2024-2025学年人教版九年级上册数学期中全真模拟试题

九年级上册数学期中全真模拟试题 考试范围：第21章--第24.1章；考试时间：100分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．一元二次方程x2＝3x的解为（　　） A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝0 且x＝3 3．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝2x2﹣x B．y＝2x+1 C． D． 4．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．﹣9 B． C． D．9 5．如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（　　） A．（10﹣x）（22﹣x）＝160 B．22×10﹣22x﹣10x＝160 C．22×10﹣22x﹣10x﹣x2＝160 D．22×10﹣22x﹣10x+2x2＝160 6．将抛物线y＝x2+2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的解析式（　　） A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x+1）2+4 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2+1 7．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC上，若AB＝2，AC＝5，则B′C的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB＝5，则△ODE的面积为（　　） A． B． C． D． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a＝b；⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知x＝2是一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个根，则方程的另一个根是 　 　． 12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则点B的坐标为　 　． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　 　． （13题） （14题） （15题） 14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，1）、（1，1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2．若x1的最小值是﹣3，则x2的最大值是 　 　． 15．如图，在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）解方程 （1）2x2+3x＝0； （2）x2﹣4x﹣5＝0； （3）3x2﹣6x﹣1＝0． 17．（9分）已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，，BE交AD的延长线于点F，延长BE、AC交于点G．求证：BF＝FG． 18．（9分）如图，正方形网格中，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A（1，2）、B（3，1）、C（2，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标； （3）连接A1A2，A1B2，A2B2，求△A1A2B2的面积． 19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．过A，D，E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F． （1）求证AF⊥BC； （2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长． 20．（9分）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 21．（9分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 22．（10分）一副三角板按如图1方式放置（有一条边重合），如图2把含45°角的直角三角板BCD绕点C逆时针旋转30°，得到B′CD，其中AB＝1． （1）求B′C的长度； （2）求△ABB′的面积． 23．（11分）综合探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）． （1）求点C的坐标； （2）若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值； （3）在对称轴上是否存在点M，使得△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 选：D． 2．解：方程移项得：x2﹣3x＝0， 分解因式得：x（x﹣3）＝0， 解得：x＝0或x＝3， 选：C． 3．解：A、该函数是二次函数，本选项符合题意； B、该函数是一次函数，本选项不符合题意； C、该函数是反比例函数，本选项不符合题意； D、该函数是一次函数，本选项不符合题意． 选：A． 4．解：∵关于 x 的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0， 解得m． 选：C． 5．解：设道路的宽为x米，根据题意得： （10﹣x）（22﹣x）＝160， 选：A． 6．解：∵抛物线y＝x2+2的顶点坐标为：（0，2）， ∴抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的顶点坐标为：（﹣2，1）， ∴所得新抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+1． 选：D． 7．解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′， ∴AB′＝AB， ∵点B′在边AC上，且AB＝2，AC＝5， ∴AB′＝AB＝2， ∴B′C＝AC﹣AB'＝5﹣2＝3， 选：B． 8．解：∵62+82＝102， ∴这个三角形是直角三角形，10是斜边长， ∵直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点， ∴三角形外接圆的半径＝斜边的一半10＝5， 选：C． 9．解：∵OC⊥AB，AB＝5， ∴， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∵OC⊥AB， ∴OD∥BE， ∵O为AE的中点， ∴OD为△ABE的中位线， ∴BE＝2OD， ∵DE＝3DO， 在Rt△ABE中， ∵BD2+BE2＝DE2， ∴， 解得：， ∴， ∴． 选：A． 10．解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0． ∵对称轴是直线x＝1， ∴x1， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0， ∴①错误． ∵当x＝﹣1时，y＝0． ∴a﹣b+c＝0， ∴②错误． ∵当x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0， ∴③正确． ∵对称轴是直线x＝1， ∴x1， ∴b＝﹣2a， ∴④错误． ∵当x＝﹣1时，y＝0． ∴a﹣b+c＝0， ∴a+2a+c＝0． ∴3a+c＝0， ∴⑤错误． 选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得2t＝﹣8， 解得t＝﹣4， 即方程的另一个根是﹣4． 答案为：﹣4． 12．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点， ∴点A和点B关于直线x＝2对称， 而A（﹣2，0）， ∴B点坐标为（6，0）， 答案为：（6，0）． 13．解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3）， 连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图， ∴Q点的坐标是（2，1）， 答案为：（2，1）． 14．解：∵点C、D的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在线段AB上，x1的最小值是﹣3，点A、B的坐标分别为（﹣2，1）、（1，1）， ∴当顶点在点（1，1）时，x2取得最大值，此时x2＝1+[1﹣（﹣3）]＝5， 答案为：5． 15．解：过A作AD⊥A1B于D，如图： 在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝10， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， ∵AD⊥A1B， ∴ADAB＝5， ∴S△A1BA10×5＝25， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝25， 答案为：25． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解：（1）2x2+3x＝0， x（2x+3）＝0， ； （2）x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， x1＝5，x2＝﹣1； （3）3x2﹣6x﹣1＝0， 3x2﹣6x＝1， 3（x2﹣2x+1﹣1）＝1， 3（x﹣1）2﹣3＝1， 3（x﹣1）2＝4， ， ， ． 17．证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠ACB+∠ABD＝90°， ∴∠ACB＝∠BAD， ∵， ∴∠ACB＝∠ABE， ∴∠BAD＝∠ABE，即∠BAF＝∠ABF， ∴FB＝FA， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAF+∠GAF＝90°，∠ABF+∠G＝90°， ∵∠BAF＝∠ABF， ∴∠GAF＝∠G， ∴FA＝FG， ∴BF＝GF． 18．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C1即为所求． 点A2的坐标为（3，﹣3）． （3）△A1A2B2的面积为2． 19．（1）证明：连接AD，AE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE， 连接OD，OE， 则OD＝OE， ∵AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO（SSS）， ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AF⊥BC； （2）解：∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴BF＝CFBC＝6， ∴AF8， ∵BD＝2， ∴DF＝4， 连接OD，设DO＝AO＝x， ∴OF＝AF﹣x＝8﹣x， ∵OD2＝OF2+DF2， ∴x2＝（8﹣x）2+42， ∴x＝5， ∴⊙O的半径长为5． 20．解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为256（1+m）2， 根据题意得：256（1+m）2＝400， 解得：m1＝0.25＝25%，m2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）（件）， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 整理得：y2﹣113y+3150＝0， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 21．解：（1）如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点， 设y＝a（x﹣2）2+2， 又∵抛物线过点（0，1.5）， ∴1.5＝4a+2， ∴a， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y（x﹣2）2+2， 当y＝0时，0（x﹣2）2+2， 解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出水的最大射程OC为6m； （2）∵对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5）， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为（2，0）； （3）∵EF＝0.5， ∴点F的纵坐标为0.5， ∴0.5（x﹣2）2+2， 解得x＝2±2， ∵x＞0， ∴x＝2+2， 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5， 则x≤2+2， ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5， ∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2， ∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为2+23＝21， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是2≤d≤21． 22．解：（1）∵旋转30°， ∴B′C＝BC，∠ACB＝30°， ∵∠ABC＝90°，AB＝1， ∴AC＝2AB＝2， ∴， ∴； （2）过点B作BE⊥AC于E， ∵∠ACB＝30°， ∴， ∴． 23．解：（1）把点A的坐标（﹣5，0）代入y＝﹣x2﹣4x+c得，﹣25+20+c＝0， 解得c＝5， ∴点C的坐标为（0，5）； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣4x+5， 令y＝﹣x2﹣4x+5＝0，解得：x＝1或﹣5， 点B（1，0）； 过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1： ∵A（﹣5，0），C（0，5）， ∴OA＝OC， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠CAO＝45°， ∵PF⊥x轴， ∴∠AHF＝45°＝∠PHE， ∴△PHE是等腰直角三角形， ∴PE， ∴当PH最大时，PE最大， 设直线AC解析式为y＝kx+5， 将A（﹣5，0）代入得0＝﹣5k+5， ∴k＝1， ∴直线AC解析式为y＝x+5， 设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5）， ∴PH＝（﹣m2﹣4m+5）﹣（m+5）＝﹣（m）2， ∵a＝﹣1＜0， ∴当m时，PH的最大为， ∴PE， ∴此时PE最大为，点P到直线AC的距离值最大， 即点P到直线AC距离的最大值为； （3）存在， 设点M的坐标为（﹣2，m）， ∵A（﹣5，0），C（0，﹣5）， ∴AC5， ∵抛物线y＝﹣x2﹣4x+5的对称轴为直线x＝﹣2， ①当AC＝AM＝5时，如图，设对称轴l与AB交于点E， 则AE＝3，AM＝AC＝5， ∵AM2＝AE2+EM2， ∴（5）2＝32+EM2， 解得EM， ∴M点的坐标为（﹣2，）， ②当AC＝MC＝5时，过点M作MH⊥y于H， ∴MH＝2， ∴CH， ∴OH5，OG5， ∴M（﹣2，5）或（﹣2，5）； ③当AM＝CM时，如图， ∵OA＝OC＝5， ∴点M在AC的垂直平分线y＝﹣x上， ∴M（﹣2，2）， 综上所述，在对称轴上存在点M，使得△ACM为等腰三角形，M（﹣2，）或（﹣2，5）或（﹣2，5）或（﹣2，2）． 第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $$