27.2.1　点与圆的位置关系 课件 2024—2025学年华东师大版数学九年级下册

＞ ＝ ＜ 一个 顶点 三边垂直 平分线 内接 C 40°或140° C B OP>6 cm C D B A D 11 cm或8 cm 27．2　与圆有关的位置关系 27．2.1　点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r. 2．三角形的外接圆：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，它的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三 角形． 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是( 　　) A．点C在⊙B内 B．点C在⊙B上 C．点C在⊙B外 D．无法确定 【思路分析】计算出d的大小然后与r进行比较即可得出结论． 【自主解答】 【名师支招】点与圆的位置关系通过d与r的数量关系判断，熟记位置与数量的对应关系是解决问题的关键． 【易错原因】在三角形外接圆中求圆周角时考虑问题不全面 已知点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为　　. 【自主解答】 知识点1：点与圆的位置关系 1．已知⊙O的半径为4 cm，若OA＝3 cm，则点A与⊙O的位置关系是 （ ） A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O内 D．不能确定 2．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为5，点P的坐标为(3，4)，则点P的位置为 （ ） A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不确定 3．已知⊙O的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是OP>6 cm. 知识点2：确定圆的条件及个数 4．下列关于确定一个圆的说法中，正确的是 （ ） A．三个点一定能确定一个圆 B．以已知线段为半径能确定一个圆 C．以已知线段为直径能确定一个圆 D．菱形的四个顶点能确定一个圆 5．(江西中考)如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 （ ） A．3 B.4 C．5 D.6 知识点3：三角形的外接圆 6．下列说法中正确的是 （ ） A．三角形的外心一定在三角形的内部 B．三角形有且只有一个外接圆 C．三角形的外心是角平分线的交点 D．圆有且只有一个内接三角形 7．在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为（ ） A．E，F，G B．F，G，H C．G，H，E D．H，E，F 8.如图，坐标平面上有A(0，a)，B(－9，0)，C(10，0)三点，其中a＞0，若∠BAC＝100°，则△ABC的外心在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．点M到⊙O上的最小距离为3 cm，最大距离为19 cm，那么⊙O的半径为11 cm或8 cm. 10．(核心素养·几何直观)如图，已知矩形ABCD 的边AB＝1，AD＝2. (1)以点A为圆心，2为半径作⊙A.则点B，C，D与⊙A的位置关系分别是怎样的？ (2)以点A为圆心作⊙A，半径r满足什么条件时，点B，C，D中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外？ 解：(1)∵AB＝1<2， ∴点B在⊙A内； ∵AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(5)>2， ∴点C在⊙A外； ∵AD＝2，∴点D在⊙A上． (2)∵AB＝1，AD＝2，AC＝eq \r(5)，∴AB<AD<AC， ∴当1<r<eq \r(5)时，点B，C，D中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外． 11．(汉台中学模拟)如图，AD为△ABC的外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD. (1)求证：BD＝CD； (2)请判断B，E，C三点是否在以点D为圆心，以DB为半径的圆上．并说明理由． (2)解：B，E，C三点在以点D为圆心，DB为半径的圆上． 理由：由(1)知eq \o(BD,\s\up18(︵))＝eq \o(CD,\s\up18(︵))， ∴∠CBD＝∠BAD. 又∵∠BED＝∠BAD＋∠ABE， ∠EBD＝∠CBD＋∠EBC，∠ABE＝ ∠EBC， ∴∠BED＝∠EBD，∴DB＝DE. 又∵BD＝CD，∴DB＝DE＝DC， ∴B，E，C三点在以点D为圆心，以DB为半径的圆上． (1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴eq \o(BD,\s\up18(︵))＝eq \o(CD,\s\up18(︵))，∴BD＝CD. 12．【问题提出】如图①，△ABC为⊙O内接三角形，已知BC＝a，圆的半径为R，探究a，R，sin A之间的关系． 【解决问题】如图②，若∠A为锐角，连接BO并延长交⊙O于点D，连接DC，则∠A＝∠D，在△DBC中，BD为⊙O直径，BC＝a，所以BD＝2R，∠ BCD＝90°.所以在Rt△DBC中建立a，R，sin D的关系为sin D ＝ .所以 在⊙O内接三角形△ABC中，a，R，sin A之间的关系为sin A＝ .类比锐角求法，当∠A为直角和钝角时都有此结论． 【结论应用】已知三角形△ABC中，∠B＝60°，AC＝4，则△ABC外接圆的面积为eq \f(16,3 ). sin A＝eq \f(a,2R) sin D＝eq \f(a,2R) eq \f(16,3)π $$