27.2.2　直线与圆的位置关系 课件 2024—2025学年华东师大版数学九年级下册

相交 相切 切线 切点 相离 d<r d＝r d＞r B 相切或相交 B C D A 4 3≤r≤5 (2)⊙D与AB相切． (3)⊙D与AB相交． 27．2.2　直线与圆的位置关系 1．直线和圆有两个公共点，称这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；直线和圆只有一个公共点，这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；直线和圆没有公共点，这条直线和圆相离． 2．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d<r ；直线l和⊙O相切⇔ d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为 (　　 ) A．0　　　　　　 B．1 C．2 D．不能确定 【思路分析】公共点的个数取决于直线与圆的位置关系，因此应该先计算d的值，然后通过比较d与r的大小去判断． 【自主解答】 【名师支招】d指的是圆心到要判断的直线的垂线段的长度，注意不要选错线段． 【易错原因】不能正确理解d的意义 已知⊙O的直径为6 cm，如果直线l上的一点C到圆心O的距离为3 cm, 则直线l与⊙O的位置关系是　　. 【自主解答】 知识点1：直线与圆的位置关系的判定 1．已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为 （ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆 （ ） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 3．(嘉兴中考)已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为 （ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 知识点2：直线与圆的位置关系的性质 4．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是 （ ） A．r>5 B．r＝5 C．0<r<5 D．0<r≤5 5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2，当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交、相切、相离？ 解：过点O作OD⊥AB于点D. ∵∠A＝90°，∠C＝60°， ∴∠B＝30°，∴OD＝eq \f(1,2)OB＝eq \f(1,2)x. 当AB所在的直线与⊙O相切时， OD＝r＝2.∴BO＝4， ∴当0＜x＜4时，AB所在的直线与⊙O相交； 当x＝4时，AB所在的直线与⊙O相切； 当x＞4时，AB所在的直线与⊙O相离． 6．已知⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为4 . 7．如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，以点D为圆心的圆，与线段AB有公共点，则圆的半径r的取值范围是3≤r ≤5. 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°. (1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)请判断(1)中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论． 解：(1)如图所示． (2)BC与⊙P相切． 证明：过点P作PD⊥BC于点D. ∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB， ∴PD＝PA，即圆心P到直线BC的距离等于⊙P的半径， ∴BC与⊙P相切． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4 cm，∠BAC＝120°，以底边BC的中点D为圆心，下列以r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？ (1)r＝1 cm；(2)r＝eq \r(3) cm；(3)r＝2 cm. 解：连接AD，作 DH⊥AB于点H， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC. ∴∠BAD＝eq \f(1,2)∠BAC＝60°. ∴∠B＝90°－60°＝30°. ∵AB＝4， ∴AD＝2，BD＝2eq \r(3)，∴DH＝eq \r(3).(1)⊙D与AB相离． 10．(遂宁中考)已知平面直角坐标系中，点P(x0，y0)和直线Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)，则点P到直线Ax＋By＋C＝0 的距离d可用公式d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))来计算．例如：求点P(1，2)到直线y＝2x＋1的距离， 因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))＝ eq \f(|2×1＋（－1）×2＋1|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5). 根据以上材料，解答下列问题： (1)求点M(0，3)到直线y＝eq \r(3)x＋9的距离； (2)在(1)的条件下，⊙M的半径r＝4，判断⊙M与直线y＝eq \r(3)x＋9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，请说明理由． 解：(1)∵y＝eq \r(3)x＋9可变形为eq \r(3)x－y＋9＝0， 则其中A＝eq \r(3)，B＝－1，C＝9，由公式得 d＝eq \f(|\r(3)×0－3＋9|,\r(（\r(3)）2＋（－1）2))＝3. ∴点M到直线y＝eq \r(3)x＋9的距离为3. (2)如图，由(1)可知圆心到直线的距离d＝3， ∵圆的半径r＝4，∴d<r， ∴直线y＝eq \r(3)x＋9与⊙M相交，两交点记作E，F， 连接EM，过点M作MH⊥EF于点H, 则EF＝2EH， 在Rt△EHM中，EM＝4，MH＝3，根据勾股定理，得EH＝eq \r(EM2－MH2)＝eq \r(42－32)＝eq \r(7)， ∴弦长n＝EF＝2EH＝2eq \r(7). $$