27.1.3　圆周角 课件 2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册

圆周上 相交 相等 90°(直角) 相等 一半 相等 直径 互补 C 110° 70° 65° 45° D A AMB BM ACN CN 27．1.3　圆周角 1．圆周角的定义：顶点在圆周上并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 2．圆周角的性质定理： (1)半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角)； (2)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等． 3．圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补． 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，BE＝CE，∠C＝65°，求∠DOE的度数． 【思路分析】根据AB是直径可以构造∠AEB＝90°，然后求解． 【自主解答】 【名师支招】构造直径所对的圆周角是常用的辅助线． 连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC， ∵BE＝CE，∴AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝65°，∠BAC＝2∠CAE， ∴∠BAC＝180°－65°－65°＝50°， ∴∠DOE＝2∠CAE＝∠BAC＝50°. 知识点1：圆周角的定义 1．下列四个图中，∠α为圆周角的是 （ ） 知识点2：圆周角定理 2．(河南中考)如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝55°，则∠AOB的度数为110°. 3．AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为70°. 4．如图，在⊙O中，eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(AC,\s\up8(︵))，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为65°. 知识点3：圆周角定理的推论 5．圆内接四边形ABCD中，∠A ∶∠C＝1∶3，则∠A＝45° . 6．工人师傅用直角尺作如图的测量，测得AB＝12 cm，BC＝5 cm，则圆形镜面的半径为eq \f(13,2 ). eq \f(13,2) cm 7．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为△BCA的外角平分线，求证：△ABD为等腰三角形． 证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠BCD＋∠BAD＝180°， 又∠BCD＋∠MCD＝180°，∴∠BAD＝∠MCD. ∵CD为△BCA的外角平分线，∴∠MCD＝∠DCA， 又∠DBA＝∠DCA，∴∠BAD＝∠DBA， ∴DB＝DA，∴△ABD为等腰三角形． 8．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点．已知eq \o(AB,\s\up8(︵))和eq \o(CD,\s\up8(︵))所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P的度数为 （ ） A．45°　 　 B．40°　 　 C．25°　 　 D．20° 9.(赤峰中考)如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是 （ ） A．25° B.30° C.35° D．40° 10．(张家界中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C是 eq \o(BD,\s\up8(︵)) 的中点，延长AD交BC的延长线于点E. (1)求证：CE＝CD； (2)若AB＝3，BC＝eq \r(3)，求AD的长． (1)证明：连接AC， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝∠ACE＝90°， 又∵C是 eq \o(BD,\s\up8(︵)) 的中点， ∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB， 又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACB(A.S.A.)， ∴CE＝CB，∴CE＝CD. (2)解：∵△ACE≌△ACB，AB＝3， ∴AE＝AB＝3，又∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， 又∵∠ADC＋∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠ABE， 又∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA， ∴eq \f(DE,BE)＝eq \f(CD,AB)，即eq \f(DE,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)， 解得DE＝2，∴AD＝AE－DE＝1. 11．【问题背景】如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC，求证：BD＝AD＋CD. (1)【方法感悟】小颖认为可用截长法证明：如图①－1，在DB上截取DM＝AD，连接AM，只需证明△ADC≌△AMB，可得CD＝BM即可；小军认为可用补短法证明：如图①－2，延长CD至点N，使得DN＝AD，连接AN，只需证明△ABD≌△ACN，可得BD＝CN即可； (2)【类比探究】如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC，试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系：CD＋ AD＝BD； (3)【拓展提升】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，若BC是⊙O的直径，tan∠ABC＝eq \f(4,3)，AD＝3，CD＝2，则BD＝eq \f(21,4 ). CD＋eq \r(2)AD＝BD eq \f(21,4) $$