精品解析：山东省聊城市茌平区茌山学校2024-2025学年上学期10月第二次月考九年级数学试题

2024-2025学年山东省九年级10月联考 数学试题（青岛版） （总分120分 考试时间120分钟） 2024.10 注意事项： 1．答卷前务必将你的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡上的相应位置． 2．本试题不分I、II卷，所有答案都写在答题卡上，不要直接在本试卷上答题． 3．必须用0.5毫米黑色签字笔书写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似； C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 2. 如图，，，周长分别是与，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方先求出相似比，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴和的相似比为， ∴， 故选：B． 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似的性质，将点的坐标乘以2或即可求解． 【详解】解：∵已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把放大， ∴点B的对应点的坐标为：或 即，或． 故选：C． 4. 在中，，都是锐角，且，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出，的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴的形状是锐角三角形． 故选：C． 5. 如图，在中，，，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的正切值，勾股定理，先根据，，，运用勾股定理列式得，然后代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为（ ）．（参考数据：，，） A. 189.5 B. 147 C. 167 D. 158 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，分别解，，求出的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】解：过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，则：四边形为矩形，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的高度为， ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 故选：A． 7. 如图，是的直径，若，四边形内接于，、两点是三等分点，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，先根据等弧所对的圆心角相等，得再证明是等边三角形，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形内接于，、两点是三等分点， ∴， ∵是的直径， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 8. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，垂径定理及其推论，根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，，交于， 六边形是的内接正六边形， ，，， ∴为等边三角形， ，， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 9. 如图，是一个黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，作的外接圆．作的平分线交于点，延长交于点；作的平分线分别交，于点，，延长交于点；连接，分别交，于点，．依次连接，，，．以下说法中不正确的是（ ） A. 五边形和五边形都是正五边形 B. C. 、分别是的三等分点 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据是一个黄金三角形，，得，由三角形的内角和性质得，结合的外接圆O，得，再因为的平分线交于点F，延长交于点E，得出，等角对等边，判断A选项是正确的；再证明，则即可判定B选项是正确的；然后根据圆周角定理，得出，证明，即可判定D选项是正确的，据此即可作答． 【详解】解：∵是一个黄金三角形，， ∴， ∴， ∵的外接圆O， ∴， ∵的平分线交于点F，延长交于点E， ∴， ∴ 同理， ∵B，D点在角平分线上， ∴ ∴五边形是正五边形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理，,,，， ∴， ∵， ∴， ∵对顶角相等， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理得，，，， ∴ ∵ ∴ ∴五边形是正五边形，A选项不符合题意； ∵五边形是正五边形， ∴， ∴ 即 ∴， ∴ 即， ∵外项之积等于内项之积， ∴， 即，故B选项不符合题意； ∵五边形是正五边形， ∴ ∴ ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 故D选项不符合题意， 根据已有条件，无法证明、分别是的三等分点， 故C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10. 如图，在边长为4的等边三角形中，为线段的中点，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段的长不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及勾股定理．首先连接，，，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接，，， ∵在边长为4的等边三角形中，为线段的中点， ∴，， ∵是的切线， ∴； 根据勾股定理知， ∵为定值， ∴当的值最小时，的值最小，当的值最大时，的值最长， ∴当时，线段最小，当与点重合时，线段最长， ∵在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴线段最小值，线段最大值． ∴， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如图，是的边上的一点，添加一个条件________，使（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理“如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似”，即可求解． 【详解】解：由题意得，（公共角）， 所以可添加，使． 故答案为：（答案不唯一） 12. 如图所示，小明在家里楼顶上的点处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点处看电梯楼顶部点处的仰角为，在点处看这栋电梯楼底部点处的俯角为，两栋楼之间的距离为，则电梯楼的高为________米（精确到0.1）．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，分别求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作，则：， 由题意，得：，， ∴，， ∴； 故答案为：． 13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m． 【答案】2 【解析】 【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长． 【详解】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图， ∴AE＝BE＝AB＝×8＝4， 在Rt△AEO中，OE＝＝＝3， ∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m）， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，为切点，是的直径，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点，的坐标得，进而得的半径为1，然后再在中利用锐角三角函数求出，进而得，最后再证为等边三角形即可求出的度数． 【详解】解：点，， ， 过原点， 为的半径， 为的切线， ，， 在中，，，， ， ， ， 又， 三角形为等边三角形， ， 即的度数为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质等，熟练掌握切线的性质，锐角三角函数的定义和等边三角形的判定和性质是解答此题的关键． 15. 如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点， 连接，    四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为， ， ∴， ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故答案为：． 16. 如图，已知，，是三个边长分别为4，8，12的正三角形，排列方式如图所示（点在同一条直线上），连接，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查等边三角形的性质、勾股定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明和都是含有角的直角三角形是解题的关键． 设分别交于点，可证明，且和都是含有的直角三角形，进而求得的长度，根据勾股定理求得，进而求出和的面积即可求解． 【详解】解：设分别交于点． 分别为边长为4、8、12的正三角形， ，． ∵点在同一条直线上， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ∴， ，， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入求解； （2）先算乘方，然后将特殊角的三角函数值代入计算，最后算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图所示，在中，，，，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．如图，过点A作于D，先解求出，，再解求出的长即可． 【详解】解：如图，过点A作于D， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴，， ∴． 19. 如图，在中，，分别是边，上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2）的长是． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据两角对应相等两个三角形相似即可得证； （2）根据相似三角形的性质可知，设BD=，设，则，，从而列出方程解出x的值． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴． 设，则，， ∵，， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴的长是． 20. 在中，点是的中点，以为圆心以为半径作圆．是的中点，连接，交圆于点．连接，连接并延长，交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 由题意得是的直径， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴，，即平分； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理以及平行线分线段成比例． （1）由三角形中位线定理以及平行线分线段成比例，证明，根据圆周角定理求得，推出是线段的垂直平分线，据此即可证明平分； （2）先求得，求得，再利用三角形中位线定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴是的中位线， ∴． 21. 在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点、均在点的正北方向，点在点的正西方向，点在点的南偏西方向上且米，点在点的南偏东方向且米，点在点的东北方向．求道路的长度（结果保留整数）． 参考数据：，，，， 【答案】道路的长度约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，根据题意可得：，，然后在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，如图所示： 由题意得：， 在中，，米， （米）， 在中，，米， （米）， 米， 米， 在中，， （米）， 答：道路的长度约为米． 22. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可； （2）先由“直径所对的圆周角是直角”，可得，用勾股定理求出的长，再根据圆内接四边形的性质，可得，可证明，通过三角形相似即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 23. 【问题情境】 在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中． 【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转． （1）如图2，当点E落在边上时，延长交于点F，求的长． （2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线的距离． （3）连接，取的中点G，三角板由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，根据余弦的定义求解即可； （2）分点在上方和下方两种情况讨论求解即可； （3）取的中点，连接，从而求出，得出点在以为圆心，为半径的圆上，然后根据弧长公式即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵在中，，，． ∴． 【小问2详解】 ①当点在上方时， 如图1，过点作，垂足为， ∵在中，，，， ∴， ∴． ∵在中，，， ，， ∴． ∵点、、在同一直线上，且， ∴． 又∵在中，，，， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． ②当点在下方时， 如图2， 在中，∵，，， ∴． ∴． 过点作，垂足为． 在中，， ∴． 综上，点到直线的距离为． 【小问3详解】 解：如图3，取的中点，连接，则． ∴点在以为圆心，为半径的圆上． 当三角板绕点B顺时针由初始位置旋转到点、B、首次在同一条直线上时，点所经过的轨迹为所对的圆弧，圆弧长为． ∴点所经过的路径长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点在上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省九年级10月联考 数学试题（青岛版） （总分120分 考试时间120分钟） 2024.10 注意事项： 1．答卷前务必将你的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡上的相应位置． 2．本试题不分I、II卷，所有答案都写在答题卡上，不要直接在本试卷上答题． 3．必须用0.5毫米黑色签字笔书写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，周长分别是与，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 在中，，都是锐角，且，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形 5. 如图，在中，，，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 6. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为（ ）．（参考数据：，，） A. 189.5 B. 147 C. 167 D. 158 7. 如图，是的直径，若，四边形内接于，、两点是三等分点，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 8. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 9. 如图，是一个黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，作的外接圆．作的平分线交于点，延长交于点；作的平分线分别交，于点，，延长交于点；连接，分别交，于点，．依次连接，，，．以下说法中不正确的是（ ） A. 五边形和五边形都是正五边形 B. C. 、分别是的三等分点 D. 10. 如图，在边长为4的等边三角形中，为线段的中点，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段的长不可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如图，是的边上的一点，添加一个条件________，使（写出一个即可） 12. 如图所示，小明在家里楼顶上的点处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点处看电梯楼顶部点处的仰角为，在点处看这栋电梯楼底部点处的俯角为，两栋楼之间的距离为，则电梯楼的高为________米（精确到0.1）．（参考数据：，） 13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，为切点，是的直径，则的度数为______． 15. 如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 16. 如图，已知，，是三个边长分别为4，8，12的正三角形，排列方式如图所示（点在同一条直线上），连接，则图中阴影部分的面积为_________． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）． 18. 如图所示，在中，，，，求的长． 19. 如图，在中，，分别是边，上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 在中，点是的中点，以为圆心以为半径作圆．是的中点，连接，交圆于点．连接，连接并延长，交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 21. 在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点、均在点的正北方向，点在点的正西方向，点在点的南偏西方向上且米，点在点的南偏东方向且米，点在点的东北方向．求道路的长度（结果保留整数）． 参考数据：，，，， 22. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 【问题情境】 在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中． 【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转． （1）如图2，当点E落在边上时，延长交于点F，求的长． （2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线的距离． （3）连接，取的中点G，三角板由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $