27.2.3　切　线 第2课时　切线长定理与三角形的内切圆 课件 2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

切线长 相等 夹角 相切 三角形三条角平分线 一 无数 内心 B 65° 76° D 2 70° ＜ D 219° 第2课时　切线长定理与三角形的内切圆 1．经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2．过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 3．与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内切圆只有一个，而圆的外切三角形有无数个． 如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm. (1)求∠BOC的度数； (2)求BE＋CG的长． 【思路分析】运用切线长定理和勾股定理即可解决问题． 【自主解答】 【名师支招】切线长定理是证明线段相等、角相等的重要依据． (1)根据切线长定理，得 BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG， ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°. (2)由(1)知∠BOC＝90°. ∵OB＝6 cm，OC＝8 cm, ∴由勾股定理，得BC＝eq \r(OB2＋OC2)＝10 cm， ∴BE＋CG＝BC＝10 cm. 知识点1：切线长定理 1．(杭州中考)如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB的长为 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB＝50°，则∠AOP＝ 65°. 3．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ 76°. 知识点2：三角形的内切圆 4．下列有关三角形内心的说法中正确的是 （ ） A．内心是三边中垂线的交点 B．内心是三条中线交点 C．内心到三个顶点距离相等 D．内心到三边距离相等 5．直角三角形的两直角边分别是5，12，则它的内切圆半径是2 . 6．(湖州中考)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是70°. 7.(娄底中考)如图，P是△ABC的内心，连接PA，PB，PC，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1＜ S2＋S3(选填“＜”“＝”或“＞”)． 8．(德阳中考)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE.其中正确的个数是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，⊙O为△ABC的内切圆，⊙O切BC于点E，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC＝5，CD＝2，则⊙O的半径为eq \f(10,7 ). eq \f(10,7) 10．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝219°. 11．如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°. (1)求PA的长； (2)求∠COD的度数． 解：(1)由切线长定理可得CA＝CE，DE＝DB， PA＝PB， ∴C△PCD＝PD＋CD＋PC ＝PD＋PC＋CA＋BD ＝PA＋PB＝12，则PA的长为6. (2)连接OA，OE，OB，∵∠P＝60°， ∴∠AOB＝180°－∠P＝120°，由切线长定理可得∠AOC＝∠EOC＝eq \f(1,2)∠AOE，∠DOB＝∠EOD＝eq \f(1,2)∠EOB， ∴∠COD＝∠EOC＋∠EOD＝eq \f(1,2)∠AOB＝60°. 12．(青县期末)【阅读材料】如图①，△ABC的周长为l，面积为S，内切圆⊙O的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：连接OA，OB，OC. ∵S△AOB＝eq \f(1,2)AB·r，S△OBC＝eq \f(1,2)BC·r，S△OCA＝eq \f(1,2)CA·r， ∴S＝eq \f(1,2)l·r，∴r＝eq \f(2S,l). (1)【理解应用】利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径； (2)【类比推理】如图②，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式； (3)【拓展延伸】若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，a4，…，an，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)． (2)设四边形ABCD内切圆的圆心为O， 连接OA，OB，OC，OD，则 S＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCD＋S△ODA ＝eq \f(1,2)(a＋b＋c＋d)·r，∴r＝eq \f(2S,a＋b＋c＋d). (3)类比(1)(2)的结论，得到在圆内切n边形中， 有r＝eq \f(2S,a1＋a2＋…＋an)成立． 解：(1)∵52＋122＝132，∴此三角形为直角三角形，∴三角形面积S＝30，周长l＝30，∴r＝2. $$