第十三章 轴对称单元测试卷2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称单元测试卷-原卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 3．如图，和关于直线对称，交于点，若，，，则五边形的周长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 4．点关于y轴的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．若的三边，，满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．如图，在中，点D和E分别在和上，且，连接，过点A 的直线与平行，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是等边三角形，，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，，P为平分线上一点，交于点C，于点D，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．若的周长为23，，则的周长为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 10．如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 13．已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是 ． 14．如图，把一个长方形沿折叠后，点分别落在，的位置．若，则 ． 15．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．    16．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    三、解答题 17．尺规作图：请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）．    18．如图，在单位长度为的方格纸中画有一个． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点、的坐标； (3)求的面积． 19．如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．    20．如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE 21．如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．    (1)求证：； (2)若平分，直接写出的形状． 22．为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．    (1)求该斜坡的高度BD； (2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线） 23．如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 24．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 25．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称单元测试卷-解析 1．B 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选B． 2．D 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质解答即可； 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线关于直线对称，因此交点一定在上．D错误； 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，直接利用轴对称的性质得出，，，再用周长公式即可得出答案，正确得出对应线段是解题关键． 【详解】解：和关于直线对称，交于点， ，，， ，，， ，，， 五边形的周长为， 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的特点，利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点关于y轴的对称点的坐标是，进而得出答案． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标为， 故选：A 5．B 【分析】由可得，，，解得，，，于是可得，即可得出答案． 【详解】解：， ，，， 解得：，，， ， 是等边三角形， 故选：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解一元一次方程，等式的性质，等边三角形的判定等知识点，由推出，，是解题的关键． 6．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的周长，由等边三角形和平行线的性质可得为等边三角形，进而求出即可求解，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵，， ∴， ∴的周长为， 故选：． 8．B 【分析】本题考查角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，过点作，角平分线的性质，得到，平行线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可． 【详解】解：过点作， ∵P为平分线上一点，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴； 故选B． 9．B 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而求出的长，根据的周长求出的长，推出的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为； 故选B． 10．C 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．分别求出，的大小，可得结论． 【详解】解：，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， ， 故选：C 11．C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 12．A 【详解】解：∵，∴∠C=∠CBF， ∵BC平分∠ABF， ∴∠ABC=∠CBF， ∴∠C=∠ABC， ∴AB=AC， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴BD=CD，AD⊥BC，故②，③正确， 在△CDE与△DBF中， ， ∴△CDE≌△DBF， ∴DE=DF，CE=BF，故①正确； ∵AE=2BF， ∴AC=3BF，故④正确． 故选A． 13．40°或100° 【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°； 当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°； 故答案为：40°或100°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论． 14．/50度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，由平行线的性质可得，由折叠可得，再利用平角的定义即可求解，掌握平行线和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又由折叠可得，， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 16．6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， 故答案为：6． 17．见解析 【分析】由点P到点M和点N的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，由点P到两边的距离相等，可知点P在的平分线上，即点P为线段的垂直平分线与的平分线的交点，如图作垂线与角平分线即可． 【详解】解：如图：点P即为所求．    【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，垂直平分线的应用，作垂线，作角平分线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 18．(1)见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为 (3) 【分析】（1）找到中三个顶点的对称点，连接即可； （2）根据点在直角坐标系中得位置，写出坐标即可； （3）利用添补法用长方形面积减去三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：由图可知点的坐标为，点的坐标为； （3）解：的面积为． 【点睛】本题考查了直角坐标系，相关知识带你有：图形的轴对称、割补法求三角形面积等，熟练运用直角坐标系的知识点是解题关键． 19．见解析 【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出，再利用等边对等角即可． 【详解】证明：为等边的中线，   ， ， ， 【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键． 20．证明见解析 【分析】由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出结论． 【详解】证明：∵∠B=∠C， ∴AC=AB， 在△ABD和△ACE中， ∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE， ∴△ABD≌△ACE（SAS） 【点睛】本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 21．(1)见解析 (2)等边三角形 【分析】（1）由平行线的性质得到，已知则，可判定即可得到； （2）由，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ∴， ， ． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 22．(1)10m (2)20m 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． （2）根据，可得，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）， （2）C，A，D三点共线， 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键． 23．(1)见解析 (2)相等，见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论； （2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（1）得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． 24．(1) (2)或 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键． 用含t的代数式表示出． （1）由于，当时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论． 【详解】（1）解：在中， ，， ． ， . 当时，为等边三角形． 即． ∴． 当时，为等边三角形； （2）若为直角三角形， ①当时，， 即 ． ②当时，， 即， ． 即当或时，为直角三角形． 25．（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得：，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】（1）①∵和都是等边三角形， ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ② ∵ ∴ 故答案为：①，②；                （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形，为中边上的高 ∴ ∵ ∴                 （3）∵是等腰三角形， ∴ ∴ 同（1）可得： ∴ ∴ ∵是等腰三角形， ∴ ∴ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$