27.1.2　圆的对称性 第2课时　垂径定理 课件 2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册

平分 平分 平分 平分 平分 D C 45° 17 cm 26 17 cm或7 cm D 14 cm (2，6) 30° *第2课时　垂径定理 (2022年版课标调整为必学内容) 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 2．推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦． 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝2，AE＝5，则⊙O的半径是多少？ 【思路分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理计算，得到答案． 【自主解答】 【名师支招】在“直径垂直于弦”的条件下，常常连接圆心与弦的一个端点构造直角三角形． 连接OD，设⊙O的半径为R， ∵AB为直径，CD⊥AB，CD＝2，AE＝5，∴DE＝1，OE＝5－R， 在Rt△ODE中，OD2＝OE2＋DE2，即 R2＝(5－R)2＋1， 解得R＝2.6， 答：⊙O的半径是2.6. 知识点1：垂径定理及推论 1．下列说法中正确的是 （ ） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 2．如图是一个以点O为圆心、半径为5的圆的一部分，若过圆心O的直线EM垂直于弦CD，垂足为点M，并且CD＝6，则EM的长为 （ ） A．6 B．7 C．9 D．10 3．(长沙中考)如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为45° . 4．(南京中考)如图，AB是⊙O的弦，C是eq \o(AB,\s\up8(︵))的中点，OC交AB于点D.若AB＝16 cm，CD＝2 cm，则⊙O的半径为17 c m. 知识点2：垂径定理的应用 5．(自贡中考)一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20 cm，弓形高CD为2 cm，则镜面半径为2 6cm. 易错点：未能正确的分类讨论 6．已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB，CD之间的距离为17 cm或7 cm. 【解析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(eq \o(AB,\s\up18(︵)))，点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，C是 eq \o(AB,\s\up18(︵)) 的中点，D是AB的中点，且CD＝5 m，则这段弯路所在圆的半径为 （ ） A．(20－10eq \r(3))m B．20 m C．30 m D．(20＋10eq \r(3)) m 8．如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8 cm，AC＝6 cm，则四边形OEAD的周长为14 cm. 9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为(2，6 )． 【解析】作MF⊥CD于点F，CE⊥OA于点E，连接MC，则CF＝eq \f(1,2)CD＝8，MF＝eq \r(MC2－CF2)＝6，从而易得点C坐标． 10．如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，且PA＝1 cm，PB＝5 cm，∠DPB＝30°，M为CD的中点，求OM的长． 解：∵M为CD的中点， ∴OM⊥CD， ∵AP＝1 cm，PB＝5 cm， ∴AO＝BO＝eq \f(1,2)AB＝3 cm, 则OP＝AO－AP＝2 cm. 在Rt△MOP中，∠DPB＝30°， ∴OM＝eq \f(1,2)OP＝1 cm. 11．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于点M(0，－4)和N(0，－10)．以P为顶点的抛物线经过点M. (1)求P点坐标； (2)求抛物线的关系式． 解：(1)∵M(0，－4)，N(0，－10)． ∴MN＝6.连接PM，作PA⊥MN于点A，则MA＝3，OA＝7. 又∵PM＝5，∴PA＝4. ∴点P的坐标是(－4，－7)． (2)设抛物线为y＝a(x＋4)2－7， 把M(0，－4)代入，解得a＝eq \f(3,16)， ∴y＝ eq \f(3,16)x2＋eq \f(3,2)x－4. 12．如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H. (1)如果⊙O的半径为4，CD＝4eq \r(3)，则∠BAC的度数为30°； (2)若点E为 eq \o(ADB,\s\up18(︵)) 的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD； (3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？并说明理由． (2)证明：∵点E是eq \o(ADB,\s\up18(︵))的中点，∴OE⊥AB， 又∵CD⊥AB，∴OE∥CD，∴∠ECD＝∠OEC， 又∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴∠OCE＝∠DCE, ∴CE平分∠OCD. (3)解：有2个．理由：因为圆弧 eq \o(AC,\s\up18(︵))上的点到直线AC的最大距离为2, eq \o(ADC,\s\up18(︵))上的点到直线AC的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，eq \o(ADC,\s\up18(︵)) 到直线AC距离为3的点有2个，所以圆周上到直线AC距离为3的点有2个． $$