精品解析：2024-2025学年人教版九年级数学上册期中试题重组练习卷

期中试题重组练习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） （2024秋•凉州区期中） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A B. C. D. （2024秋•凉州区期中） 2. 若一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 （2022秋•麻阳县期中） 3. 利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（ ） A. B. C. D. （2024春•宣州区校级期中） 4. 电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹（由贾玲饰演）在遇到拳击教练昊坤（由雷佳音饰演）后，如何克服生活挑战，重拾自我，开启全新人生的故事．2024年春节（2月10日）一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约4亿元，以后每月票房按相同的增长率增长，历时2个月，至4月10最后一天公映，累计票房收入达34.6亿元，若把平均每月的增长率记作，则方程正确的为（ ） A. B. C. D. （2023秋•花垣县校级期中） 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. （2024秋•凉州区期中） 6. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 最小值是 D. 图象与轴没有交点 （2024秋•东莞市期中） 7. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. （2024春•九龙坡区校级期中） 8. 对于实数a，b，定义新运算，下列结论： ①； ②若，则； ③若为关于x的一元二次方程．的两根，且满足（），则； ④若函数的图象与直线有三个不同的交点，则． 其中正确的有（ ）个； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共8小题） （2024秋•凉州区期中） 9. 一元二次方程化为一般形式是________． （2024秋•凉州区期中） 10. 已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，则k的值为________． （2024春•花山区校级期中） 11. 已知，是方程的两个实数根，则的值为______． （2024春•张店区校级期中） 12. 春节期间电影《热辣滚烫》上映第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，列出方程________． （2024秋•凉州区期中） 13. 若点，都在抛物线上，则线段长为________． （2024春•鲤城区校级期中） 14. 如图，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到一新函数图象．若一次函数的图象与新函数图象有4个公共点，则m的取值范围是__________________． （2024春•开化县期中） 15. 如图，在中，，，，是中点，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动． （1）出发2秒后，点，之间的距离是_________． （2）当的面积最小时，点，之间的距离是_______． （2024春•馆陶县期中） 16. 如图，在平面直角坐标系中．抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线l交抛物线于点B，P为抛物线的顶点． （1）抛物线L的对称轴为直线________； （2）连接OP并延长交直线l于点Q，若点B恰为线段AQ的中点，则a的值为________． 三．解答题（共8小题） （2024秋•凉州区期中） 17. 解方程： （1）； （2）（用公式法解）． （2024秋•凉州区期中） 18. 已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c满足，求满足条件的一元二次方程． （2024春•肇源县期中） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根满足，求m的值． （2024秋•九台区期中） 20. 随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，该市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？ （2024秋•凉州区期中） 21. 已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． （2024春•海淀区校级期中） 22. 在平面直角坐标系中，、是抛物线上任意两点，设抛物线对称轴为直线． （1）若对于，，有，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． （2024春•邵东市期中） 23. 如图所示，在平面内有一线段，分别过A点，B点向x轴作垂线，垂足分别为C、D，我们把线段称之为线段在x轴上的射影，线段的长称之为线段在x轴上的射影长． （1）双曲线上有两点A、B，，求在x轴上的射影长； （2）直线的图象上有两点A、B，在x轴上的射影长为4，求的长； （3）已知抛物线和直线，其中a、b、c满足，抛物线过点，且与直线相交于A、B两点，求线段在x轴上的射影长的取值范围． （2024春•九龙坡区校级期中） 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，已知直线上方抛物线上有一点P，过点P作轴与交于点E，过点P作轴与y轴交于点F，求的最大值和此时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点D，已知点M为新抛物线上的一点，且，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中试题重组练习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） （2024秋•凉州区期中） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义，理解题并掌握一元二次方程的定义是解题关键．形如（为常数，且），只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程是一元二次方程，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B. ，是一元二次方程，符合题意； C. ，当时，不是一元二次方程，故不符合题意； D. ，是二元二次方程，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B． （2024秋•凉州区期中） 2. 若一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，将原方程可化为一般式，再由方程有实数根时，即可得出答案． 【详解】原方程可化为， 该方程有实数根， ， 解得， ， m的值不可能是， 故选：A． （2022秋•麻阳县期中） 3. 利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ∴， ， ， ∵一元二次方程式的两解为、，且， ∴的值为． 故选：A． （2024春•宣州区校级期中） 4. 电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹（由贾玲饰演）在遇到拳击教练昊坤（由雷佳音饰演）后，如何克服生活挑战，重拾自我，开启全新人生的故事．2024年春节（2月10日）一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约4亿元，以后每月票房按相同的增长率增长，历时2个月，至4月10最后一天公映，累计票房收入达34.6亿元，若把平均每月的增长率记作，则方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设平均每天票房的增长率为，根据一元二次方程增长率问题，列出方程即可求解． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：， 故选：D． （2023秋•花垣县校级期中） 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据的顶点式即可得到答案，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A （2024秋•凉州区期中） 6. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 最小值是 D. 图象与轴没有交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，在对称轴的左侧，随的增大而增大，再逐一判断即可． 【详解】解：对于二次函数，则对称轴是直线，顶点坐标为， ， 开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，最大值为， ∴图象与轴没有交点， 故A，B，C选项错误，D选项正确， 故选：D． （2024秋•东莞市期中） 7. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． （2024春•九龙坡区校级期中） 8. 对于实数a，b，定义新运算，下列结论： ①； ②若，则； ③若为关于x的一元二次方程．的两根，且满足（），则； ④若函数的图象与直线有三个不同的交点，则． 其中正确的有（ ）个； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义实数的运算，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象的性质，理解题意，分两种情况分别计算是解决本题的关键．根据定义新运算逐一判断即可． 【详解】解：根据题意：，故①错误； 当时，， ， ， 或； 当时，， ， ，即， 为任何数， 当时，， ， ， 或；故②错误； 为关于x的一元二次方程．的两根， ， ， ，， ，， ，故③正确； 当时， 解得， 当时，， ， 即， 函数图象如图所示， 函数的图象与直线有三个不同的交点， ，故④正确； 故选：B． 二．填空题（共8小题） （2024秋•凉州区期中） 9. 一元二次方程化为一般形式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是‌，其中、、是常数且，由此计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． （2024秋•凉州区期中） 10. 已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，则k的值为________． 【答案】5或6 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分情况讨论：当时，，可求出k的值，再将k的值代入方程进行验证；当或时，代入方程求出k的值，再将k的值代入方程进行验证，即可确定k的值． 【详解】解：m，n，3分别是等腰三角形三边的长， 当时，， ， 方程可化为， 解得， ， 满足条件； 当或时，， ， 方程可化为， 解得， ， 满足条件， 综上所述：k的值为5或6， 故答案为：5或6． （2024春•花山区校级期中） 11. 已知，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，再由，代入进行计算即可，掌握“对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，”是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故答案为：． （2024春•张店区校级期中） 12. 春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，列出方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设平均每天票房的增长率为，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， 据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 由题意得，， 故答案为：． （2024秋•凉州区期中） 13. 若点，都在抛物线上，则线段的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出，，即可得解，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵点，都在抛物线上， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． （2024春•鲤城区校级期中） 14. 如图，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到一新函数图象．若一次函数的图象与新函数图象有4个公共点，则m的取值范围是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，先求出原抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，再求出翻转后的函数解析式为，然后求出当函数恰好经过点时，当函数与抛物线只有一个交点时m的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为； 设是抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折后的图象上一点，则是抛物线图象上一点， ∴，即， ∴翻转后的函数解析式为， 当函数恰好经过点时，则，解得， 当函数与抛物线只有一个交点时， 联立得， 当时，， ∴由函数图象可知，当时，一次函数的图象与新函数图象有4个公共点， 故答案为：． （2024春•开化县期中） 15. 如图，在中，，，，是的中点，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动． （1）出发2秒后，点，之间的距离是_________． （2）当的面积最小时，点，之间的距离是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，正确表示出线段的长度是解题的关键． （1）求得、的长度，由勾股定理定理可得解； （2）设点、同时出发，秒钟后，的面积最小，此时，，，，到的距离为，到的距离为，此时，由二次函数的性质得出当时，的面积最小，求出此时，，由勾股定理定理可得解． 【详解】解：中，，，， ， 由题意可知，， ． 点，之间的距离是； 故答案为：； （2）如图， 设经过时，的面积最小， 在中，，，，， 是的中点， 到的距离为，到的距离为， ， 当时，的面积最小，此时，， ． 当的面积最小时，点，之间的距离是． 故答案为：． （2024春•馆陶县期中） 16. 如图，在平面直角坐标系中．抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线l交抛物线于点B，P为抛物线的顶点． （1）抛物线L的对称轴为直线________； （2）连接OP并延长交直线l于点Q，若点B恰为线段AQ的中点，则a的值为________． 【答案】 ①. 1 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查抛物线与坐标轴交点问题． （1）根据抛物线的对称轴公式计算解题即可； （2）先根据对称性得到点的坐标，然后得到点的坐标，然后计算出直线的解析式，代入求出顶点的坐标，然后利用解析式求出的值即可． 【详解】解：（1）抛物线L的对称轴为直线， （2）∵过点A作x轴的平行线l交抛物线于点B， ∴点，关于直线对称， 当时，， ∴A点坐标为，B点坐标为， 又∵点B恰为线段的中点， ∴点的坐标为， 设的解析式为，代入得，解得， ∴， ∴点P的坐标为， 则抛物线解析式为， ∴，解得， 故答案为：1，2． 三．解答题（共8小题） （2024秋•凉州区期中） 17. 解方程： （1）； （2）（用公式法解）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适合的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先求出的值，再利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：移项得：， 开方得：， 解得：，． 【小问2详解】 ，，， ， 方程有两个不等的实数根， 即，． （2024秋•凉州区期中） 18. 已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c满足，求满足条件的一元二次方程． 【答案】满足条件的一元二次方程为或 【解析】 【分析】本题考查了一次二次方程的定义和非负数的性质，几个非负数的和为0时，那么这几个非负数分别等于0．根据非负数的性质列式求出a，b，c的值，然后代入方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， 解得，，， ∴满足条件的一元二次方程为或． （2024春•肇源县期中） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根满足，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）m的值为或6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及根与系数的关系，在有实数根的情况下必须满足．熟练掌握韦达定理是解题关键． （1）根据根的判别式与一元二次方程的关系，可得，即可证得关于x的一元二次方程一定有两个实数根． （2）由可知，根据根与系数的关系列方程求出m的值即可． 【小问1详解】 ∵ ， ∴方程总有两个实数根． 【小问2详解】 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 即m值为或6． （2024秋•九台区期中） 20. 随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，该市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该市充电桩数量的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】设该市充电桩数量的年平均增长率为，可列方程： 解得，（舍去） 答：该市充电桩数量的年平均增长率为． （2024秋•凉州区期中） 21. 已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； 【小问2详解】 解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线 ∴ ∴ ∴当时， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为． （2024春•海淀区校级期中） 22. 在平面直角坐标系中，、是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． （1）若对于，，有，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （）由题意可得点离对称轴更近，点与点的中点在对称轴的右侧，即得，得到，进而由得到或，再分这两种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵对于，，有， ∴， ∴， ∴， ∴对称轴为直线， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴点离对称轴更近，点与点的中点在对称轴的右侧， ∴， ∴， ∵， ∴或， ①当时，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②当时，则， ∵始终要满足， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，或． （2024春•邵东市期中） 23. 如图所示，在平面内有一线段，分别过A点，B点向x轴作垂线，垂足分别为C、D，我们把线段称之为线段在x轴上的射影，线段的长称之为线段在x轴上的射影长． （1）双曲线上有两点A、B，，求在x轴上的射影长； （2）直线的图象上有两点A、B，在x轴上的射影长为4，求的长； （3）已知抛物线和直线，其中a、b、c满足，抛物线过点，且与直线相交于A、B两点，求线段在x轴上的射影长的取值范围． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的性质，根与系数的关系，反比例函数的图象和性质： （1）把代入即可求得m、n的值，从而得到在x轴上的射影长； （2）设A的横坐标为m，分别表示出A、B的坐标，再用两点间的距离公式即可得出结论； （3）令的方程，设其两根为，，由根与系数的关系可得到：，； 由，得到，由，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在上， ∴，， ∴， ∴在x轴上的射影长为； 小问2详解】 解：设A的横坐标为m，则A的纵坐标为：， ∴， B横坐标为， ∴B的纵坐标为：； ∴； 【小问3详解】 解：令的方程， 设其两根为，，则：，； 由， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴线段在x轴上的射影长的取值范围为． （2024春•九龙坡区校级期中） 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，已知直线上方抛物线上有一点P，过点P作轴与交于点E，过点P作轴与y轴交于点F，求的最大值和此时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点D，已知点M为新抛物线上的一点，且，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时点P的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，则，求出直线的解析式，则，则，利用二次函数的性质求出的最大值，即可得出的最大值和此时点P的坐标； （3）分点M在直线上方和下方两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设点，则， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为， 此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：原抛物线的解析式为， 新抛物线的解析式为， 令，则， ， 当点在直线上方时，如图，连接，过点作轴的垂线，交新抛物线于点H，过点M作轴的平行线，交直线于点G，交直线于点T，过点M作，垂足为， ，， ， 平分， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， 设点，则， ，， ，， ， ， ， 解得：或（舍去） ； 当点在直线下方时，如图，连接，过点作轴的垂线，交过点作轴的直线于点，作，延长并延长，在延长线上截取，过P点作轴于点Q， 则，，， 在中，，即， 解得， ∴， 又∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴点Q坐标为， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴，即点M在直线上， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 解方程组得：（舍去），， ∴点M的坐标为， 故点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、坐标与图形、平移性质、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和转化思想求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$