27．4　正多边形和圆 课件 2024—2025学年华东师大版数学九年级下册

外接圆 内切圆 中心 半径 边心距 中心角 A A D B B B C A B 108° 27．4　正多边形和圆 1．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆． 2．正多边形外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角. 正n边形的每个中心角都等于eq \f(360°,n ). eq \f(360°,n) 如图，正五边形ABCDE与正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，若连接BM，则∠MBC的度数是 (　　) A．12° B．15° C．30° D．48° 【思路分析】连接OA，OC，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可． 【自主解答】 【名师支招】 1．常见辅助线是作半径与边心距构建直角三角形． 2．正n边形的中心角的度数为eq \f(360°,n)，n边形的内角和为(n－2)·180°，正n边形的每个内角的度数为eq \f(（n－2）·180°,n). 【易错原因】误认为正多边形的边心距是正多边形的半径 一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(　　 ) A．2　　B.eq \r(3) 　　C．1　　 D.eq \f(1,2) 【自主解答】 知识点1：认识正多边形 1．下列关于正多边形的判断中正确的是 （ ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．各边相等的圆内接多边形是正多边形 2．如图，已知⊙O的内接等腰三角形ABC，AB＝AC，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，BE＝BC，求证：五边形AEBCD是正五边形． 证明：在△ABC中，∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB， ∴eq \o(AD,\s\up18(︵))＝eq \o(CD,\s\up18(︵))＝eq \o(AE,\s\up18(︵))＝eq \o(BE,\s\up18(︵))，又∵BE＝BC， ∴eq \o(BE,\s\up18(︵))＝eq \o(BC,\s\up18(︵))，即eq \o(AD,\s\up18(︵))＝eq \o(DC,\s\up18(︵))＝eq \o(CB,\s\up18(︵))＝eq \o(BE,\s\up18(︵))＝eq \o(EA,\s\up18(︵))， ∴点A，E，B，C，D把⊙O五等分， ∴五边形AEBCD是正五边形． 知识点2：正多边形的有关计算 3．正十边形的中心角是 （ ） A．18° B．36° C．72° D．144° 4．(绍兴中考)如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在eq \o(AB,\s\up8(︵))上，则∠BPC的度数为 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 5．正六边形的边长为6，则它的边心距为 （ ） A．3 B．3eq \r(3) C．4 D．2eq \r(3) 6．设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论中不正确的是 （ ） A．h＝R＋r B．R＝2r C．r＝eq \f(\r(3),4)a D．R＝eq \f(\r(3),3)a 7．(朝阳县期末)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，连接DM，若⊙O的半径为2，则MD的长为 （ ） A.eq \r(7) B.eq \r(5) C．2 D．1 8．(凉山州中考)如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD ∶AB的值为 （ ） A．2eq \r(2)∶eq \r(3) B.eq \r(2)∶eq \r(3) C.eq \r(3)∶eq \r(2) D.eq \r(3)∶2 eq \r(2) 9．(绥化中考)边长为4 cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是eq \f(2\r(3),3 ). 10．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是eq \f(2\r(3),3 ). eq \f(2\r(3),3) eq \f(\r(2),8) 11．已知⊙O和⊙O上的一点A(如图所示)． (1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； (2)在(1)的作图中，如果点E在弧AB上，求证：BE是⊙O的内接正十二边形的一边． (1)解：如图． (2)证明：连接OE，BE， ∵∠AOB＝eq \f(360°,4)＝90°， ∠AOE＝eq \f(360°,6)＝60°， ∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝30°， ∴BE为⊙O的内接正十二边形的一边． 12．(金华中考)如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题．作法：如图②，a.作直径AF；b.以点F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N；c.连接AM，MN，NA. (1)∠ABC＝108°； (2)△AMN是正三角形吗？请说明理由； (3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 解：(2)△AMN是正三角形， 理由：连接ON，FN， 由作图知FN＝FO， ∴ON＝OF＝FN， ∴△OFN是正三角形，∴∠OFN＝60°， ∴∠AMN＝∠OFN＝60°，同理∠ANM＝60°， ∴∠MAN＝60°，即∠AMN＝∠ANM＝∠MAN， ∴△AMN是正三角形． (3)连接OD，由(2)知△AMN是正三角形， ∴∠AON＝2∠AMN＝120°. ∵eq \o(AD,\s\up18(︵))＝2eq \o(AE,\s\up18(︵))， ∴∠AOD＝2×72°＝144°， ∵eq \o(DN,\s\up18(︵))＝eq \o(AD,\s\up18(︵))－eq \o(AN,\s\up18(︵))， ∴∠NOD＝144°－120°＝24°， ∴n＝eq \f(360°,24°)＝15. $$