第五章二次函数单元提优解答题专练2024-2025学年苏科版数学九年级下册

二次函数单元提优解答题专练 1. 如图,在平面直角坐标系中,直线与坐标轴交于、两点,经过、两点的抛物线与轴的另一交点的坐标为,连接. (1)填空:_,_,_; (2)若点在直线下方的抛物线上一动点,连接、,当,求点的坐标; (3)若点在直线下方的抛物线上一动点,当恰好平分时,求点横坐标. 2. 定义:若一个函数图像中存在横、纵坐标相等的点,则称该点为这个函数图像的“等值点”,例如:点是函数的图像的“等值点”. (1)分别判断函数,的图像上是否存在“等值点”?如果存在,求出“等值点”的坐标;如果不存在,请说明理由; (2)设函数,的图像的“等值点”分别为点A、B,过点B作轴,垂足为,当 ABC面积为3时,求的值; (3)若函数的图像记为,将其沿直线翻折后的图像记为,当,与组合成的图像上恰有两个“等值点”时,请求出的取值范围. 3. “距离”是数学研究重要对象,如我们所熟悉的两点间的距离.现在我们定义一种新的距离:已知,是平面直角坐标系内的两点,我们将称作,间的“型距离”,记作,即.已知二次函数的图象经过平面直角坐标系内的A,B,C三点,其中A,B两点的坐标分别为,,点C在直线上运动,且满足. (1)求; (2)求抛物线的表达式; (3)已知是该坐标系内的一个一次函数.若D,E是图象上的两个动点,且,求 CDE面积的最大值. 4.综合与实践 【问题提出】 某数学兴趣小组开展综合实践活动:在中,,D为AC上一点,,动点P以每秒1个单位的速度从C点出发,在三角形边上沿C B A匀速运动,到达点A时停止,以为边作正方形.设点P的运动时间为,正方形的面积为S,探究S与t的关系. 【初步感知】 (1)如图1,当点P由点C运动到点B时, ①当时,S=_; ②求S关于t的函数解析式. (2)当点P由点B运动到点A时,经探究发现S是关于t的二次函数,并绘制成如图2的图象.请根据图象信息,求S关于t的函数解析式(并写出自变量的取值范围)及线段的长. 【延伸探究】 (3)若存在3个时刻,,()对应的正方形的面积均相等. ①_; ②当时,求正方形的面积. 5. 如图1,直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B,将线段AB绕点A顺时针旋转90 ,得到AC,连接BC,将 ABC沿射线BA平移,当点C到达x轴时运动停止.设平移距离为m,平移后的图形在x轴下方部分的面积为S,S关于m的函数图象如图2所示(其中0<m≤a,a<m≤b时,函数的解析式不同). (1)填空: ABC的面积为 ; (2)求直线AB的解析式; (3)求S关于m的解析式,并写出m的取值范围. 6. 如图,已知二次函数的图象与y轴交于点,与x轴交于点B、C,点C坐标为.连接、. (1)请直接写出二次函数的表达式; (2)若点N在线段上运动(不与点B、C重合),连接. ①当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请求出此时点N的坐标; ②过点N作,交于点M,求 AMN面积的取值范围. 7. 根据以下素材,探索完成任务. 如何设计警戒线之间宽度? 素材1 图1为某公园的抛物线型拱桥,图2是其横截面示意图,测得水面宽度米,拱顶离水面的距离为米. 素材2 拟在公园里投放游船供游客乘坐,载重最少时,游船的横截面如图3所示,漏出水面的船身为矩形,船顶为等腰三角形.测得相关数据如下:米,米,米,米. 素材3 为确保安全,拟在石拱桥下面的P,Q两处设置航行警戒线,要求如下: ①游船底部在P,Q之间通行; ②当载重最少通过时,游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米. 问题解决 任务1 确定拱桥形状 在图2中建立合适的直角坐标系,并求这条抛物线的函数表达式. 任务2 设计警戒线之间的宽度 求的最大值. 8. 跳绳是一项很好的健身活动,如图①是小明跳绳运动时的示意图,建立平面直角坐标系如图②所示,甩绳近似抛物线形状,脚底B,C相距20cm,头顶A离地174cm,相距60cm的双手D,E离地均为80cm.点A,B,C,D,E在同一平面内,脚离地面的高度忽略不计,小明调节绳子,使跳动时绳子刚好经过脚底B,C两点,且甩绳形状始终保持不变. (1)求经过脚底B,C 时绳子所在抛物线的解析式; (2)判断小明此次跳绳能否成功,并说明理由. 9. 如图,在,,该三角形的三个顶点均在坐标轴上.二次函数过. (1)求二次函数的解析式; (2)点为该二次函数第一象限上一点,当 BCP的面积最大时,求点的坐标; (3)为二次函数上一点,为轴上一点,当成四边形是平行四边形时,直接写出的坐标. 10. 已知抛物线顶点坐标为,与轴交于点和点,与轴交于点,点为第二象限内抛物线上的动点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,连接交于点,当S CPD:S BPD=1:2时,请求出点的坐标; (3)如图2,点的坐标为,点为轴负半轴上的一点,,连接,若,请求出点的坐标; (4)M是平面内一点,将 AOC绕点逆时针旋转后,得到,若两个顶点恰好落在抛物线上,请求点的坐标. 11. 塑料大棚(如图1)是一种简易实用的保护地栽培设施,我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟.一个蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分和矩形构成(如图2),矩形的一边为12米,另一边为2米.以所在的直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系(规定一个单位长度代表1米).抛物线的顶点坐标为,其横截面有三根支架,,(三根支架均垂直于地面),且. (1)求此抛物线对应二次函数关系式; (2)已知大棚共有支架300根(,,各100根),为了增加大棚内空间,拟将图2中棚顶向上调整,调整后仍然是抛物线的一部分且支架数量不变,对应顶点上升到(如图3).若增加的支架(,,)单价为60元/米(接口忽略不计),要使增加支架的费用不超过12000元,求大棚向上调整高度的最大值. 12. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点和点两点,且与轴交于点.连接,,为抛物线在第二象限内一点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图,连接,,抛物线上是否存在点,使得.若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图,连接,,过点作交于点,连接.若,求点坐标. 13. 如图,抛物线与x轴分别交于、,与y轴交于顶点为C. (1)求该抛物线的解析式,及顶点C的坐标. (2)如图(1)抛物线上是否存在一点P,使得,若存在,求出点P,若不存在,请说明理由: (3)如图(2),将该抛物线绕点B顺时针旋转,交y轴于点F、G,顶点C旋转至点E,在旋转后抛物线上之间,是否存在一点M,使得四边形面积最大?若存在,请直接写出M点坐标,若不存在,请说明理由. 14. 如图1,已知抛物线顶点C的纵坐标是4,与x轴交于A、O两点,经过点A的直线经过,D为直线上一动点. (1)_;_; (2)连接,当线段与直线夹角为时,求点D的坐标. (3)如图2,连接,线段上是否存在点E,连接,当时,线段被x轴截得线段比为两部分,若存在,直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 答案 1. (1),,2; (2)点Q坐标(-2,-8)或(-4,-6) (3) Q点的横坐标 2.(1)函数y=2x+1的图象上存在“等值点”为;函数y=x -x+2的图象上不存在个“等值点” . (2)b的值为或 (3)或 3. (1)5 (2) (3)10 4. (1)①;②;(2),;(3)①4;②3 5. (1);(2)y=﹣x+1;(3)S=. 6. (1) (2)①或;② 7. 【任务1】,【任务2】 8. (1)抛物线解析式为 (2)小明此次跳绳成功。 理由:由(1)得:抛物线解析式为, 当时,, ∴顶点坐标为, 即跳绳顶点到手的垂直距离是厘米, ∵头顶A离地174厘米, ∴, ∴跳绳不过头顶A, ∴小明此次跳绳成功. 9. (1) (2) (3)或或或 10. (1) (2) (3) (4)或 11. (1) (2)大棚向上调整高度的最大值为0.8米 12. (1); (2)不存在。 理由 :无法满足S PAC:S四边形ABCP=1:3 (3). 13. (1),顶点的坐标为 (2)存在,,, (3)存在, 14. (1), (2)点D的坐标为或 (3)存在,点E的坐标为或 学科网(北京)股份有限公司 $$