第23章 旋转中的计算题和证明题专项练-2024-2025学年 人教版数学九年级上册

第23章 旋转中的计算题和证明题 1．如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接， (1)求证:是等边三角形． (2)当时，，求的长． 2．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长．    3．某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 4．如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 5．如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，直接写出的度数． 6．如图，已知四边形是正方形，点E在上，将经顺时针旋转后与完全重合，再将线段向右平移后与完全重合. (1)旋转的中心是 ；旋转角度是 ； (2)试猜想线段和的数量关系和位置关系，并说明理由. 7．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)求的面积． 8．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF. (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心____点，按顺时针方向旋转___度得到； (3)若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积． 9．如图，已知中，，．将绕点A按逆时针方向旋转得到，与交于点F． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数． 10．等边中，D为的中点，绕点B顺时针旋转得到，点A的对应点为F，点D的对应点为E，． (1)求的度数； (2)若，求的长度． 11．如图，在中，，，点为垂足，将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在点处，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，求证：． 12．如图，P是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)求点P与点之间的距离； (2)求的度数． 参考答案： 1．(1)见解析 (2)5 （1）证明：∵将绕点C按顺时针方向旋转得， ∴， ∴是等边三角形 （2）解：∵将绕点C按顺时针方向旋转得， ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ 2．（1）60°；（2） （1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO． ∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°， ∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠ODC=60°． （2）由旋转的性质得：AD=OB=4． ∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=5． ∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°． 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=． 3．(1)①；；② (2)，理由见解析 （1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4．(1)见解析 (2)8 （1）证明：∵绕点C逆时针旋转到， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．(1)证明见解析； (2)． （1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 6．(1)点A； (2)； （1）解：∵将经顺时针旋转后与重合， ∴旋转的中心为点，为旋转角， ∵四边形是正方形， ∴； （2）解：且，理由如下： 由旋转的性质可得：，， 由平移的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．(1)作图见解析 (2)点的坐标 (3) （1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：由（1）可知，点的坐标； （3）解：如图所示： ． 8．(1)见解析；(2)A，90；(3) 34 解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°， 而F是CB的延长线上的点， ∴∠ABF＝∠D＝90°， 又∵AB＝AD，DE＝BF， ∴△ADE≌△ABF(SAS)； （2）， ， 而， ，即， 可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到． 故答案为A、90； (3)∵BC＝8， ∴AD＝8， 在Rt△ADE中，DE＝2，AD＝8， ∴AE＝＝2， ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴△AEF的面积＝AE2＝×4×17＝34． 9．(1) (2) （1）证明：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 10．(1) (2) （1）解：∵是等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 11．见解析 证明：∵，， ∴， ∵由旋转而得， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 12．(1)6 (2) （1）解：如图，连接， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点P与点之间的距离为6； （2）解：在中， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $$