精品解析：2024-2025学年北师大版八年级上册月考数学试卷 （10月份）

2024-2025学年八年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，零次幂的计算，根据无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：含有的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如（相邻两个2之间1的个数逐渐增加），由此即可求解． 【详解】解：A、是开不尽方的数，是无理数，符合题意； B、有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选：A ． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，分别为中，，的对边，则 B. 若，，分别为中，，的对边，则 C. 若，，分别为中，，的对边，，则 D. 若，，分别为中，，的对边，，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理定义，根据勾股定理的定义及两直角边与斜边的数量关系即可求解． 【详解】解：A、若，，分别为中，，的对边，则或或，故原选项错误，不符合题意； B、若，，分别为中，，的对边，则或或，故原选项错误，不符合题意； C、若，，分别为中，，的对边，，则，故原选项错误，不符合题意； D、若，，分别为中，，的对边，，则，该选项正确，符合题意； 故选：D ． 3. 的平方根是（ ） A. B. 2024 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根，二次根式的性质化简，根据二次根式的性质，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：C ． 4. 利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A. S△EDA＝S△CEB B. S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C. S△EDA+S△CEB＝S△CDE D. S四边形AECD＝S四边形DEBC 【答案】B 【解析】 【分析】利用梯形面积等于3个三角形面积之和解答即可． 【详解】解：由题意可得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果． 5. 下列整数中，与最接近的数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】估算无理数 的大小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ 接近3 故选：C 【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解本题的关键． 6. 五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方． 根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴C正确， ，A错误， ，B错误， D错误． 故选：C． 7. 若，则的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据立方根的定义作答即可． 【详解】的立方根是 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0． 8. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和无理数，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据长方形的性质得出，再根据勾股定理得出，再根据两点之间距离的表示方法，即可解答． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点M表示的数为， 故选：D． 9. 如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是（ ） A. 80cm B. 70cm C. 60cm D. 50cm 【答案】D 【解析】 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD， 则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长． ∵圆柱的底面周长是30cm，高是40cm， ∴AB2=302+402=900+1600=2500， ∴AB=50（cm）． 故选D． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 10. 如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：第一个正方形的面积是64； 设第一个等腰直角三角形的直角边长为 由勾股定理可得： ∴ 解得： ∴第二个正方形的面积是； 同理：第三个正方形的面积是； … 第n个正方形的面积是， 当时，正方形的面积为， ∴正方形⑤的面积是4，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个小于的无理数___________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用无理数的定义直接得出答案． 【详解】解：∵， 小于的无理数可以为：等． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是正确把握无理数的定义． 12. 如图，以的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为，则斜边___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意可得，结合,，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，是直角三角形，， ∴，，且， ∴， 故答案为： ． 13. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 【答案】（11，60，61） 【解析】 【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）． 【详解】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）． 故答案为：（11，60，61）． 【点睛】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 14. 国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是______． 【答案】10km 【解析】 【分析】根据题意先求、两地的水平距离和竖直距离，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于，如下图： 观察图形可得：（km）， （km）， 在中， （km）． 故答案为：10km． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解题关键是结合图形找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 15. 如图所示，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1，的对应点分别为点A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，则的算术平方根为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据点B到点A的距离为可得点C表示的数为，代入计算，即可求解． 本题考查了数轴与实数的对应关系，数轴上两点之间距离的计算，算术平方根的计算，正确地理解题意是解题的关键． 【详解】解：设点C所表示的数为x， 根据题意得， ， 的算术平方根为1， 故答案为：1 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，先算乘方，绝对值，立方根，平方根，再根据实数的混合运算法则即可求解． 【详解】解： ． 17. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点．判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形． 18. 学校要征收一块土地，形状如图所示，，，，，土地价格为1000元，请你计算学校征收这块地需要多少钱？ 【答案】学校征收这块地需要234000元． 【解析】 【分析】利用勾股定理进行综合计算即可． 【详解】如图，连接AC． 在中，，，， 由勾股定理得：．． 在中，，， 由勾股定理得：，． 所以四边形的面积为：． （元）． 答：学校征收这块地需要234000元． 【点睛】本题考查了勾股定理的是实际应用，熟练掌握勾股定理，结合题意准确计算是解决本题的关键． 19. 用一块纸板做一个有底无盖的正方体形状的粉笔盒，已知粉笔盒的容积为216 cm³． （1）求这个粉笔盒的棱长； （2）这块纸板的面积至少为多大？ 【答案】（1）棱长6 cm；（2）这块纸板的面积至少为180 cm² 【解析】 【分析】（1）设棱长是xcm，根据正方形体积公式可得x3=216，直接开立方即可； （2）根据正方体有6个面，每一个面是正方形，正方体是有底没盖的，于是S=6×6×5=180． 【详解】(2)设正方体形状的粉笔盒的棱长是xcm，则 x3=216， x= =6， 答：这个粉笔盒的棱长是6cm； (2)S=6×6×5=180cm2． 答：这块纸板至少需要180cm2的面积． 【点睛】考查了立方根，解题的关键是掌握正方体的体积公式，以及表面积公式的计算． 20. 如图，点A表示的数为﹣，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n． （1）求n的值； （2）求|n+1|+（n+2﹣2）的值． 【答案】（1）n＝﹣+2；（2）3. 【解析】 【分析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出n的值； （2）把n的值代入，再根据绝对值的性质、实数运算的法则计算即可得解． 【详解】（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B， ∴点B所表示的数比点A表示的数大2， ∵点A表示﹣，点B所表示的数为n， ∴n＝﹣+2； （2）|n+1|+（n+2﹣2） ＝|﹣+2+1|+（﹣+2+2﹣2） ＝3﹣+ ＝3． 【点睛】本题考查了实数与数轴，是基础题，主要利用了数轴上点的运动规律，还利用了绝对值的性质和二次根式的运算． 21. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的算术平方根． （1）求，，值． （2）求的算术平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根，算术平方根的计算， （1）根据立方根可得，根据算术平方根可得，根据算术平方根据可得，由此即可求解； （2）把，，的值代入，计算其算术平方根即可． 【小问1详解】 解：根据题意，， ∴， ，即， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴； 小问2详解】 解：根据（1）的计算可得，， ∴的算术平方根为． 22. 定义：如图，点M、N把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成、、，若，，，则点M、N是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】（1）是．理由见解析 （2）8或10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理应用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论． （1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M，N是线段的勾股分割点． （2）当为斜边时，依题意，当为直角边时，则，分别列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：是，理由如下： ∵，， ∴， ∴、、为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M，N是线段的勾股分割点． 【小问2详解】 解：设，则， 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为直角边时，则， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或。 23. 如图所示，已知中，，，，P、Q是的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）则 ______； （2）当t为何值时，点P 在边的垂直平分线上? 此时的长度是多少? （3）当点 Q在边上运动时，直接写出使 成为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1）12 （2）； （3）当t为11或12或时，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理直接求出即可； （2）点P在边的垂直平分线上，则，在中，由勾股定理构建方程求出t的值，再求出即可； （3）分利用等腰三角形的性质和面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 【小问2详解】 解：∵点P在边的垂直平分线上， ∴，， 在中，，即， 解得：， 此时点Q运动的路程为：， ； 【小问3详解】 解：①当时，如图1所示， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2所示， 则， ∴； ③当时，如图3所示， 过B点作于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：当t为11或12或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确是（ ） A. 若，，分别为中，，的对边，则 B. 若，，分别为中，，的对边，则 C. 若，，分别为中，，的对边，，则 D. 若，，分别为中，，的对边，，则 3. 的平方根是（ ） A. B. 2024 C. D. 4. 利用如图所示方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A. S△EDA＝S△CEB B. S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C. S△EDA+S△CEB＝S△CDE D. S四边形AECD＝S四边形DEBC 5. 下列整数中，与最接近的数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 若，则的立方根是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是（ ） A. 80cm B. 70cm C. 60cm D. 50cm 10. 如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个小于的无理数___________．（写一个即可） 12. 如图，以的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为，则斜边___________． 13. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 14. 国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是______． 15. 如图所示，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1，的对应点分别为点A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，则的算术平方根为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点．判断的形状，并说明理由． 18. 学校要征收一块土地，形状如图所示，，，，，土地价格为1000元，请你计算学校征收这块地需要多少钱？ 19. 用一块纸板做一个有底无盖的正方体形状的粉笔盒，已知粉笔盒的容积为216 cm³． （1）求这个粉笔盒的棱长； （2）这块纸板的面积至少为多大？ 20. 如图，点A表示的数为﹣，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n． （1）求n的值； （2）求|n+1|+（n+2﹣2）的值． 21. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的算术平方根． （1）求，，的值． （2）求的算术平方根． 22. 定义：如图，点M、N把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成、、，若，，，则点M、N是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 23. 如图所示，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）则 ______； （2）当t为何值时，点P 在边的垂直平分线上? 此时的长度是多少? （3）当点 Q在边上运动时，直接写出使 成为等腰三角形运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$