必修第一册_5．2 三角函数的概念

第五章 三角函数 5．2 三角函数的概念 例题 1. 求的正弦、余弦和正切值. 【答案】，， 【解析】 【分析】 求出的终边与单位圆的交点即可 【详解】在直角坐标系中，作（如图）， 易知的终边与单位圆的交点坐标为. 所以，，，. 【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单. 2. 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r，求证：，，. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 设角的终边与单位圆交于点，分别过点P，作x轴的垂线PM，，垂足分别为M，，利用即可证明. 【详解】如图，设角的终边与单位圆交于点. 分别过点P，作x轴的垂线PM，，垂足分别为M，， 则，，，， 因为 所以，即.因为与y同号，所以，即. 同理可得， 【点睛】只要知道角终边上任意一点P的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随P点位置的改变而改变. 3. 求证角为第三象限角的充要条件是 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据象限角的定义以及三角函数在各个象限中的符号证明即可 【详解】因为角为第三象限角 所以， 反过来： 由得 由得 所以 所以角为第三象限角 所以角为第三象限角的充要条件是 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，象限角的定义以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题． 4. 确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】 判断出每个角所在的象限即可 【详解】（1）因为是第三象限角，所以； （2）因为是第四象限角，所以； （3）因为，而是第一象限角，所以； （4）因为，而的终边在x轴上，所以. 【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单. 5. 求下列三角函数值： （1）（精确到0.001）；（2）；（3）. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 由，，求出即可 【详解】（1）； （2）； （3）. 【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式，较简单. 6. 已知，求，的值. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 分角为第三和第四象限角两种情况讨论，结合同角三角函数的基本关系可得解. 【详解】因为，，所以是第三或第四象限角. 由得. 如果是第三象限角，那么，于是， 从而； 如果是第四象限角，那么，. 综上所述，当是第三象限角时，，；当是第四象限角时，，. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题. 7. 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】作差法，结合同角三角函数的平方关系，即得证 【详解】证明： ． 所以，即得证 5．2．1 三角函数的概念 练习 8. 利用三角函数定义，求0，，，的三个三角函数值. 【答案】；；.；；不存在； ；；.；；不存在. 【解析】 【分析】 分别找出角0，，，与单位圆的交点即可 【详解】因为0的终边与单位圆的交点是 所以；； 因为的终边与单位圆的交点是 所以；；不存在； 因为的终边与单位圆的交点是 所以；；. 因为的终边与单位圆的交点是 所以；；不存在. 【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单. 9. 利用三角函数定义，求的三个三角函数值． 【答案】，，． 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的三个三角函数值． 【详解】解：在角的终边上任意取一点，，则，，， ，，． 10. 已知角的终边过点，求角的三角函数值. 【答案】；； 【解析】 【分析】 先算出，然后即得，， 【详解】 所以，， 【点睛】设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r，则，，. 11. 已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1 rad/s.求2 s时点P所在的位置. 【答案】P 【解析】 【分析】 设P点坐标为，，由和即可得出答案. 【详解】设P点坐标为，.∵，∴， ∵，∴，∴点P的坐标为. 【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单. 练习 12. 填表： 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据三角函数的定义及诱导公式填表即可 【详解】 0 0 1 -1 0 0 -1 【点睛】本题考查的是三角函数的定义及诱导公式，较简单. 13. 设是三角形的一个内角，在，，，中，哪些有可能取负值？ 【答案】和有可能取负值 【解析】 【分析】直接根据角所在象限确定正负值. 【详解】当是钝角时，和取负值， 当时，，此时和均为正值. 即是三角形的一个内角时，和有可能取负值. 14. 确定下列三角函数值的符号：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【答案】（1）正；（2）负；（3）0；（4）负；（5）正；（6）正. 【解析】 【分析】 判断出每个角的终边所在象限即可 【详解】因为的第二象限角，所以的符号为正 因为，所以是第三象限角 所以的符号为负 因为，所以的终边在轴负半轴 所以 因为，所以是第四象限角 所以的符号为负 因为，所以是第二象限角 所以的符号为正 因为，所以是第三象限角 所以的符号为正. 【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单. 15. 对于，②，③，④，⑤与⑥，选择恰当的关系式序号填空： （1）角为第一象限角的充要条件是_____； （2）角为第二象限角的充要条件是_____； （3）角为第三象限角的充要条件是_____； （4）角为第四象限角的充要条件是______. 【答案】 ①. ①③或①⑤或③⑤或①③⑤ ②. ①④或①⑥或④⑥或①④⑥ ③. ②④或②⑤或④⑤或②④⑤ ④. ②③或②⑥或③⑥或②③⑥ 【解析】 【分析】 根据三角函数在各个象限中的符号即可填出答案 【详解】角为第一象限角的充要条件是①③或①⑤或③⑤或①③⑤ 角为第二象限角的充要条件是①④或①⑥或④⑥或①④⑥ 角为第三象限角的充要条件是②④或②⑤或④⑤或②④⑤ 角为第四象限角的充要条件是②③或②⑥或③⑥或②③⑥ 故答案为：(1). ①③或①⑤或③⑤或①③⑤ (2). ①④或①⑥或④⑥或①④⑥ (3). ②④或②⑤或④⑤或②④⑤ (4). ②③或②⑥或③⑥或②③⑥ 【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单. 16. 求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）题精确到0.0001）： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）0.8746；（2）；（3）0.5；（4）1. 【解析】 【分析】 利用诱导公式把每个角转化到即可 【详解】 【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式及特殊角的三角函数值，较简单. 5．2．2 同角三角函数的基本关系 练习 17. 已知，且为第三象限角，求，的值. 【答案】， 【解析】 【分析】 利用同角三角函数的平方关系和商数关系即可得解. 【详解】，且为第三象限角，，. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题. 18. 已知，求，的值. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 分角为第二和第四象限角两种情况讨论，利用同角三角函数的商数关系和平方关系建立有关和的方程组，即可得出，的值. 【详解】，为第二或第四象限角， 又，.代入，得. 当为第二象限角时，，； 当为第四象限角时，，. 综上所述，当为第二象限角时，，；当为第四象限角时，，. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，建立有关和的方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 19. 已知，求，的值（精确到）. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 分角为第一和第二象限角两种情况讨论，利用同角三角函数的基本关系可求得，的值. 【详解】，为第一或第二象限角. 当为第一象限角时，，； 当为第二象限角时，，. 综上所述，当为第一象限角时，，；当为第二象限角时，，. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，要注意对角的象限分类讨论，考查计算能力，属于基础题. 20. 化简： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由代入化简即可得解； （2）将等式代入分式化简计算即可； （3）由代入化简计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系化简计算，考查计算能力，属于基础题. 21. 求证：. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 在等式左边提公因式，结合化简计算即可证得所证等式成立. 【详解】左边右边. 【点睛】本题考查三角恒等式的证明，考查同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 习题 5．2 复习巩固 22. 用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， ，; （2），， （3），， （4），， 【解析】 【分析】对于各个角，直接利用诱导公式一和三角函数定义化简求解三个三角函数值即可． 【小问1详解】 解：； ； ． 【小问2详解】 解：； ； ； 【小问3详解】 解： ； ； . 【小问4详解】 解：； ； . 23. 已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求. 【答案】见解析 【解析】 【分析】直接利用三角函数的坐标定义求解. 【详解】r＝＝5|a|. 当a＞0时，r＝5a， ∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝， tan α＝＝＝； 当a＜0时，r＝－5a， ∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝. 综上可知，sin α＝，cos α＝，tan α＝或sin α＝－，cos α＝－，tan α＝. 【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2) 点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin= cos=, tan= . 24. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】 （1）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解. （2）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解. （3）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解. （4）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解. 【详解】（1）根据三角函数定义可得 （2）根据三角函数定义可得 （3）根据三角函数定义可得 （4）根据三角函数定义可得 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算求值,属于基础题. 25. 化简： （1）； （2）； （3）. （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】 （1）根据三角函数定义,分别求得的值,代入即可求解. （2）根据三角函数定义,分别求得的值, 代入即可求解. （3）根据三角函数定义,分别求得的值, 代入即可求解. （4）根据三角函数定义,分别求得的值, 代入即可求解. 【详解】（1）根据三角函数定义可得 （2）根据三角函数定义可得 . （3）根据三角函数定义可得 . （4）根据三角函数定义可得 . 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算求值,属于基础题. 26. 确定下列三角函数值的符号： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【答案】（1）负 （2）负 （3）负 （4）正 （5）负 （6）负 【解析】 【分析】由角的终边的位置和三角函数的符号规律逐个判断即可． 【小问1详解】 解：因为为第三象限角，所以为负； 【小问2详解】 解：因为为第二象限角，所以为负； 【小问3详解】 解：因为为第四象限角，所以为负； 【小问4详解】 解：因为为第一象限角，所以为正； 【小问5详解】 解：因为为第三象限角，所以为负； 【小问6详解】 解：因为为第二象限角，所以为负． 27. （1）已知，且为第四象限角，求的值； （2）已知，且为第二象限角，求的值； （3）已知，求的值； （4）已知，求的值（精确到0.01）. 【答案】（1）； （2）； （3）当为第二象限角时，；当为第四象限角时，； （4）当为第一象限角时，；当为第四象限角时，. 【解析】 【分析】 根据同角三角函数关系式,结合角的取值范围,即可求解. 【详解】（1）由,得 为第四象限角, （2）由,得 为第二象限角 （3） ∴为第二或第四象限角 当为第二象限角时,； 当为第四象限角时,. （4） 为第一或第四象限角 当为第一象限角时,； 当为第四象限角时,. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,在使用时要特别注意角的取值范围,属于基础题. 综合运用 28. 分别根据下列条件求函数的值： （1）； （2）. 【答案】（1）1；（2）-1 【解析】 【分析】（1）直接将代入计算即可； （2）直接将代入计算即可. 【详解】解：（1）当时， . （2）当时， 29. 确定下列式子的符号 （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）正 【解析】 【分析】 根据角所在的象限,判断三角函数的符号,即可判断各自的符号. 【详解】（1） ∴原式为正； （2） ∴原式为负； （3） ∴原式为负； （4） ∴原式为正. 【点睛】本题考查了三角函数在四个象限的符号判断,属于基础题. 30. 求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）（3）（4）题精确到0.0001）； （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045. 【解析】 【分析】 根据诱导公式将三角函数进行化简,借助计算器即可求解. 【详解】（1） 由计算器可得 （2） （3） 由计算器可得 （4）. 由计算器可得 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的化简,计算器计算三角函数值,属于基础题. 31. 求证： （1）角为第二或第三象限角的充要条件是； （2）角为第三或第四象限角的充要条件是； （3）角为第一或第四象限角的充要条件是； （4）角为第一或第三象限角的充要条件是. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析 【解析】 【分析】 根据角所在的象限,可得三角函数的符号;同理根据三角函数符号,可判断角所在的象限,结合充要条件的判定方法即可证明. 【详解】（1）证明:当角为第二象限角时,,所以； 当角为第三象限角时,,所以. 所以当角为第二或第三象限角时,. 因为,所以；或. 当时,角为第二象限角 当时,角为第三象限角 所以当时,角为第二或第三象限角. 综上所述,原命题成立 （2）证明:当角为第三象限角时,,所以； 当角为第四象限角时,,所以. 所以当角为第三或第四象限角时,. 因为,所以；或. 当时,为第三象限角； 当时,为第四象限角 所以当时,角为第三或第四象限角. 综上所述,原命题成立. （3）证明:当角为第一或第四象限角时,与同号,所以 当时,与同号 所以角为第一或第四象限角.综上所述,原命题成立. （4）证明:当角为第一或第三象限角时,与同号,所以； 当时,与同号 所以角为第一或第三象限角,综上所述,原命题成立 【点睛】本题考查了三角函数在四个想象符号的判断,充分必要条件的证明,属于基础题. 32. 已知，求的值. 【答案】为第三象限角，； 为第四象限角，. 【解析】 【分析】 讨论为第三象限角或第四象限角.结合同角三角函数关系式即可求解. 【详解】 为第三或第四象限角. 由可得 而 当为第三象限角时, 当为第四象限角时, 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的简单应用,注意讨论角所在的象限,属于基础题. 33. 已知，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】 根据的值及的范围,可求得的值,进而求得的值即可. 【详解】 【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角的度数,特殊角三角函数值求法,属于基础题. 34. 已知角的终边不在坐标轴上， （1）用表示； （2）用表示. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 讨论角所在的象限,结合同角三角函数关系式,即可得解. 【详解】（1）当角是第一、二象限角时,. 当角是第三、四象限角时,. （2）当角是第一、四象限角时,. 当角是第二、三象限角时,. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的简单应用,属于基础题. 35. 求证： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析 【解析】 【分析】 根据同角三角函数式关系,结合齐次式的化简即可证明. 【详解】（1）证明:根据同角三角函数关系式,化简等式左边可得 而右边 所以原式得证. （2）证明:根据同角三角函数关系式,可得 而右边 原式得证. （3）证明: 而右边 原式得证 （4）证明:由同角三角函数关系式可知 而右边 原式得证 【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系证明三角函数恒等式,属于基础题. 36. 已知，求的值. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据同角三角函数关系式及齐次式的化简,即可求解. 【详解】 ∴ 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,齐次式形式的化简,属于基础题. 拓广探索 37. 化简，其中为第二象限角. 【答案】 【解析】 【分析】 根据角为第二象限角,结合同角三角函数关系式,化简即可得解. 【详解】为第二象限角, ∴ 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式在三角函数式化简中的应用,注意角的范围对三角函数符号的影响,属于基础题. 38. 是的一个变形.你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据,两边同时平方可得变形式;同时除以可得变形式. 【详解】由,两边同时平方可得 所以是的一个变形； 由,等式两边同时除以,可得,所以 是和的变形. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的变形应用,属于基础题. 39. （1）分别计算和的值，你有什么发现？ （2）任取一个的值，分别计算，你又有什么发现？ （3）证明：. 【答案】（1）， 发现：. （2），发现：. （3）证明见解析 【解析】 【分析】 根据特殊角三角函数值求法,可解（1）（2）;根据同角三角函数式关系式,可证明（3）. 【详解】（1）根据特殊角三角函数值计算可知 所以 （2）取 则 所以. （3）证明: 所以. 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的求法,三角函数式的简单证明,属于基础题. 学科网（北京）股份有限公司 $$