27.1.2圆的对称性 第1课时圆心角、弧、弦之间的关系课件 2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

相等 相等 相等 相等 相等 相等 旋转 圆心 轴 ＜ CD ∠COD AB ∠AOB 120° D B C ①②③④ 27．1.2　圆的对称性 第1课时　圆心角、弧、弦之间的关系 1．圆心角、弧、弦之间的关系： (1)在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等． (2)在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． (3)在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 2．圆的对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，仍与自身重合，对称中心是圆心．圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴． 如图，在⊙O中，AB＝CD.求证：AD＝BC. 【思路分析】由弦相等可以推得弧相等，进而推得另外一组弦相等． 【自主解答】 【名师支招】熟练掌握在同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系是解题的关键． ∵AB＝CD，∴eq \o(AB,\s\up15(︵))＝eq \o(CD,\s\up15(︵))，∴eq \o(AB,\s\up15(︵))－eq \o(BD,\s\up8(︵))＝eq \o(CD,\s\up15(︵))－eq \o(BD,\s\up15(︵))，即eq \o(AD,\s\up15(︵))＝eq \o(BC,\s\up15(︵))，∴AD＝BC. 【易错原因】误将弧的数量关系与弦的数量关系等同 如图，在⊙O中，劣弧eq \o(AC,\s\up15(︵))，eq \o(AB,\s\up15(︵))满足eq \o(AC,\s\up15(︵))＝2eq \o(AB,\s\up15(︵))，则有AC 2AB.(选填“>”“<”或“＝”) 【自主解答】 知识点1：圆心角、弧、弦之间的关系 1．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，如果∠AOB＝∠COD，那么AB＝CD，eq \o(AB,\s\up15(︵))＝eq \o(CD,\s\up15(︵))；如果eq \o(AB,\s\up15(︵))＝eq \o(CD,\s\up15(︵))，那么∠AOB＝∠COD，AB＝CD；如果AB＝CD，那么 eq \o(AB,\s\up15(︵))＝eq \o(CD,\s\up15(︵))，∠AOB＝∠COD. eq \o(CD,\s\up15(︵)) eq \o(CD,\s\up15(︵)) 2．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝ DA，则∠BCD的度数为120°. 3．如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且eq \o(AB,\s\up15(︵))＝eq \o(BC,\s\up15(︵))＝eq \o(CA,\s\up15(︵)). (1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数； (2)连接AB，BC，CA，试确定△ABC的形状，并说明理由． (2)△ABC是等边三角形． 理由：∵eq \o(AB,\s\up18(︵))＝eq \o(BC,\s\up18(︵))＝eq \o(CA,\s\up18(︵))，∴AB＝BC＝CA， ∴△ABC是等边三角形． 解：(1)∵A，B，C为圆上的三点，eq \o(AB,\s\up18(︵))＝eq \o(BC,\s\up18(︵))＝eq \o(CA,\s\up18(︵))， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝eq \f(1,3)×360°＝120°. 知识点2：圆的对称性 4．下列说法中不正确的是 （ ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度都会与自身重合 C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D．圆的每一条直径都是它的对称轴 5．如图，AB长为10 cm，且CD⊥AB于点O，则图中阴影部分的面积为 π cm2. eq \f(25,4)π cm2 6．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝6，则弦CE的长为 （ ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．如图，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则eq \o(AmB,\s\up8(︵))所对的圆心角的度数为 （ ） A．60° B．90° C．120° D．150° 8．如图，已知点C，D是半圆AB上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD， BC和OD相交于点E.则下列结论： ①∠CBA＝30°；②OD⊥BC；③OE＝eq \f(1,2)AC；④四边形AODC是菱形．其中正确的有①②③④(选填序号)． 9．如图，AB是⊙O的直径，eq \o(AC,\s\up8(︵))＝eq \o(CD,\s\up8(︵))，∠COD＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC∥BD. (1)解：△AOC是等边三角形．理由：∵eq \o(AC,\s\up8(︵))＝eq \o(CD,\s\up8(︵))， ∴∠AOC＝∠COD＝60°， 又∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形． (2)证明：∵∠AOC＝∠COD＝ 60°， ∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°. ∵OD＝OB.∴△ODB为等边三角形． ∴∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠COD＝60°. ∴OC∥BD. 10．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心、AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G. (1)求证：eq \o(EF,\s\up18(︵))＝eq \o(FG,\s\up18(︵))； (2)若 eq \o(EG,\s\up18(︵)) 的度数为140°， 求∠EGB的度数． (1)证明：连接AE， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠GAF＝∠ABE， ∠FAE＝∠AEB， ∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB， ∴∠GAF＝∠FAE，∴eq \o(EF,\s\up18(︵))＝eq \o(FG,\s\up18(︵)). (2)解：由题意，得∠EAG＝140°，∴∠BAE＝40°. ∵AG＝AE，∴∠EGB＝∠AEG＝eq \f(1,2)∠BAE＝20°. 11．小明在完成作业“如图，∠AOB＝90°， C，D是 eq \o(AB,\s\up18(︵))　的三等分点，弦AB分别交OC， OD于点E，F，求证：AE＝BF＝CD”的基础上，做了如下尝试，把∠AOB＝90°改为∠AOB＝120°，其他不变，证明成功后，大胆猜想“如图，∠AOB＝n°，C，D是 eq \o(AB,\s\up18(︵))　的三等分点，弦AB分别交OC，OD于点E，F，求证：AE＝BF＝CD”．请写出小明“猜想”的证明过程． 证明：连接AC，BD， ∵在⊙O中，∠AOB＝n°，C，D为以O为圆心的 eq \o(AB,\s\up18(︵))的三等分点， ∴∠AOC＝eq \f(1,3)∠AOB＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)))°. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180－n,2)))°， ∵∠AOC＝∠BOD＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)))°，∴∠AEC＝∠OAB＋∠AOC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90－\f(n,6)))°， ∵OA＝OC，∠AOC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)))°，∴∠ACE＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90－\f(n,6)))°， ∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，同理BF＝BD， ∵C，D是eq \o(AB,\s\up18(︵))的三等分点，∴AC＝CD＝BD， ∴AE＝BF＝CD. $$