第二章 二次函数 同步练 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

二次函数 【满分：120】 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若是二次函数，则m的值为( ) A. B.2 C. D. 2.若实数x,y,m满足,则代数式的值可以是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 3.某商店购进一批单价为20元的商品，若以单价30元销售，则每月可售出400件，如果销售单价每提高1元，月销售量相应减少20件，设每件商品单价涨x元，月销售利润为y元，可列函数为：，对所列函数下列说法错误的是( ) A.表示涨价后商品的单价 B.表示涨价后少售出商品的数量 C.表示涨价后商品的月销售量 D.当时月利润达到最大 4.已知在平面直角坐标系中，抛物线(a，k为常数，且)与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点、均在抛物线上，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 5.如图是二次函数的图象,下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 6.观察规律,,,,运用你观察到的规律解决以下问题：如图,分别过点作x轴的垂线,交的图象于点,交直线于点.则的值为( ) A. B. C. D. 7.二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 8.将抛物线位于y轴左侧的部分沿x轴翻折,其余部分不变,翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象,若直线与新图象有且只有2个公共点,则t的取值范围是( ) A. B. C.或 D.或 9.如图,在菱形ABCD中,,,点P,Q同时从点A出发,点P以的速度沿的方向运动,点Q以的速度沿的方向运动,当其中一点到达D点时,两点停止运动.设运动时间为,的面积为,则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是( ) A. B. C. D. 10.二次函数的图象如图所示,抛物线的对称轴是直线,且与x轴的一个交点为,与y轴交点的纵坐标在-3~-2之间,根据图象判断以下结论：①；②；③；④：⑤若且,则.其中正确的结论是( ) A.②④ B.②③④ C.②③⑤ D.②③④⑤ 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.如图，运动员小铬推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为_____米． 12.已知二次函数(其中x是自变量),当时,y随x的增大而增大,且时,y的最大值为21,则a的值为________. 13.在平面直角坐标系中,设二次函数,其中. (1)此二次函数的对称轴为直线______； (2)已知点和在此函数的图象上,若,则t的取值范围是______. 14.在平面直角坐标系中,点和点在抛物线上,已知点,,在该抛物线上.若,则,,的大小关系为______. 15.如图,已知顶点为的抛物线过,下列结论：①；②对于任意的实数m,均有；③：④若,则；⑤,其中结论正确的为______.(填序号) 三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16.（8分）如图,在中,,,,点M,N分别从A,B同时出发,点M沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动,点N沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动,当点N运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为xs,的面积为. (1)求y与x之间的函数解析式,并直接写出自变量x的取值范围； (2)求的面积的最大值. 17.（8分）已知抛物线经过点和点，且. (1)若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值； (2)若，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向； (3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值. 18.（10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整. (1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中,______. (2)观察函数图像,画出该函数图像的另一部分并思考,当______时,函数有最小值 (3)进一步探究函数图像发现： ①函数图像与x轴有______个交点,所以对应的方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③关于x的方程有4个实数根时,a的取值范围是______. 19.（10分）如图,抛物线经过,B两点,且与x轴交于点,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B. (1)求抛物线的解析式； (2)若,是该抛物线图象上的两点,且,求m的取值范围； (3)若点P是直线l下方的抛物线上一点,过点P作轴交直线l于点E,过点P作轴交直线l于点F,求的最大值. 20.（12分）2024年9月16日,全国青少年轮滑联赛在北戴河开赛.其中项目之一是“轮滑速降”,依靠路面的倾斜给予动力,人体自由下落,感受风驰电掣般的运动.如图是某轮滑速降比赛场地的横截面示意图,线段表示出发台,表示助滑坡,点C表示起跳点,线段表示着陆坡,点K表示此轮滑速降的落地点K.以水平地面为x轴,过点B作x轴的垂线为y轴,建立平面直角坐标系.已知起跳点C到水平地面的距离为30米,到y轴的距离是10米,米,米. 注：①K点是轮滑速降中打出距离分所用的参照点,此跳台的参照距离是37.5米,即米. ②距离分(跳跃距离). ③跳跃距离是指起跳点C与着陆点之间的距离. (1)求点K的坐标； (2)某运动员从点C滑出,在空中飞行的轨迹(与横截面在同一平面内)可以近似的看成一条抛物线,其函数表达式为. ①若该运动员第一跳的距离分S是60分,求此时该抛物线的表达式； ②某运动员在第二次起跳中,发现第二跳的飞行轨迹抛物线的表达式为,求该运动员此跳的距离分S. 21.（12分）如图,抛物线过点,,矩形的边在线段上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设,当时,. (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时,矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线平分矩形的面积时,求平移后的拋物线的顶点坐标.(直接写出结果即可) 答案以及解析 1.答案：C 解析：∵是关于x的二次函数， ∴，且， ∴，且， ∴. 故选：C. 2.答案：D 解析：由题意可得, 解得:, 选项D符合题意, 故选:D. 3.答案：A 解析：设每件商品单价涨x元，则单件价格为元，利润为元，月销量减少量为元，月销售量为元，则月销售利润是：元， 故， ， ∴时，月利润达到最大值， 据此选项B，C，D正确，不符合题意，选项A错误符合题意， 故选：A. 4.答案：B 解析：在中，当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为， ∵抛物线(a，k为常数，且)与y轴交点的纵坐标大于2， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，则抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线中，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， ∴ 根据现有条件无法判断， 故选：B. 5.答案：D 解析：A.∵抛物线开口向上, ∴. ∵ ∴. ∵, ∴,故A不正确； B.∵对称轴是直线, ∴, ∴,故B不正确； C.∵时,, ∴,故C不正确； D.∵图象与x轴的一个交点是,对称轴是直线, ∴图象与x轴的另一个交点是, ∴,故D正确. 故选D. 6.答案：D 解析：∵过点的垂线,交的图象于点,交直线于点； ∴令,可得∶纵坐标为,纵坐标为, ,, . , . 故选D. 7.答案：D 解析：抛物线的对称轴为直线,时,抛物线开口向上,对称轴在y轴左侧,与y轴正半轴的交于点,一次函数经过第一、二、三象限,与y轴正半轴的交于点,时,抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧,与y轴负半轴的交于点,一次函数经过第二、三、四象限,与y轴正半轴的交于点. 故选:D. 8.答案：C 解析：∵二次函数解析式为：, ∴抛物线的顶点坐标为, 如图：按要求折叠后,新图象的顶点坐标为, 当直线过点时,即,直线与新图象有且只有2个公共点,此时直线； 直线向上移动过程中,与新图象一直有两个公共点,直到过点时有三个公共点,即； 抛物线左侧部分的函数解析式为： , 当直线与y轴左侧相切时,与新图象有一个公共点, ∴仅有一个解, ∴的, ∴, 解得：. 综上,当或时,直线与新图象有且只有2个公共点. 故选：C. 9.答案：A 解析：∵四边形ABCD是菱形, ∴,, ∴,都是等边三角形, ∴. 如图1,当时,,, 作于E, ∴, ∴, 故D选项不正确； 如图2,当时,,,, 作与F,作于H, ∴, , ∴, 故B选项不正确； 当时,,, ∴, 作于G, ∴, ∴, 故C不正确. 故选：A 10.答案：D 解析：①观察图像可知,, 抛物线对称轴为直线 , ,故①错误; ② ,故②正确; ③抛物线对称轴为直线,其与x轴的一个交点为 由对称性可知,其与x轴的另一个交点为 抛物线解析式也可以写为 ,, 抛物线与y轴交点为 , , , ,故③正确; ④抛物线经过点 代入解析式得:,故④正确; ⑤, , , , , , , , ,故⑤正确。 故本题应选:D。 11.答案：11 解析：当时， 解得：（不合题意，舍去）， 推铅球的距离是11米． 故答案为：11 12.答案：2 解析：(其中x是自变量)是二次函数式, 对称轴是直线. 当时,y随x的增大而增大, . 时,y的最大值为21,且, 时,即, 移项得,, 解得,或(不合题意舍去)。 故答案为:2. 13.答案：(2)/0.5 (2) 解析：(1)二次函数, 函数经过和,是对称点, 对称轴为直线, 故答案为： (2)二次函数, 二次项系数为, 函数图象开口向上, 又和在此函数的图象上,对称轴为直线, 画出图象如下图,点Q关于对称轴的对称点横坐标, , 点P应在线段下方部分的抛物线上(包括点Q、), , 故答案为： 14.答案： 解析：点和点在抛物线上, ,, , , 与异号, , , ,, 点,,在该抛物线上, ,,, , , , , . 故答案为：. 15.答案：①③⑤ 解析：由题知, 令抛物线的解析式为,将点代入函数解析式得, , 解得, 抛物线的函数解析式为 , ,,, .故①正确. 抛物线的顶点纵坐标为-6,且开口向上, 对于抛物线上的任意一点(横坐标为m),其纵坐标不小于-6, 即, .故②错误. ,, ,故③正确. 抛物线经过点,且对称轴为直线 点也在抛物线上, 又抛物线开口向上, 当时,或,故④错误. 故⑤正确. 故答案为:①③⑤. 16.答案：(1) (2) 解析：(1)∵,,. ∴. 即. (2)由(1)知： ∴. ∵当时,y随x的增大而增大 而,∴当时,y取最大值,且, 即的面积的最大值是. 17.答案：(1) (2)，抛物线开口方向向上 (3)t的值可以是-1 解析：(1)∵抛物线的对称轴经过点A， ∴A点为抛物线的顶点， ∴y的最小值为-3， ∵P点和O点对称， ； (2)分别将和代入，得：， 解得， ∴抛物线开口方向向上； (3)将和点代入， ， 由①得，③， 把③代入②，得， ，， . ∵抛物线开口向下，， ， ， . 故t的值可以是-1(答案不唯一). 18.答案：(1)0 (2)或1,图见解析 (3)①3,3 ②2 ③ 解析：(1)当时,, , 故答案为：0； (2)根据给定的表格中数据描点画出图形,如图所示： 由图可得,当或时,y取最小值为, 故答案为：或1； (3)①观察函数图像可知：当、0、2时,, 该函数图像与x轴有3个交点,即对应的方程有个实数根, 故答案为：3,3； ②由函数图像知：直线与该函数图像有两个交点, 方程有2个实数根, 故答案为：2； ③由函数图像知：当时,直线与函数有4个交点, 关于x的方程有4个实数根时,a的取值范围是, 故答案为：. 19.答案：(1) (2) (3)时,求的最大值为6 解析：(1)把,代入,得 , 解得, ∴； (2)由(1),得,, ∴抛物线的对称轴是直线, ∴关于对称轴的对称点, ∵抛物线开口向上,,且, ∴； (3)设, ∵轴交直线l于点E,轴, ∴,, ∴, , ∴ , ∵点P是直线l下方的抛物线上一点, ∴, ∴时,求的最大值为6. 20.答案：(1)点K的坐标为 (2)①；②该运动员此跳的距离分S为 解析：(1)如图所示,过点C作轴于点M,过点K作于点H, ∵C到水平地面的距离为30米,到y轴的距离是10米, ∴米,米 ∴米 ∵ ∴米 ∴ ∴ ∴ ∴米,米 ∴米,米 ∴点K的坐标为； (2)①设该运动员的着陆点为E,则跳跃距离为 ∵该运动员第一跳的距离分是60分, ∴,即. ∴点E与点K重合,即点E的坐标为,点C的坐标为 由题意可得：, 解得： ∴； ②：由题意可得：点, 设的解析式为：, 则有：,解得：, ∴的解析式为：, 设新的着陆点为Q, 联立 解得：或(与点C重合舍去) ∴点Q的坐标为, 勾股得：跳跃距离为, ∴第二次的距离分为. 21.答案：(1) (2)当时,矩形的周长有最大值,最大值为 (3) 解析：(1)设抛物线解析式为, ∵当时,, ∴点B的坐标为, ∵四边形是矩形, ∴点C的坐标为, ∴将点C坐标代入解析式得, 解得：, ∴抛物线的函数表达式为； (2)由抛物线的对称性得, ∴, 当时,点C的纵坐标为, ∴矩形的周长 , ∵ ∴当时,矩形的周长有最大值,最大值为； (3)∵当时,, ∴点B的坐标为, ∴点C的坐标为,点A的坐标为, 连接,相交于点P,连接,取的中点Q,连接,如图： ∵直线平分矩形的面积, ∴直线过点P, 由平移的性质可知,,, ∴四边形是平行四边形, ∴, ∴点P是的中点,Q是的中点, ∴,, ∴,, ∴四边形是平行四边形, ∴, ∴抛物线向右平移的距离是4个单位, ∵ ∴平移后的抛物线解析式为, ∴平移后抛物线的顶点坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$