27.2.3　切　线 第1课时　圆的切线的判定与性质 课件 2024—2025学年华东师大版数学九年级下册

只有一个 半径 垂直于这条半径 只有一个 圆的半径 经过切点的半径 切点 圆心 D C C C D 27．2.3　切　线 第1课时　圆的切线的判定与性质 1．切线的判定方法： (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)若圆心到直线的距离等于半径，这条直线是圆的切线． (3)经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2．切线的性质： (1)切线和圆只有一个公共点． (2)切线到圆心的距离等于圆的半径． (3)切线垂直于经过切点的半径． (4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点． (5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心． 如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为点E. (1)求证：点D是BC的中点； (2)求证：DE是⊙O切线． 【思路分析】(1)根据“三线合一”证明； (2)连接OD，证明OD⊥DE. 【自主解答】 【名师支招】切线的判定方法2，3的选择标准是看直线与圆的公共点是否已知，若已知公共点，则连圆心与公共点，证垂直；若公共点未知，则过圆心作垂线，证d＝r. (1)连接AD，∵AB是直径，∴AD⊥BC， 又∵AB＝AC，∴BD＝CD, ∴点D是BC的中点． (2)连接OD，∵AO＝BO, BD＝CD， ∴OD∥AC，又∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线． 知识点1：切线的判定 1．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P(点E，F在点P的两旁)，下列条件中能判定直线EF与⊙O相切的是 （ ） A．OP＝5 　　　 B．O到直线EF的距离是4 C．OE＝OF D．OP⊥EF 2．如图，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E.求证：OB与⊙D相切． 证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F. ∵OA切⊙D于点E，∴DE⊥OA. 又∵DF⊥OB，D是∠AOB平分线上一点， ∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切． 知识点2：切线的性质 3．(长春中考)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的度数为 （ ） A．35° B．45° C．55° D．65° 4．(重庆中考)如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC.若∠A＝30°，AB＝2eq \r(3)，BC＝3，则OC的长是 （ ） A．3 B．2eq \r(3) C.eq \r(13) D．6 5．(杭州中考)如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2.若PT是⊙O的切线，T为切点，连接OT，则PT的长为 . eq \r(3) 6．(奉化区模拟)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ ） A．∠E＝∠CFE B．∠E＝∠ECF C．∠ECF＝∠EFC D．∠ECF＝60° 7.如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1，则BD的长为 （ ） A．1 B．2 C.eq \r(2) D.eq \r(3) 8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. (1)求证：AC平分∠DAB； (2)若AD＝8，tan∠CAB＝eq \f(3,4)，求边AC及AB的长． (1)证明：连接OC， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD，∵AD⊥CD， ∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAB. (2)解：连接BC，由(1)知∠DAC＝∠OAC， ∴tan∠DAC＝tan∠CAB＝eq \f(3,4)，在Rt△DAC中， ∵tan∠DAC＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(3,4)，∴CD＝6，∴AC＝10， ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴tan∠CAB＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4)， ∴BC＝eq \f(3,4)×10＝eq \f(15,2)，∴AB＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)))\s\up12(2)＋102)＝eq \f(25,2). 9．(辽宁中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC. (1)求证：EF与⊙O相切； (2)若BF＝1，sin∠AFE＝eq \f(4,5)，求BC的长． (1)证明：连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠OAE， ∵∠CAB＝2∠EAB， ∴∠CAB＝∠FOE， 又∵∠AFE＝∠ABC， ∴∠CAB＋∠ABC＝∠FOE＋∠AFE， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB＋∠ABC＝90°＝∠FOE＋∠AFE，∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF， ∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线． (2)解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r＋1， ∵sin∠AFE＝eq \f(4,5)＝eq \f(OE,OF)＝eq \f(r,r＋1)， ∴r＝4，∴AB＝2r＝8， 在Rt△ABC中， sin∠ABC＝eq \f(AC,AB)＝sin∠AFE＝eq \f(4,5)，AB＝8， ∴AC＝eq \f(4,5)×8＝eq \f(32,5)，∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \f(24,5). $$