27．3　圆中的计算问题 课件 2024—2025学年华东师大版数学九年级下册

C D 2π 100 D D C 底面 侧面 母线 高 πra πra πr2 A B 6π C B B 180° 27．3　圆中的计算问题 第1课时　弧长与扇形的面积 1．在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l＝ . 2．(1)在半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形面积为S＝ ； (2)当已知扇形的弧长l和扇形的半径r时，扇形的面积还可以表示为 S＝ lr. l＝eq \f(nπr,180) S＝eq \f(nπr2,360) S＝eq \f(1,2)lr 如图，有一直径是20 cm的圆形纸片，现从中剪出一个圆心角是90°的扇形ABC. (1)求剪出的扇形ABC的周长； (2)求被剪掉的阴影部分的面积． 【思路分析】 (1)扇形的周长＝弧长＋半径×2； (2)阴影面积＝圆的面积－扇形面积． 【自主解答】 【名师支招】熟练掌握弧长公式和扇形面积公式是解决问题的关键． (1)连接BC，∵∠BAC＝90°， ∴BC是圆的直径，∴BC＝20 cm, ∵AB＝AC，∴AB＝AC＝10eq \r(2)， ∴eq \o(BC,\s\up18(︵))的长＝eq \f(90π×10\r(2),180)＝5eq \r(2)π， ∴扇形ABC的周长＝ (20eq \r(2)＋5eq \r(2) π)cm. (2)S阴影＝S圆－S扇形ABC ＝π×102－eq \f(90π×（10\r(2)）2,360)＝50π(cm2)． 知识点1：弧长 1．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为 （ ） A.eq \f(3,2)π B．2π C．3π D．6π 2．有一条弧的长为2π cm，半径为2 cm，则这条弧所对的圆心角的度数是 （ ） A．90° B．120° C．135° D．180° 3．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径 eq \o(AA′,\s\up20(︵)) 的长为2π . 4．(娄底中考)如图所示的扇形中，已知OA＝20，AC＝30，eq \o(AB,\s\up8(︵))＝40，则CD＝100 . 5．如图，eq \o(AB,\s\up18(︵))的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，则弦AB的长为2eq \r(3)，eq \o(AB,\s\up18(︵))的长为eq \f(4π, 3). eq \f(4π,3) 知识点2：扇形的面积 6．已知扇形的半径为 6，圆心角为150°，则它的面积是 （ ） A.eq \f(3,2)π B．3π C．5π D．15π 7．(荆州中考)如图，以边长为2的等边三角形ABC的顶点A为圆心，一定长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于点D，E，则图中阴影部分的面积是 （ ） A.eq \r(3)－eq \f(π,4) 　　 B．2eq \r(3)－π C.eq \f(（6－π）\r(3),3) 　　 D.eq \r(3)－eq \f(π,2) 8．(贺州中考)如图，在等腰Rt△OAB中，点E在OA上，以点O为圆心，OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分的面积为π－2，则EF的长为 （ ） A.eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．3eq \r(2) 9.(通辽中考)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交 eq \o(AB,\s\up18(︵)) 于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为 ＋ . eq \r(2)＋eq \f(π,6) 10．(潍坊中考)如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，C为劣弧eq \o(BF,\s\up8(︵))的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC. (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若∠BAC＝30°，AB＝4， 求阴影部分的面积． (1)证明：连接BF，OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD， ∵CE⊥AD，∴BF∥CE， ∵C为eq \o(BF,\s\up18(︵))的中点， ∴OC⊥BF， ∵BF∥CE，∴OC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． (2)解：连接OF，CF，∵OA＝OC，∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝60°，∵C为eq \o(BF,\s\up18(︵))的中点，∴eq \o(FC,\s\up18(︵))＝eq \o(BC,\s\up18(︵))， ∴∠FOC＝∠BOC＝60°， ∵OF＝OC，∴∠FCO＝∠BOC. ∴CF∥AB，∴S△ACF＝S△COF，∴S阴影＝S扇形FOC， ∵AB＝4，∴FO＝OC＝OB＝2， ∴S阴影＝S扇形FOC＝eq \f(60π×22,360)＝eq \f(2,3)π. 11．在某高新技术开发区，相距200 m的A，B两地的中点O处有一个精密仪器研究所，为保证研究所正常工作，在其周围50 m以内不得有机动车开过，现要修一条从A到B的公路，有两种修路方案． 方案1: 如图①，分别由点A，B向以点O为圆心，半径为50 m的半圆引切线，两切线相交于点P，沿线段AP，BP修路． 方案2：如图②，分别由点A，B向以点O为圆心，半径为50 m的半圆引切线，切点分别为M，N，沿线段AM，弧MN，线段NB修路． 试问哪种修路方案较节省？ 解：方案1：连接OP，OM，ON，由题意可知 OM＝ON＝50 m，OA＝OB＝100 m，OM⊥OP， ON⊥PB，∴∠A＝∠B＝30°，∴PA＝PB， ∴PO⊥AB， 在Rt△PAO中，PA＝eq \f(OA,cos A)＝eq \f(200\r(3),3)(m)， ∴方案1的路线长为2×eq \f(200\r(3),3)＝eq \f(400\r(3),3)(m)； 方案2：连接OM，ON，∵AM，BN切半圆O于点M，N， ∴OM⊥AM，ON⊥BN，在Rt△OMA中，MO＝50 m，AO＝100 m，∴∠AOM＝60°，AM＝50eq \r(3)(m)，同理可得∠BON＝60°，BN＝50eq \r(3) m， ∴∠MON＝60°，∴eq \o(MN,\s\up18(︵))的长为eq \f(60π×50,180)＝eq \f(50,3)π(m)， ∴方案2的路线长为 2×50eq \r(3)＋eq \f(50,3)π＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100\r(3)＋\f(50,3)π))m， ∵100eq \r(3)＋eq \f(50π,3)－eq \f(400\r(3),3)＝eq \f(50,3)(π－2eq \r(3))＜0，∴方案2较节省． 第2课时　圆锥的侧面展开图 1．圆锥的母线和高：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的．圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高． 2．圆锥的侧面积公式：若设圆锥的母线长为a，底面半径为r，由此可推出圆锥侧面展开的扇形的半径长为圆锥的母线长a，弧长为圆锥底面圆的周长2πr，则圆锥的侧面积S侧＝πra. 3．圆锥的全面积公式：S全＝S侧＋S底＝πra＋πr2. 如图，已知扇形AOB的半径为6 cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥． (1)求围成的圆锥的侧面积； (2)求该圆锥的底面半径． 【思路分析】 (1)就是计算扇形的面积； (2)通过底面圆的周长计算半径． 【自主解答】 【名师支招】扇形的面积就是圆锥的侧面积，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长． (1)圆锥的侧面积＝eq \f(120π×62,360)＝12π(cm2)． (2)设该圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr＝eq \f(120π×6,180)，解得r＝2.即圆锥的底面半径是2 cm. 知识点1：圆锥的侧面积与全面积 1．(八步区模拟)某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8 m，底面半径OB＝6 m，则圆锥的侧面积是 （ ） A．60π m2 B．50π m2 C.47.5π m2 D.45.5π m2 2.(常德模拟)已知圆锥的母线长为5 cm，侧面积为15π cm2，则这个圆锥的底面圆的面积为 （ ） A．2.25π cm2 B.9π cm2 C．12π cm2 D.36π cm2 3．圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是6π (结果保留π)． 解：(1)设圆锥的底面半径为r cm，扇形的弧长l＝eq \f(120π×8,180)＝eq \f(16π,3)， ∴2πr＝eq \f(16π,3)，解得r＝eq \f(8,3)，即圆锥的底面半径为eq \f(8,3)cm. 4．一个圆锥的侧面展开图是半径为8 cm，圆心角为120°的扇形，求： (1)圆锥的底面半径； (2)圆锥的全面积． (2)圆锥的全面积为S＝eq \f(120π×82,360)＋π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3))) eq \s\up12(2)＝eq \f(256π,9)(cm2)． 知识点2：圆锥的有关计算 5．(任城区模拟)如图，有一块半径为1 m，圆心角为120°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器(接缝忽略不计)，那么这个圆锥体容器的高为 （ ） A.eq \f(1,3) m B.eq \f(2,3) m C.eq \f(2\r(2),3) m D.eq \f(4,3) m 6．(丹阳模拟)如图，从直径为2 cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O，A，B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是eq \f(\r(2),4 )cm. eq \f(\r(2),4) 7．已知圆锥的底面半径为5 cm，侧面积为65π cm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ(如图所示)，则sin θ的值为 （ ） A.eq \f(5,12) B.eq \f(5,13) C.eq \f(10,13) D.eq \f(12,13) 8．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为 （ ） A．3.5 cm 　 B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm 9．蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成．若用毛毡搭建一个底面圆面积为25 π m2，圆柱高为3 m，圆锥高为2 m的蒙古包，则需要毛毡的面积是(30＋5 )π m2. 10．若一圆锥的主视图是等边三角形，则其侧面展开图的圆心角是 180 °. (30＋5 eq \r(29))π 11．如图，在⊙O中，AB＝4eq \r(3)，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于点F，∠A＝30°. (1)求图中阴影部分的面积； 解：∵∠A＝30°，AC⊥BD， ∴∠BOD＝120°， 又∵AB＝4eq \r(3) ， ∴BF＝2eq \r(3) ，∴OB＝4， ∴S阴影＝eq \f(120π×42,360)＝eq \f(16,3)π. 解：设这个圆锥底面圆的半径为r， 由πr·OB＝eq \f(16,3)π，得4πr＝ eq \f(16,3)π， ∴r＝eq \f(4,3)，S全＝S阴影＋πr2＝eq \f(64,9)π. (2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的全面积． 12．(邵阳中考)某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1∶2，制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合． (1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小； (2)若圆锥底面圆的直径ED为5 cm，求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积．(结果保留π) (2)∵AD＝2DE＝10 cm， ∴S阴影＝eq \f(1,2)BC·AD－S扇形AEF ＝eq \f(1,2)×10×20－eq \f(90π·102,360)＝(100－25π)cm2. 解：(1)设∠BAC＝n°.由题意，得 π·DE＝eq \f(nπ·AD,180) ，AD＝2DE， ∴n＝90，∴∠BAC＝90°. $$