绘制成如图（2）所示的折线图，由此估计不规则图案的面积约为（   ） A． B． C． D． 10．（20-21九年级上·全国·单元测试）我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（   ）．    A． B． C． D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）在学校运动会中，运动员小明与小刚各自要从铅球、跳高、跳远三个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是 ． 12．（24-25九年级上·重庆北碚·期中）甲、乙两个不透明的盒子中，分别装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中装有1个红球、2个白球，乙盒中装有2个红球、1个白球，从甲、乙两盒中各取一个球，则两球颜色相同的概率为 ． 13．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为 ． 14．（24-25九年级上·全国·期中）一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球的个数n 200 300 400 500 1000 1500 2000 摸到白球的个数m 116 192 232 298 590 906 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.604 0.601 根据以上数据，估计摸到白球的概率约为 （精确到0.01） 15．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ； 16．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当到的电路为通路状态时，系统正常工作，当到的电路为断路状态，系统不能正常工作． （1）方案1中电路为通路的概率为 ； （2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 （选填“方案1”或“方案2”）． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）拨算珠，若拨十位一颗上珠，一颗下珠，拨个位一颗上珠为65，求在百、十、个位上任先拨一颗下珠，再拨一颗上珠，表示的数小于500的概率． 18．（24-25九年级上·全国·课后作业）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式，在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． (1)请用列表法求两位老师所有可能出现的支付方式； (2)求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率． 19．（23-24七年级下·广东佛山·期末）一个不透明的盒子里装有黑白两种颜色的球若干个（除颜色外都相同），搅匀后从盒子里随机摸出一个球，记录颜色后放回盒子中，不断重复上述过程，试验数据如下表： 摸球的次数 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000 摸到白球的次数 4 7 10 28 45 97 127 252 498 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249 (1)摸到白球的概率是____________．（精确到0.01） (2)下列试验符合（1）中结果的试验是____________（填序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． ③掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上点数“小于3”． ④从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． 20．（24-25九年级上·全国·阶段练习）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题： (1)参加比赛的学生共有_________名； (2)在扇形统计图中，m的值为_________，表示“D等级”的扇形的圆心角为_________度； (3)组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 21．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个．该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： (1)本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ； (2)请补全条形统计图，若该中学有2000名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人； (3)从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 22．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． (1)请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为 ； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 23．（24-25九年级上·全国·期中）某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表． 请根据所给信息，解答以下问题： (1)表中________， ________； (2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数； (3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率． 24．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．为了解我校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选项：：学校作业有明显减少；：学校作业没有明显减少；：课外辅导班数量明显减少；：课外辅导班数量没有明显减少；：没有关注．已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图不完整的统计图． 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)本次接受调查的学生共有 人；________； ； (2)若该校学生有人，试估计只选选项的学生有多少人？ (3)该校计划在某个班向家长展示“双减“背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共个，其中有个为八年级班级（分别用、表示），3个为九年级班级（分别用、、表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率． 25．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； (2)表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 概率的进一步认识 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·北京海淀·二模）九年级（1）班羽毛球小组共有4名队员，其中两名男生，两名女生．从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用列表法或画树状图求随机事件的概率，掌握其求随机事件概率的方法是解题的关键． 根据题意，列表或画树状图表示所有等可能结果，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：两名男生表示为男1，男2，两名女生表示为女1，女2，如图所述，画树状图表示所有等可能结果， 共有种等可能结果，其中恰好能组成一组混双搭档的结果有种， ∴恰好能组成一组混双搭档的概率是， 故选：D ． 2．（23-24九年级下·山东临沂·期中）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用4，5，6这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解． 【详解】解：依题意，用4，5，6这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数， 可能结果有456，465，546，564，645，654，共六种可能， 只有456，654是“平稳数”， ∴恰好是“平稳数”的概率为． 故选：C． 3．（2024·河北邯郸·二模）用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定，的大小 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何概率，首先分别求出转盘甲和转盘乙中白色区域占各自圆面积的一半，转换成概率即可得出答案．灵活运用所学的知识是解题的关键． 【详解】解：转盘甲，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为； 转盘乙，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为； 因此转盘甲和转盘乙中转盘的指针停在白色区域的概率均为， 故选：C． 4．（2024·安徽安庆·二模）在如图所示的等边三角形中任选一个，则所选等边三角形恰好含点的概率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单的几何概率，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵共有5个等边三角形，含A点的等边三角形有2个， ∴从这些等边三角形中任选一个，则所选的等边三角形恰好含点A的概率等于． 故选：D． 5．（2024·山东枣庄·一模）圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，进行求解即可． 【详解】解：∵随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同， ∴从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为； 故选D． 6．（2024·北京房山·二模）农科院某研究所在相同条件下做某种农作物的发芽率试验，结果如下表所示： 种子个数 200 500 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个判断，其中合理的是（    ） A．种子个数为800时，发芽种子的个数是718，所以种子发芽的概率为0.898 B．实验种子的个数最少的那次实验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 C．实验种子的个数最多的那次实验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 D．随着参加实验的种子数量增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1） 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 根据某研究所在相同的条件下作某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9左右，于是得到种子发芽的概率约为0.9． 【详解】解：A．应该是种子发芽的频率是0.898而不是概率，故选项A不正确，不符合题意； B．频率不等于概率，实验种子的个数最少的那次实验得到的种子发芽的频率不一定是种子发芽的概率，故选项B不正确，不符合题意； C．频率不等于概率，实验种子的个数最多的那次实验得到的种子发芽的频率不一定是种子发芽的概率，故选项C不正确，不符合题意； D．根据某研究所在相同的条件下作某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9左右，于是得到种子发芽的概率约为0.9，故选项D正确，符合题意． 故选：D 7．（2024·河南郑州·二模）中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了画树状图或列表求概率，正确画出树状图或列表是解题关键．画树状图可得出所有等可能的结果数以及他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将造纸术、指南针、火药和活字印刷术四张纪念卡片分别记为，，，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果， 其中他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果有：，，共种， ∴他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为， 故选：C． 8．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）在一个不透明的盒子中装有颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中黑色棋子可能有（    ） A．5颗 B．10颗 C．18颗 D．26颗 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解． 【详解】解：设盒子中黑色棋子可能有x颗， 经检验，符合题意． ∴盒子中黑色棋子可能有颗． 故选：C． 9．（24-25八年级上·山西晋中·阶段练习）如图（1），地面上有一个不规则图案，为了求出图案的面积，我们采用以下方法：用一个长为a的正方形，将不规则图案围起来，然后在正方形中随机投掷小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或正方形区域外不计试验结果），现将大量有效试验结果绘制成如图（2）所示的折线图，由此估计不规则图案的面积约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率．根据图（2）可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，根据几何概率可得：不规则图案的面积正方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 小球落在不规则图案内的概率约为，正方形的面积为（）， 设不规则图案的面积为， 则， 解得：， ∴不规则图案的面积约为． 故选：C． 10．（20-21九年级上·全国·单元测试）我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小正方形的边长为x，根据已知条件得到AB＝2+3＝5，根据勾股定理列方程求得x＝1，再根据三角形的面积公式计算即可得到结论． 【详解】   设小正方形的边长为x ∵a＝2，b＝3 ∴AB＝2+3＝5 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2 ∴（2+x）2+（x+3）2＝52 ∴x＝1，x＝﹣6（不合题意舍去） ∴ ∴，阴影面积 ∴针尖落在阴影域内的概率＝ 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程、概率等知识；求解的关键是熟练掌握概率、一元二次方程和勾股定理的性质，从而完成求解． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）在学校运动会中，运动员小明与小刚各自要从铅球、跳高、跳远三个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法求概率，先列出表格得出所有可能出现的结果，进而得出符合条件的结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】列表如下：            铅球 跳高 跳远 铅球 铅球，铅球 跳高，铅球 跳远，铅球 跳高 铅球，跳高 跳高，跳高 跳远，跳高 跳远 铅球，跳远 跳高，跳远 跳远，跳远 一共有9种符合条件的结果，每种结果出现的可能性相同，两人恰好都选择铅球项目的有1种，所以两人都选择铅球项目的概率是． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·重庆北碚·期中）甲、乙两个不透明的盒子中，分别装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中装有1个红球、2个白球，乙盒中装有2个红球、1个白球，从甲、乙两盒中各取一个球，则两球颜色相同的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率等知识点，用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可，熟练掌握树状图法求概率的方法是解决此题的关键． 【详解】树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有9种等可能出现的结果，其中摸到两球颜色相同的有4种， ∴摸到两球颜色相同的概率是． 13．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了由频率估计概率，由题意得出摸到红球的概率为0.4，从而得到，计算即可得解，解题的关键是掌握利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率． 【详解】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4， ∴摸到红球的概率为0.4， ∴， ∴m约为， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·全国·期中）一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球的个数n 200 300 400 500 1000 1500 2000 摸到白球的个数m 116 192 232 298 590 906 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.604 0.601 根据以上数据，估计摸到白球的概率约为 （精确到0.01） 【答案】0.60 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格可知，摸到白球的频率在0.600左右摆动， 所以根据以上数据估计，摸到白球的概率约为0.60． 故答案为：0.60． 15．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ； 【答案】 【分析】此题主要考查了几何概率及勾股定理，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为， 针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 16．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当到的电路为通路状态时，系统正常工作，当到的电路为断路状态，系统不能正常工作． （1）方案1中电路为通路的概率为 ； （2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 （选填“方案1”或“方案2”）． 【答案】 方案2 【分析】本题考查的是画树状图或列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键． （1）先列表得到方案1的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可； （2）先列表得到方案2的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：（1）方案1所有情况如下表： ① ② 从到的电路共4种等可能结果，其中该电路为通路的有1种， 所以该电路为通路的概率为； 故答案为：， （2）方案2更稳定可靠，理由如下： 由（1）得，方案1中电路系统正常工作的概率为， 方案2中从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案2中电路系统正常工作的概率为 方案2更稳定可靠． 故答案为：方案2． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）拨算珠，若拨十位一颗上珠，一颗下珠，拨个位一颗上珠为65，求在百、十、个位上任先拨一颗下珠，再拨一颗上珠，表示的数小于500的概率． 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，通过画树状图即可求解． 【详解】解：拨上珠时，若在百位，则表示数大于500； 拨上珠时，若在十位或个位，则表示的数小于500， 共9种等可能的结果，其中表示的数小于500的结果有6个， ∴表示的数小于500的概率． 18．（24-25九年级上·全国·课后作业）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式，在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． (1)请用列表法求两位老师所有可能出现的支付方式； (2)求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查的是列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表可得所有结果； （2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：把“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式分别记为A，B，C． 列表如下： 马老师 赵老师 A B C A B C （2）解：共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种， ∴马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的概率为． 19．（23-24七年级下·广东佛山·期末）一个不透明的盒子里装有黑白两种颜色的球若干个（除颜色外都相同），搅匀后从盒子里随机摸出一个球，记录颜色后放回盒子中，不断重复上述过程，试验数据如下表： 摸球的次数 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000 摸到白球的次数 4 7 10 28 45 97 127 252 498 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249 (1)摸到白球的概率是____________．（精确到0.01） (2)下列试验符合（1）中结果的试验是____________（填序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． ③掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上点数“小于3”． ④从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． 【答案】(1)0.25， (2)②④ 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，理解频率和概率之间的关系是解决问题的关键． （1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近0.25，由此得出答案； （2）根据概率公式求出各自的概率，然后与（1）比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：大量重复实验下，摸到白球的频率稳定在0.25附近，0.25即概率的估计值； 故摸到白球的概率的估计值是0.25； 故答案为：0.25． （2）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率是； ②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率是； ③掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”的概率是； ④从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”概率是． 综上所述，符合（1）中结果的试验最有可能的是②④， 20．（24-25九年级上·全国·阶段练习）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题： (1)参加比赛的学生共有_________名； (2)在扇形统计图中，m的值为_________，表示“D等级”的扇形的圆心角为_________度； (3)组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)20 (2)40，72 (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识以及采用列举法求解概率的知识，注重数形结合是解答本题的关键． （1）用A等级的人数除以其所占比例即可得到总参赛人数，用总人数减去A、C、D等级人数和即可得到B等级人数，按要求补全条形图； （2）用C等级人数除以总人数即可求出m的值，用D等级人数除以总人数再乘以360°即可求解； （3）采用列表法列举即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：（人）， 故答案为：20； （2）解：C级所占的百分比为，表示“D等级”的扇形的圆心角为； 故答案为：40、72． （3）解：列表如下： 男 女 女 男 （男，女） （男，女） 女 （男，女） （女，女） 女 （男，女） （女，女） 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种， 则． 21．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个．该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： (1)本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ； (2)请补全条形统计图，若该中学有2000名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人； (3)从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 【答案】(1)200； (2)条形统计图见解析，600 (3)树状图见解析，恰好抽到甲、丙两名同学的概率为 【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率． （1）由选择C专业的人数除以所占百分比即可求出总数，由乘以选择A（旅游管理）专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数； （2）求出B专业的人数，补全条形统计图即可，根据该中学选择“信息技术”专业意向的学生所占比例估计实际人数； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次被调查的学生有（人）． 扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为： ． （2）解：条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． （人）． ∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生约有600人． （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共2种， ∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为． 22．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． (1)请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为 ； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)，； (2)估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； (3)需要往盒子里再放入个白球． 【分析】（）根据统计图容易得出结果； （）由摸到白球的概率将会接近，则白球，故黑球； （）设需要往盒子里再放入个白球； 根据题意得出方程，解方程即可； 本题考查了利用频率估计概率、概率公式，解分式方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据统计图可知：当很大时，摸到白球的概率将会接近，假如你摸一次，你摸到白球的概率为， 故答案为：，； （2）解：∵摸到白球的概率将会接近， ∴摸到白球（个）， ∴黑球（个）， 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； （3）解：设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：需要往盒子里再放入个白球． 23．（24-25九年级上·全国·期中）某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表． 请根据所给信息，解答以下问题： (1)表中________， ________； (2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数； (3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率． 【答案】(1) (2) (3)树状图见解析， 【分析】本题考查统计图表，利用树状图法求概率： （1）根据频数等于总数乘以频率进行求解即可． （2）利用360度乘以B组对应的百分比进行计算即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：； （2） （3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得： ∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种， ∴甲、乙两名同学都被选中的概率为． 24．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．为了解我校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选项：：学校作业有明显减少；：学校作业没有明显减少；：课外辅导班数量明显减少；：课外辅导班数量没有明显减少；：没有关注．已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图不完整的统计图． 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)本次接受调查的学生共有 人；________； ； (2)若该校学生有人，试估计只选选项的学生有多少人？ (3)该校计划在某个班向家长展示“双减“背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共个，其中有个为八年级班级（分别用、表示），3个为九年级班级（分别用、、表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率． 【答案】(1)200，144，20 (2)128人 (3) 【分析】（1）用选择的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数；用乘以本次调查中选择的学生所占的百分比，即可求得；用本次调查中选择的学生人数除以调查总人数再乘以百分之百，可求得，即可得出答案； （2）由样本估计总体即可得到答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数和两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次接受调查的学生共有（人）， ， ， ， 故答案为：200；144；20； （2）解：该校优秀人数：（人）， 答：若该校学生有640人，试估计只选选项的学生有128人； （3）解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种， 两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，样本估计总体；能够理解条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 25．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； (2)表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】(1)，见解析 (2)， (3) 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，计算甲快递公司在配送速度为9的人数可补全频数直方图，利用圆心角计算公式计算即可． （2）根据中位数与方差的定义即可求解； （3）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法，方差、中位数，直方图．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析和求概率． 【详解】（1）解：根据频数之和等于样本容量， 得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人） 补全频数直方图如下： 根据题意，得． （2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8， 故中位数， 故答案为：． 根据题意，得 ． 得 ． ， 故答案为：． （3）解：画树状图如下： 由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果， ∴三家种植户选择同一快递公司的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $$