江苏省无锡市宜兴市2024-2025学年九年级上学期数学期中考试模拟卷一

2024年秋学期期中考试模拟试卷一 九年级数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（        ） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程中，无实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．当用配方法解一元二次方程时，下列方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，下列变形错误的是（  ） A． B． C． D． 5．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（　　） A． B． C. D． 6．若圆的半径是5，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与圆O的位置关系是（　　） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．无法确定 7．下列四个命题中，真命题是（　　） A．经过三点可以作一个圆 B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的圆心角相等 8．如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．则线段的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，，点M、N是边上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处，下列结论：①；②若，则；③若菱形边长为4，M是的中点，连结，则线段；④若，则，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （第8题） （第9题） （第10题） 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 11．在比例尺为的地图上，相距的两地的实际距离为 ． 12．设，是方程的两个根，则 ． 13．有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．则平均每次降价的百分率为　 　． 14．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地.若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则　 　．（结果保留根号） 15．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度是 cm 16．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m． （第15题） （第16题） （第17题） 17．如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 18．已知，均是边长为4的等边三角形，点D是边的中点． （Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为 ； （Ⅱ）如图②，直线相交于点M，当 绕点D旋转时，线段长的最小值是 ． 3、 解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分16分）解方程： （1） （2）公式法； （3）配方法 （4）． 20．（本题满分8分）已知一元二次方程． (1)当其中一个根为时，求另一个根． (2)证明：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21.（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中． (1)外接圆的圆心坐标是　　 (2)外接圆的半径是　 (3)已知与（点D、E、F是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 (4)请在网格图中的空白处画一个格点，使， 且相似比为． 22．（本题满分8分）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23.（本题满分8分）已知：如图，在中，，请利用没有刻度的直尺和圆规， 按下列要求作图（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）． （1）在斜边边上找一点D，连接，使得； （2）过A作一射线分别交线段，线段于点P，点Q，且使得； （3）在（1）、（2）条件下，若，，求的长． 24.（本题满分8分）某校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位喷漆面积为736平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时， 可全部租出去；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 25．（本题满分8分）如图，是的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，连接，交于点，点在上，． （1）试判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，求的半径． 26．（本题满分10分）如图，正方形的边长为，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从D开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、D同时出发，当其中一点到达C时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．      (1)t为何值时，为直角三角形； (2)①设面积为S，写出S与t的函数关系式； ②t为何值时，面积为正方形面积的？ 27．（本题满分12分）如图1，在矩形中，边长，其中分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为t秒． (1) ； (2)如图2，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，t为 ，此时，的值为 ； (3)如图3，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于Q，当半圆O与的边有两个交点时，直接写出t的取值范围． 28．（本题满分10分）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作． 已知点．    (1)求； (2)记函数的图象为图形G，若， 直接写出k 的取值范围； (3)的圆心为，半径为1．若，直接写出t的取值范围． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$试卷第 1页，共 6页 2024年秋学期期中考试模拟试卷一 九年级数学试题 考试时间：120分钟 满分 150分 一、选择题（本大题共有 10小题，每小题 3分，共 30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． 1 �2 + � = 2 B．2� + 6 = 7 C．�2 + �2 = 5 D．3�2 − 5� + 2 = 0 2．下列一元二次方程中，无实数根的是（ ） A．�2 + 3� + 2 = 0 B．�2 − 2� − 3 = 0 C．�2 + 2� + 3 = 0 D．�2 − 2� + 1 = 0 3．当用配方法解一元二次方程�2 − 3 = 4�时，下列方程变形正确的是（ ） A． � − 2 2 = 2 B． � − 2 2 = 4 C． � − 2 2 = 1 D． � − 2 2 = 7 4．已知 3� = 2�(� ≠ 0, � ≠ 0)，下列变形错误的是（ ） A．� � = 2 3 B．� � = 2 3 C．� � = 3 2 D．� 2 = � 3 5．如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 △ �1�1�1相似的是（ ） A． B． C. D． 6．若圆�的半径是 5，圆心的坐标是(0,0)，点�的坐标是( − 4,3)，则点�与圆 O的位置关系 是（ ） A．点�在圆上 B．点�在圆外 C．点�在圆内 D．无法确定 7．下列四个命题中，真命题是（ ） A．经过三点可以作一个圆 B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的圆心角相等 8．如图，一块直角三角板的 30°角的顶点�落在⊙�上，两边分别交⊙�于�，�两点，连结 ��，��，则∠���的度数是（ ） A．30° B．60° C．80° D．90° 9．如图，在平面直角坐标系中，�为原点，�� = �� = 6，点�为平面内一动点，�� = 1， 连接��，点�是线段��上的一点，且满足��:�� = 1: 2．则线段��的最大值为（ ） A．3 5 B．2 5 C．6 5+2 3 D．3 5+1 2 试卷第 2页，共 6页 10．如图，在菱形����中，∠� = 60°，点 M、N是边��、��上任意两点，将菱形���� 沿��翻折，点 A恰巧落在对角线��上的点 E处，下列结论：①△��� ∼△ ���；② 若∠��� = 15°，则∠��� = 105°；③若菱形边长为 4，M是��的中点，连结��，则 线段�� = 2 7；④若��: �� = 2: 5，则��: �� = 3: 4，其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （第 8题） （第 9题） （第 10题） 二、填空题（本大题共有 8小题，每小题 3分，共 24分） 11．在比例尺为 1: 1000000的地图上，相距 7.5cm的两地�、�的实际距离为 km． 12．设�1，�2是方程�2 + 3� − 4 = 0的两个根，则�1 + �2 = ． 13．有关部门决定降低药价，对某种原价为 100元的药品进行连续两次降价后为 81元．则 平均每次降价的百分率为 ． 14．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各 地.若古筝上有一根弦�� = 90��，支撑点�是靠近点�的一个黄金分割点，则�� = ��．（结果保留根号） 15．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心 O，另一边 所在直线与半圆相交于点 D、E，量出半径 OC=5cm，弦 DE=8cm，则直尺的宽度是 cm 16．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF测量树的高度 AB，他调整自己的位置， 设法使斜边 DF保持水平，并且边 DE与点 B在同一直线上．已知纸板的两条直角边 DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m． （第 15题） （第 16题） （第 17题） 试卷第 3页，共 6页 17．如图，在△ ���中，∠��� = 90°，�� = 3，△ ���的外接圆⊙�的半径为 3，D是边 ��延长线上一点，连接��，交⊙�于点 E，连接��．若△ ���为等腰三角形，则线段�� 的长度为 ． 18．已知△ ���，△ ���均是边长为 4的等边三角形，点 D是边��、��的中点． （Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为 ； （Ⅱ）如图②，直线��，��相交于点 M，当△ ��� 绕点 D旋转时，线段��长的最小值是 ． 三、解答题（本大题共 10小题，共 96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分 16分）解方程： （1）�2 − 4 = 0 （2）2�2 − 3� − 2 = 0(公式法)； （3）�2 − 4� − 2 = 0(配方法) （4）3(� + 2) = 2�(� + 2)． 20．（本题满分 8分）已知一元二次方程�2 + �� + � − 2 = 0． (1)当其中一个根为 1时，求另一个根． (2)证明：不论�取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21.（本题满分 8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1个单位的小正 方形，点 A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中� 1,8 , � 3,8 , � 4,7 ． (1)△ ���外接圆的圆心坐标是 (2)△ ���外接圆的半径是 (3)已知△ ���与△���（点 D、E、F是格点）成位似图形，则位似中心 M的坐标是 (4)请在网格图中的空白处画一个格点△ �1�1�1，使△ �1�1�1∽△ ���， 且相似比为 2: 1． 试卷第 4页，共 6页 22．（本题满分 8分）如图，在△ ���和△ ���中，∠��� = ∠���，∠� = ∠���． (1)求证：△ ��� ∼△ ���； (2)若�△���: �△��� = 4: 9，�� = 12，求��的长． 23.（本题满分 8分）已知：如图，在△ ���中，∠� = 90°，请利用没有刻度的直尺和圆规， 按下列要求作图（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）． （1）在斜边��边上找一点 D，连接��，使得△ ���∽△ ���； （2）过 A作一射线分别交线段��，线段��于点 P，点 Q，且使得�� = ��； （3）在（1）、（2）条件下，若�� = 4，�� = 3，求��的长． 24.（本题满分 8分）某校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层 长为 50米，宽 20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位喷 漆面积为 736平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余 64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为 200元时， 可全部租出去；当每个车位的月租金每上涨 10元，就会少租出 1个车位，既能优惠大 众，又能使对外开放的月租金收入为 14400元？ 试卷第 5页，共 6页 25．（本题满分 8分）如图，⊙�是△ ���的外接圆，��是⊙�的直径，点�是��延长线 上一点，连接��，交⊙�于点�，点�在��上，∠��� = ∠���． （1）试判断直线��与⊙�的位置关系，并证明你的结论； （2）若�� = ��，���� = 3 4，�� = 5，求⊙�的半径． 26．（本题满分 10分）如图，正方形����的边长为 10cm，点 P从 A开始沿折线� − � − � 以 2cm/s的速度移动，点 Q从 D开始沿��边以 1��/�的速度移动，如果点 P、Q分 别从 A、D同时出发，当其中一点到达 C时，另一点也随之停止运动．设运动时间为� s ． (1)t为何值时，△ ���为直角三角形； (2)①设△ ���面积为 S，写出 S与 t的函数关系式； ②t为何值时，△ ���面积为正方形����面积的1 4 ？ 试卷第 6页，共 6页 27．（本题满分 12分）如图 1，在矩形����中，边长�� = �, �� = �，其中�、� � < � 分 别是方程�2 − 7� + 12 = 0的两个根，连接��．点 O从点 C出发，沿��向点 B运动（到 达点 B停止运动），速度为 1个单位每秒，设运动时间为 t秒． (1)�� = ； (2)如图 2，在运动过程中，连接��，将△ ���沿��折叠，得到△ ���，连接��，当�� 取最小值时，t为 ，此时，��的值为 ； (3)如图 3，在运动过程中，以 O为圆心，��的长为半径作半圆．．，交射线��于 Q，当半． 圆．O与△ ���的边有两个交点时，直接写出 t的取值范围． 28．（本题满分 10分）对于平面直角坐标系���中的图形 M，N，给出如下定义：P为图形 M上任意一点，Q为图形 N上任意一点，如果 P，Q两点间的距离有最小值，那么称 这个最小值为图形 M，N间的“闭距离”，记作� �，� ． 已知点� −2,6 ，� −2, − 2 ，� 6, − 2 ． (1)求� 点�, △ ��� ； (2)记函数� = �� −1 ≤ � ≤ 1，� ≠ 0 的图象为图形 G，若� �, △ ��� = 1， 直接写出 k 的取值范围； (3)⊙�的圆心为� �, 0 ，半径为 1．若� ⊙ �, △ ��� = 1，直接写出 t的取值范围． 2024年秋学期期中考试模拟试卷一（九年级数学）参考答案和评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C 10.D 1、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 75 12.3 13. 10％ 14. 15. 3 16.5.5 17. 18. 19．（1），；……4分 （2），；……4分 （3），；……4分（4），．……4分 20.（1）解：；……1分， 另一个根为．……4分 （2）证明： ，………6分 ， 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根………8分 21. （1）………2分 （2）………4分 （3） ………6分 （4）即为所求作的三角形．……… 8分 22.（1）∵，∴，∴，…2分 ∵， ∴．…………………………………………4分 （2）由（1）得，，∵， ∴，………6分∵，∴．………………………8分 23.（1）如图，点D即为所求作．………………………………………………………2分 ∵，，， ∴； （2）如图，射线即为所求作．………………………………………………………4分 （3）过点Q作于H， 由作图可知，平分， ∵，，∴， ∵，，，∴， ∵，∴， ∴．……………………………………………………………………8分 （方法不一，酌情给分） 24.解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形，依题意得：，………………………………………1分 整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是2米．……………………………………………………………………4分 （2）解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位，依题意得：，………………………………………5分 整理得：，解得：，， 又∵要优惠大众，．答：每个车位的月租金应上涨40元．…………………8分 25.（1）解：直线与相切，……………………………………………………1分 证明：如图，连接． ∵是的直径，∴．∵点是延长线上一点， ∴，∴． ∵，∴． ∵，∴， ∴，∴，∴． ∵是的半径，∴直线与相切．………………………………………4分 （2）解：如图，连接． ∵，． ∵是的直径，∴． ∵，∴，∴ 在Rt中，，设， 则，， ∴在Rt中，，即，解得：， ∴，∴的半径为………………………………………………8分 26.（1）当时，此时满足，符合题意；………………………1分 当点P在上，点Q在上运动时，只存在和两种情况， 由题意得，，则，， ∵四边形是正方形，∴； 当时，则， ∴，∴，∴，即， 解得 ………………………………………………………………………3分 当时，同理可证明， ∴，即，解得或（舍去）………5分 综上所述，或或； （2）解：①；…………………………………8分 ②，则， 在中，当时，（舍去）， 在中，当时，； 综上所述，当时，面积为正方形面积的．………………10分 27.（1）5；………………………2分 （2），；…………………6分 … 7分 …8分 …9分 ，∴， …11分 ，， ， …10分 （3）或．………12分 28.（1）；………………………………………………………2分 （2）经过原点，在范围内，函数图象为线段，如图， 当经过时，，此时； 当经过时，，此时． ∴． ∵， ∴且；………………………………………………………………6分 （3）解：与的位置关系分三种情况：①当在的左侧时，如图， 由，得出； ②当在内部时， 当点T与原点重合时，如图， 由，得出； 当点T位于位置时，如图， 由，得出， ∵， ∴．利用等腰直角三角形三边比例， 则， ∴，故此时； ③当在右边时，如图， 由，得出， ∵，利用等腰直角三角形三边比例， ∴． ∴． 综上可知，或或．…………………………………10分 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年秋学期期中考试模拟试卷一（九年级数学）参考答案和评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.D2.C3.D4.B 5.c 6.A7.D 8.B9.C10.D 一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.75 12.-3 13.10% 14.455.45 15.3 16.5.5 17.6.6N3,23 18.25 2W3-2 19.(1)1=2,2=-2:…4分 (2)1=-72=2:…4分 (3)1=2+V6,2=2-V6:…4分(4)1=22=-2.…4分 20.(1)解：=之…1分，另一个根为-…4分 (2)证明：4=2-4(-2)=2-4+8=(-2)2+4，…6分 "(-2)2≥0，÷(-2)2+4>0 、,不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根…8分 21.(1)(2,6)…2分(2)V5…4分 (3)(3,6)…6分 (4)△111即为所求作的三角形.…8分 22.(1)∠=∠，.∠ +∠ =∠+∠ ，.∠ =∠ ，…2分 ∠=∠，△ △ …分 (2)由(1)得，△ △ ，△：△=4：9， 合=（ …6分=12，。=18.…8分 23.(1)如图，点D即为所求作，…2分 ,∠=90°，∠=4 =90°，∠ =∠ △△： (2)如图，射线即为所求作。…4分 (3)过点Q作⊥于H, 由作图可知， 平分∠， :=4,=3,∠=90°，∴.=√2+7=V42+3z=5, 试卷第1页，共4页 △+=，·+ =器= …8分 (方法不一，酌情给分) 24.解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为(50-2)米，宽为(20-2)米的 长方形，依题意得：(50一2)(20一2)=736，…1分 整理得：2-35+66=0，解得：1=2,2=33（不符合题意，舍去）. 答：通道的宽是2米。…4分 (2)解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为(200+)元，少租出。个 车位，依题意得：(200+)(64-0=14400，…5分 整理得：2-440+16000=0，解得：1=40,2=400， 又，要优惠大众，÷=40.答：每个车位的月租金应上涨40元.…8分 25.(1)解：直线与⊙相切，…1分 证明：如图，连接. :是⊙的直径，上=90°.点是延长线上一点， ∴.∠=90°，∴.∠+∠=90°. =， =∠ =∠ =∠ ∴∠+∠=90°，∴，∠=90°，1. :是⊙的半径，.直线与⊙相切。…4分 (2)解：如图，连接· =,∠ =∠ :是⊙的直径，∴上=∠ =90°. =,△ 兰△ (),.= 在Rt△ 中，一=是设=3， =4, 则=√2+2=V(3)2+(4)2=5， =-=5-3=2, “在R△中，2+2=2，即(2)2+4)2=⑤2，解得：=2 =5=多0的半径为9…8分 试卷第2页，共4页 26.(1)当=0时，此时满足∠=90°，符合题意：…1分 当点P在上，点Q在上运动时，只存在∠ =90°和上 =90°两种情况， 由题意得， =2cm, =cm,则=-=(10-2)cm, (10-)cm, ,四边形 是正方形，.∠=∠=∠=90°： 当L =90时，则上 +∠=∠ +∠ =90°， ∴∠=，△ △ ，一=一， 解得=2.5… …3分 当∠=90时，同理可证明△ △ -=一，即07=0，解得=15-5V5或=15+5V5(舍去)…5分 综上所述，=0或=2.5或=15-5V5: 2解①-{g14800 …8分 ②正方形 =10×10=100cm2,则=25， 在=2-10+50中，当=2-10+50=25时， =5(舍去)， 在=-5+50中，当=-5+50=25时，=5： 综上所述，当=5时，△ 面积为正方形 面积的 …10分 27.(1)5:…2分 （2)厘，…6分 5 H OB OB 图2 图3 图4 …7分 =2÷1=2…8分 =3÷1=3…9分 BO 图6 =4-, =4÷1=4…11分 4=90°，2+2=2， 12=4-)2+33,=吾 …10分 （3)<3或若<≤4.…12分 试卷第3页，共4页 28.(1）(点，△）=2；…2分 (2)=(≠0)经过原点，在-1≤≤1范围内，函数图象为线段，如图， 当=(-1≤≤1，≠0)经过(1，-1)时，=-1，此时(，△)=1： 当=(-1≤≤1，≠0)经过(-1，-1)时，=1，此时(，△)=1. .-1≤≤1.≠0， -1≤≤1月卡0：6分 (3)解：⊙与△的位置关系分三种情况：①当⊙在△ 的左侧时，如图⊙1， 由（⊙，△ )=1,得出=-4： ②当⊙在△内部时， 当点T与原点重合时，如图⊙2： 3 由（⊙，△ )=1,得出=0： 当点T位于3位置时，如图⊙3， 223 由（⊙，△）=1，得出3=2， B ==8,∠ =90°， .∠=∠3 =45°.利用等腰直角三角形三边比例1：1：√2， 则3=22， ∴.=4-22，故此时0≤≤4-2√2： ③当⊙在△ 右边时，如图⊙4： 由（⊙，△）=1，得出4=2， :∠4=∠=45°，利用等腰直角三角形三边比例1：1：V2, .4=2V2 .=4+2V2 综上可知，=-4或0≤≤4-22或=4+2V2.…10分 试卷第4页，共4页