第19讲函数的应用（二）（7个知识点+1个要点+9种题型+3个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第19讲函数的应用（二） （7个知识点+1个要点+9种题型+3个易错点+过关检测） 知识点1：函数零点的概念 1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 注意点： (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标． (2)求零点可转化为求对应方程的解． (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 知识点2：函数零点存在定理及其应用 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意点： (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件． (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． 知识点3：区间的中点 一般地，称为区间(a,b)的中点一般 应用:通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围 知识点4：二分法 1.二分法： 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意点： (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理． (2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解． 2.用二分法求函数零点的近似值 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4. 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 注意点： (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点． (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分． 知识点5：建立函数模型解决实际问题的基本步骤 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模——求解数学模型，得出数学模型． (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 知识点6：函数模型的选择和建立 常见的几种函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 利用已知函数模型解决实际问题 (1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数； (2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题； (3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算． 知识点7：建立拟合函数模型的步骤 建立拟合函数与预测的基本步骤 题型1：求函数的零点 【例题1】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的零点为（    ） A．1， B．， C．2， D．， 【变式2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）函数的零点为 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的零点． (1)； (2)． 题型2：确定零点个数 【例题2】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（23-24高一上·吉林·期末）函数的零点个数为（    ） A．l B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24高一上·北京通州·期末）函数的零点个数为 . 【变式3】（22-23高一上·重庆云阳·阶段练习）已知函数 ． (1)求函数的零点； (2)讨论函数在上的零点个数． 题型3：根据零点个数确定参数 【例题3】（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）若函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）设实数，若函数有且只有一个零点，则实数m的值为 . 【变式3】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若，且在上有两个零点，求实数的取值范围. 题型4：确定零点所在区间 【例题4】（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）函数，则函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·北京·期中）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21高一上·福建福州·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）函数在区间上的零点为 . 题型5：函数零点分布 【例题5】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）若二次函数只有一个零点，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【变式3】（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）设有一元二次方程.试问： (1)为何值时，有一根大于1､另一根小于1. (2)为何值时，有两正根. 题型6：二分法定义的考察 【例题6】（23-24高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的近似解，精确度为，则终止条件为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在内的唯一零点时，误差不超过，则结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（    ） A．用二分法求方程的近似解一定可以得到在内的所有根 B．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的重根 C．用二分法求方程的近似解有可能得出在内没有根 D．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的精确解 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 ，函数的零点是 （用a表示）. 题型7：确定函数零点的近似值及最少的等分次数 【例题7】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数在区间内有一个零点，且的部分函数值数据如下：，，，，，，，要使零点的近似值精确度为，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（    ） A．6次， B．6次， C．7次， D．7次， 【变式2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数零点的近似值 题型8：常见函数模型的应用 【例题8】（23-24高一上·江苏南通·期中）某灭活疫苗的有效保存时间单位：小时与储藏的温度单位：满足的函数关系为为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在时的有效保存时间是1080h，在时的有效保存时间是120h，则该疫苗在时的有效保存时间为（    ） A．15h B．30h C．40h D．60h 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）据统计，某湿地公园越冬的白鹤数量（单位：只）与时间（单位：年）近似满足关系，观测发现年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2024年冬有越冬白鹤（    ） A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只 【变式2】（21-22高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 【变式3】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）我们一般使用分贝（符号是）来表示声音强度（瓦/平方米，符号是）的等级，强度为的声音对应的等级为，科学研究表明，它们满足关系：，其中为修正系数（常数），为普通人能听到的声音的最小强度（常数），清晨时风吹落叶的沙沙声其强度为，上学高峰时汽车川流不息声音强度达到，经某科技爱好者用分贝测试仪测得声音等级分别为和. (1)求与的值，并求当测得同学们早读声音等级为时，早读的声音强度； (2)某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常安静，比平常降低了，求平常中午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？ 题型9：建立拟合函数模型与函数模型的选择 【例题9】（23-24高一上·广东东莞·期末）某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（    ）（附：） 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年产值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 A．924万元 B．976万元 C．1109万元 D．1231万元 【变式1】（23-24高一上·浙江湖州·期末）随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速（不含）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示． 0 10 30 70 0 1325 3375 9275 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，． (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：）最小？并计算出该最小值． 【变式2】（23-24高一上·云南昆明·期末）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间／分钟 0 1 2 3 4 5 水温／ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）． （参考数据：） 【变式3】（23-24高一上·四川泸州·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位t小时）的关系为： x 2 3 6 9 12 15 y 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个． 易错点1：忽视函数类型讨论 【例题1】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的函数，若此函数有两个零点，则实数的取值范围是 ；若此函数有一个零点为0，则另一个零点是 ． 【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 易错点2：忽视函数定义域 【例题2】（23-24高一上·北京·期中）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（22-23高一上·四川凉山·期末）函数，则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．3 C．10 D．13 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的零点是 . 【变式3】（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 易错点3：忽视函数零点存在定理的条件 【例题3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在区间具有单调性，且，则方程在区间上（    ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．有且只有一实根 【变式1】（23-24高一·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的零点在区间，则 . 【变式3】（20-21高一上·上海·课后作业）函数在区间上是否有零点？若有，则有多少个零点？ 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的零点是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（   ） A．56.6米 B．57.6米 C．58.6米 D．59.6米 3．（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 4．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不同的负实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（   ） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 10．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）关于的方程至少有一个正的实根，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）关于的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中错误的说法是（   ） A．当时，， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课后作业）在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称 次就可以发现假币. 13．（24-25高一上·北京·阶段练习）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元.现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投 万元，获得总利润为 万元. 14．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）若函数与的图象上存在关于轴的对称点，则取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）讨论下列方程解的个数与分布情况： (1)； (2)． 17．（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）已知函数（其中） (1)当时，求函数的零点； (2)讨论关于的不等式的解集. 18．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数 (1)若，当时，求函数的值域； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 19．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数的一部分，顶点为，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当时，图象是线段，其中． (1)求关于的函数解析式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲函数的应用（二） （7个知识点+1个要点+9种题型+3个易错点+过关检测） 知识点1：函数零点的概念 1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 注意点： (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标． (2)求零点可转化为求对应方程的解． (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 知识点2：函数零点存在定理及其应用 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意点： (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件． (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． 知识点3：区间的中点 一般地，称为区间(a,b)的中点一般 应用:通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围 知识点4：二分法 1.二分法： 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意点： (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理． (2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解． 2.用二分法求函数零点的近似值 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4. 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 注意点： (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点． (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分． 知识点5：建立函数模型解决实际问题的基本步骤 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模——求解数学模型，得出数学模型． (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 知识点6：函数模型的选择和建立 常见的几种函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 利用已知函数模型解决实际问题 (1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数； (2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题； (3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算． 知识点7：建立拟合函数模型的步骤 建立拟合函数与预测的基本步骤 题型1：求函数的零点 【例题1】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【答案】D 【分析】利用零点定义解方程可得结论. 【详解】令，解得， 由零点定义可得函数的零点是. 故选：D 【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的零点为（    ） A．1， B．， C．2， D．， 【答案】B 【分析】解一元二次方程，利用方程根与零点的关系即可求解. 【详解】令，即，解得：，， 所以函数的零点为和. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）函数的零点为 . 【答案】2 【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点. 【详解】解方程得， 所以函数的零点为2. 故答案为：2. 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的零点． (1)； (2)． 【答案】(1)和2． (2)答案见解析． 【分析】（1）解一元二次方程求零点即可； （2）分类讨论函数的零点即可. 【详解】（1）由得， ∴或． 所以函数 的零点为和2． （2）①当时，，由得， 所以函数的零点为． ②当时，由得， 当，即时，相应的方程无实数根，函数无零点； 当，即时，，函数有唯一的零点． 当，即且时， 由得或， 函数有两个零点和． 综上，当时，函数的零点为； 当时，函数无零点； 当时，函数的零点为； 当且时，函数有两个零点和． 题型2：确定零点个数 【例题2】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分类求出函数零点即可. 【详解】当时，由，得或0（舍去）； 当时，由解得或. 故共有3个零点. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·吉林·期末）函数的零点个数为（    ） A．l B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先解出时，函数的零点；当时，令，根据函数的单调性，结合零点存在定理，即可得出答案. 【详解】当时，由，解得或或1（舍去）； 当时，由， 令， 由以及均在上单调递增可得， 在上单调递增. 又，， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点， 所以，存在唯一解. 综上所述，的零点个数为3. 故选：C. 【变式2】（23-24高一上·北京通州·期末）函数的零点个数为 . 【答案】1 【分析】令，直接求解，结合函数定义域，即可得出函数零点，确定结果. 【详解】的定义域为， 令，则或，解得或（舍）. 故答案为：1 【变式3】（22-23高一上·重庆云阳·阶段练习）已知函数 ． (1)求函数的零点； (2)讨论函数在上的零点个数． 【答案】(1)和 (2)答案见解析． 【分析】（1）由题知，进而解方程即可得答案； （2）根据题意，将问题转化为函数在上的图像与直线的交点个数，进而数形结合求解即可. 【详解】（1）解：由 ， 得 ， 化简为 ， 解得 或 ， 所以，或． 所以，的零点为和 ． （2）解：由题意得， 令，得， 令， ，则 ， 所以在上的零点个数等于函数在上的图像与直线的交点个数． 在上的图像如图所示． 所以，当或时，在上的图像与直线无交点， 所以，在上的零点个数为； 当或时在上的图像与直线有个交点， 所以，在上的零点个数为； 当时，在上的图像与直线有个交点， 所以，在上的零点个数为． 综上，当或时，在上的零点个数为； 当或时，在上的零点个数为； 当时，在上的零点个数为． 题型3：根据零点个数确定参数 【例题3】（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）若函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合判别式列式求解即可. 【详解】因为函数的图象与轴有两个不同的交点， 则，解得或. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原问题等价转换为令，有两个零点，注意到或，从而对分类讨论即可求解. 【详解】令，则，由题意有两个零点， 或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，或， 当时，，或， 当时，，或， 当时，，或， 综上所述，满足题意的的取值范围为 . 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）设实数，若函数有且只有一个零点，则实数m的值为 . 【答案】 【分析】由题知方程只有一个根，即求. 【详解】∵函数有且只有一个零点， ∴方程只有一个根， 则，得. 又因为， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若，且在上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理即可得解； （2）先由函数对称轴求出的值，再根据函数零点存在性定理列出关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根， 则，解得，. （2）因为，所以函数的图象关于直线对称， 因为的对称轴，所以，则， 因为在上有两个零点，所以， 即，解得， 所以. 题型4：确定零点所在区间 【例题4】（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）函数，则函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令求出函数的零点，即可判断. 【详解】因为，令，即，解得， 即函数的零点为，又，即函数的零点所在的区间为. 故选：A 【变式1】（22-23高一上·北京·期中）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数零点存在性定理，满足，即零点在区间. 【详解】, 所以在单调递增， 因为 所以由零点存在性质定理知，的零点在. 故选：B 【变式2】（20-21高一上·福建福州·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目中函数较为简单，可以直接求得对应的零点，从而判断所在区间即可 【详解】当时，令，即，所以； 当时，令，即，，不在定义域区间内，舍 所以函数零点所在的区间为 故选：D 【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）函数在区间上的零点为 . 【答案】/ 【分析】直接解方程即可得答案. 【详解】方程的两个根分别为，， 所以函数在区间上有1个零点，为. 故答案为： 题型5：函数零点分布 【例题5】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】令，根据零点的范围得到满足的条件，解不等式组可得结果. 【详解】令， 由题意，得，即，解得， 故的取值范围是.四个选项中在内的只有. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）若二次函数只有一个零点，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，二次函数对应的一元二次方程有两个相等的实数根，则，即可求得a的值. 【详解】二次函数只有一个零点， 即方程有两个相等的实数根， 则，解得. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可. 【详解】当时，，解得，符合题意，则； 当时，二次函数的判别式为：， 若，即时，函数的零点为，符合题意，则； 当，即时，由，解得且， 则且； 当时，，方程另一根，当时， ，方程中一根，则或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）设有一元二次方程.试问： (1)为何值时，有一根大于1､另一根小于1. (2)为何值时，有两正根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法1：设，即可得，列式求解即可；解法2：设方程有两个根分别为，分析可得，利用韦达定理运算求解； （2）解法1：根据二次函数的零点分布列式求解即可；解法2：根据题意利用韦达定理列式求解即可. 【详解】（1）解法1：设一元二次函数， 由题意可得：，即，解得； 解法2：由题意可知：，解得或， 设方程有两个根分别为，且，则， . 可得，即，解得. （2）解法1：设一元二次函数， 由题意可得：，解得； 解法2：若，则且， 故应满足条件，解得. 题型6：二分法定义的考察 【例题6】（23-24高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的近似解，精确度为，则终止条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由“用二分法求方程的近似解”的步骤即可得出答案. 【详解】根据题意，用二分法求方程的近似解，若要求的精确度为， 当时，即表示满足精度要求，可以确定近似解． 故选：B 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在内的唯一零点时，误差不超过，则结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当小于精度时结束计算，得到答案. 【详解】根据二分法的步骤知，经过一次计算，区间长度变为， 当时，结束计算，故， 故选：B. 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（    ） A．用二分法求方程的近似解一定可以得到在内的所有根 B．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的重根 C．用二分法求方程的近似解有可能得出在内没有根 D．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的精确解 【答案】D 【分析】根据二分法求近似解的定义，可得答案. 【详解】利用二分法求方程在内的近似解，即在区间内肯定有根存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是内的精确解． 故选：D. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 ，函数的零点是 （用a表示）. 【答案】 【分析】根据题设条件可知抛物线与轴相切，从而可得的关系，进一步解一元二次方程即可求解函数零点. 【详解】解析因为函数有零点，但不能用二分法求出， 所以函数的图象与x轴相切，所以，所以， 令，解得. 故答案为：，. 题型7：确定函数零点的近似值及最少的等分次数 【例题7】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【答案】D 【分析】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解 【详解】， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数在区间内有一个零点，且的部分函数值数据如下：，，，，，，，要使零点的近似值精确度为，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（    ） A．6次， B．6次， C．7次， D．7次， 【答案】D 【分析】根据题目条件结合二分法得到最少等分了7次，并求出近似解. 【详解】由题中数据知，零点区间变化如下： ， 此时区间长度小于，在区间内取近似值，最少等分了7次，近似解取. 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是 . 【答案】 【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足（精确度）确定即可. 【详解】设需要计算次，则满足， 即，由于，， 所以将区间等分的次数至少是次. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数零点的近似值 【答案】1.4375（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】根据题意结合二分法即可求解. 【详解】由于函数为单调递增函数，且，， 因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下： 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 1.5 0.375 1.25 1.375 1.4375 当然，我们可以一直重复下去，这样的话，也会使求得的函数零点更精确，显然，这可能是一个无休止的过程， 实际上，如果我们一开始给一个误差范围的话，只要满足了给出的误差范围，我们就可以停止计算， 比如，该问题中，我们给出误差不超过0.1． 由于，所以原函数的一个正实数零点可取为1.4375． 题型8：常见函数模型的应用 【例题8】（23-24高一上·江苏南通·期中）某灭活疫苗的有效保存时间单位：小时与储藏的温度单位：满足的函数关系为为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在时的有效保存时间是1080h，在时的有效保存时间是120h，则该疫苗在时的有效保存时间为（    ） A．15h B．30h C．40h D．60h 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解． 【详解】， 当时，， 当时，，解得， 当时， 故选：C 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）据统计，某湿地公园越冬的白鹤数量（单位：只）与时间（单位：年）近似满足关系，观测发现年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2024年冬有越冬白鹤（    ） A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只 【答案】C 【分析】根据解得，再令，计算即可. 【详解】由题意，当时，， 所以， 到年，当时，. 故选：C. 【变式2】（21-22高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 【答案】125 【分析】利用代入法，结合指数幂的运算定义进行求解即可. 【详解】因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元， 所以，即 当今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为， 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）我们一般使用分贝（符号是）来表示声音强度（瓦/平方米，符号是）的等级，强度为的声音对应的等级为，科学研究表明，它们满足关系：，其中为修正系数（常数），为普通人能听到的声音的最小强度（常数），清晨时风吹落叶的沙沙声其强度为，上学高峰时汽车川流不息声音强度达到，经某科技爱好者用分贝测试仪测得声音等级分别为和. (1)求与的值，并求当测得同学们早读声音等级为时，早读的声音强度； (2)某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常安静，比平常降低了，求平常中午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？ 【答案】(1)，； (2)倍. 【分析】（1）利用给定条件求解出，再分别代入求值即可. （2）利用给定条件建立方程得到，利用对数的运算性质求解出，得到答案即可. 【详解】（1）当时，，当，， ，， 两式解得，即， ， 即， 所以早读声音强度为； （2）设平时中午的声音强度为，今天中午的声音强度为， ，，即， ，解得， 所以平时中午的声音强度是今天的倍. 题型9：建立拟合函数模型与函数模型的选择 【例题9】（23-24高一上·广东东莞·期末）某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（    ）（附：） 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年产值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 A．924万元 B．976万元 C．1109万元 D．1231万元 【答案】C 【分析】观察表格中数据，越往后的年份的产值比上一年增加的越多，由此可结合函数的性质确定最符合实际的函数模型，再代入数值计算，即得答案. 【详解】由表中数据可知该企业年产值（万元）随着新政策实施年数（年）的增加而增加， 结合2012年比2011年增加31万元，2021年比2020年增加82万元， 可知越往后的年份比上一年增加的产值越多，即y的增长速度越来越快， 结合三种函数模型：，（，且），（，且）， 可知（，且）为最符合实际的函数模型； 则，故， 故预测该企业2024年的年产值约为，则（万元）， 即预测该企业2024年的年产值约为1109万元， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据表中数据分析数据的增加趋势，即函数值的增加速度越来越快，从而确定最符合实际的函数模型，还要注意选择接近于2024年的产值去计算，更为精确一些. 【变式1】（23-24高一上·浙江湖州·期末）随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速（不含）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示． 0 10 30 70 0 1325 3375 9275 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，． (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：）最小？并计算出该最小值． 【答案】(1)选， (2)车速为，该电动汽车的电池所需的最小容量为 【分析】（1）根据题意，得到，结合提供的数据，列出方程组，取得，即可求解； （2）设车速为，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：对于，当时，它无意义，所以不符合题意； 对于，它显然是个减函数，所以不符合题意， 故选． 根据提供的数据，则有，解得， 当时，． （2）解：设车速为，所用时间为， 所耗电量， 要使得续航里程最长，则耗电量达到最小，即． 所以当测试员控制的车速为， 该电动汽车的电池所需的最小容量为． 【变式2】（23-24高一上·云南昆明·期末）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间／分钟 0 1 2 3 4 5 水温／ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）． （参考数据：） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【分析】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； 令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【变式3】（23-24高一上·四川泸州·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位t小时）的关系为： x 2 3 6 9 12 15 y 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个． 【答案】(1),理由见解析； (2)81 【分析】（1）根据题意，函数解析式需满足函数在有定义，且随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，故只有符合. （2）可选取数据，带入即可计算出，则当时即可求出答案. 【详解】（1）最符合实际的函数模型为①， 根据图像知函数解析式需满足函数在有定义，所以②不满足， 又随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，所以③不符合， 只有①满足，故最符合. （2）可选取表格中的两组数据为：， 代入得， 则， 当时，， 所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个 易错点1：忽视函数类型讨论 【例题1】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解. 【详解】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负根，则，解得， 若有两个负根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是， 故选：C． 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数形结合，根据二次函数零点分布求参数的取值范围. 【详解】对于二次函数， 当时，， 因为二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1， 当，即时，则，解得； 当，即时，则，不等式无解. 综上所述：m的取值范围是. 故选：B 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的函数，若此函数有两个零点，则实数的取值范围是 ；若此函数有一个零点为0，则另一个零点是 ． 【答案】 【分析】运用函数零点概念，借助根的判别式和韦达定理可解. 【详解】关于的函数，若有两个零点. 等价于方程由两个不同根，则判别式，解得． 且． 当函数有一个零点为0，即方程有一个根为0时，设方程的两个根分别为， ，此时原方程为． ． 故答案为：；. 【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由，得，分类讨论的情况，从而可求解. （2）由，即，然后由，即有两个不相等的负根，再利用根的分布可得，从而可求解. 【详解】（1）当时，， 令，得或， 当时，即，此时，所以的解集为； 当时，即，此时，解得或，所以解集为； 当，即，此时，解得或，所以解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （2）由，即，得， 由，即，即有两个不相等的负根， 则，解得. 故的取值为. 易错点2：忽视函数定义域 【例题2】（23-24高一上·北京·期中）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据零点的定义求解. 【详解】函数的定义域为， 令，即，解得， 所以函数的零点个数是1个， 故选:B. 【变式1】（22-23高一上·四川凉山·期末）函数，则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．3 C．10 D．13 【答案】D 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为. 故选：D. 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的零点是 . 【答案】 【分析】令解得，从而即为的零点. 【详解】由题意可知的定义域为， 令，可得，解得（舍去）或，所以. 故答案为：. 【变式3】（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 【答案】(1)1，或 (2) (3) 【分析】（1）讨论当时，当时，由，解方程即可得到零点； （2）由题意可得有四个不等实根，画出函数的图象，通过图象观察，即可得到的范围； （3）由二次函数的对称性和对数的运算性质，结合图象即可得到所求和． 【详解】（1）函数， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 可得函数的零点为1，或； （2） 若函数有四个零点， 即为有四个不等实根，画出函数的图象， 由图象可得当时，的图象和直线有四个交点， 故函数有四个零点时的取值范围是； （3）由的对称轴为，可得， 由，即，即为，则， 故． 易错点3：忽视函数零点存在定理的条件 【例题3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在区间具有单调性，且，则方程在区间上（    ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．有且只有一实根 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为,在区间具有单调性， 但是的连续不知道， 因此根据零点存在性定理可知在区间至多只有一实根. 故选：B. 【变式1】（23-24高一·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理分析判断即可. 【详解】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 【变式2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的零点在区间，则 . 【答案】2 【分析】根据函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由题意知，函数在上单调递减， 所以函数在上连续且单调递减， 又， 所以，则函数的零点分布在区间上， 又因为函数的零点在区间上， 所以. 故答案为：2 【变式3】（20-21高一上·上海·课后作业）函数在区间上是否有零点？若有，则有多少个零点？ 【答案】有三个零点 【分析】根据函数零点存在性定理判断即可； 【详解】解：因为在为连续函数， ， ， ， ， 因为，故函数在上至少存在一个零点， 因为，故函数在上至少存在一个零点， 因为，故函数在上至少存在一个零点，又由于函数是三次函数，最多有三个零点； 所以函数在区间上有3个零点. 【点睛】本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的零点是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据方程的根即可求解. 【详解】令，解得， 故零点为， 故选：A 2．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（   ） A．56.6米 B．57.6米 C．58.6米 D．59.6米 【答案】B 【分析】利用配方法，求二次函数最大值即可. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 所以烟花爆裂的高度是57.6米. 故选：B 3．（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【答案】B 【分析】根据二分法的性质即可求解. 【详解】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]， 所以零点在区间[0.09375,0.125]上，， 所以可以作为的一个零点近似值， 故选：B 4．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不同的负实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由判别式及韦达定理即可判断. 【详解】由题意可得不等式组 解得：且， 所以实数k的取值范围是. 故选:C 5．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C 6．（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果. 【详解】因为，而当时，，当时，， 所以， 因为，而当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 由，得，， 所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图可得 综上， 故选：A 7．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先作出函数的图象，结合直线恒过，根据两个图象的交点情况可求答案. 【详解】关于的方程至少有两个不相等的实数根， 则直线与的图象至少两个不同的交点， 作出函数的图象如下，直线恒过， 当直线与相切时，， 由可得，此时与平行， 所以此时方程只有一个根，不合题意； 当时，与有两个交点，符合题意； 当时，与有三个交点，符合题意； 当时，经过点时，与有两个交点， 此时，若，与有三个交点， 综上可知，方程至少有两个不相等的实数根，实数的取值范围为. 故选：B. 8．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果. 【详解】根据题意知函数在区间上单调递减， 函数在区间单调递减， 故函数在区间上单调递减， 又因， 又因在上是连续不中断的， 所以根据零点存在定理即可得知存在使得. 故选：C 二、多选题 9．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（   ） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 【答案】BC 【分析】利用函数的性质及零点存在性定理，结合精确度的理解就可以确定答案. 【详解】因为函数在其定义域内单调递增， 结合表格中数据： 可知方程的近似解所在区间可以是 根据区间的长度计算分别为， 根据精确度为，可知方程的近似解在区间上， 根据精确度为的要求，可在区间上任选一个值作为该方程的近似解, 故选：BC. 10．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）关于的方程至少有一个正的实根，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分和进行讨论，当时解方程，符合要求，当时，讨论一元二次方程有一正实根一负实根和有两个正实根的情况，结合判别式及根与系数的关系得出的取值范围. 【详解】（1）当时，方程为，解得，方程有一正实根； （2）当时，方程的根不为. ①当方程有一正实根一负实根时，，解得. ②当方程有两正实根时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：ABC. 11．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）关于的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中错误的说法是（   ） A．当时，， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，当时，方程的二实根为，A正确； 对于B，方程，即，，解得， 当时，，B错误； 对于C，令，依题意，是函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当时，，C正确； 对于D，当时，，D正确. 故选：B 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课后作业）在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称 次就可以发现假币. 【答案】3 【分析】写出利用天平最少3次找到那枚假币的过程即得解. 【详解】将12枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚金币里面，将这6枚平均分成两份， 则假币一定在轻的那3枚金币里面，将这3枚金币任拿出2枚放在天平上， 若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币． 依据上述分析，最少称3次就可以发现这枚假币． 故答案为：3． 13．（24-25高一上·北京·阶段练习）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元.现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投 万元，获得总利润为 万元. 【答案】 【分析】设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值，从而求出总利润. 【详解】设李明获得的利润为万元，则， 则 ， 当且仅当，因为，即当时，等号成立. 此时总利润为. 故答案为：；. 14．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）若函数与的图象上存在关于轴的对称点，则取值范围是 ． 【答案】 【分析】在曲线上任取一点，其中，由对称性可知关于的方程在时有解，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】在曲线上任取一点，其中， 则点关于轴对称的对称点在函数的图象上， 则，则有，可得， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 由因为，，则， 所以，函数在上的值域为， 因为关于的方程在时有解， 故的取值范围即为函数在上的值域，故. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 【答案】 【分析】由零点的存在性定理，用二分法，逐步计算，直到区间长度小于等于为止，最后所得区间内的任何一个数均可作为函数的零点. 【详解】经计算，， 所以函数在内存在零点， 取的中点， 经计算， 因为， 所以， 如此继续下去，如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 因为， 所以函数在区间内误差不超过的一个零点近似值可取为． 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）讨论下列方程解的个数与分布情况： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程的解只有一个，且此解在区间内 (2)原方程有两个解，且分别位于区间内 【分析】（1）构建函数，根据单调性以及零点存在性定理分析判断； （2）构建函数，根据图象以及零点存在性定理分析判断. 【详解】（1）由题得， 令，可知的定义域为， 且在内单调递增， 可知函数是增函数， 且，，即， 所以原方程的解只有一个，且此解在区间内． （2）作函数的图象，如图所示， 所以方程的解有两个． 令， 所以，， 所以原方程有两个解，且分别位于区间内． 17．（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）已知函数（其中） (1)当时，求函数的零点； (2)讨论关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求解方程的根即可得解， （2）由因式分解得，即可分离讨论，结合一元二次不等式的解的特征求解. 【详解】（1）当时， 由解得. 故函数的零点为. （2）由可得，即， ①当时，不等式的解集为     ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 18．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数 (1)若，当时，求函数的值域； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. （2）换元，转化成二次函数零点分布问题求解. 【详解】（1）当时，. 设，因为，所以. 则，. 因为该函数在上单调递减，在上单调递增. 且， ， 所以，所求函数的值域为： （2）设，因为，所以. 问题转化为：方程在上有两个不等实根. 所以. 所以，实数的取值范围是： 19．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数的一部分，顶点为，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当时，图象是线段，其中． (1)求关于的函数解析式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件以及图象求得关于的函数解析式； （2）根据函数的解析式列不等式，由此求得正确答案. 【详解】（1）由于听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78， ，所以顶点的横坐标为， 当时，设， 将代入上式得， 解得，所以， 当时，设，将代入上式得： ，解得，所以. 所以. （2）当时，， 当时，， 综上所述，老师在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$