4.3 对数 题型归纳讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.3对数 【题型归纳】 3 题型一 对数的概念 3 题型二 对数式与指数式互化 4 题型三 对数运算性质的应用 4 题型四 换底公式的应用 6 题型五 含有附加条件的对数式或指数式的求值 7 题型六 对数及其运算性质的实际应用 8 知识点一 对数的概念 1.一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 注:规定底数且的原因: (1)若,则当为某些值时,的值不存在.如:不存在. (2)若,则 ①当时,的值不存在.如:(可理解为0的多少次幂是3)不存在. ②当时,可以是除零以外的任意实数,是不唯一的,即有无数个值. (3)若,则 ①当时,的值不存在.如:不存在; ②当时,可以为任意实数,是不唯一的,即有无数个值.因此规定,且. 2.常用对数与自然对数 (1)常用对数:通常将以10为底的对数叫作常用对数,并把记为. (2)自然对数:在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数为底数的对数,以为底的对数称为自然对数,并把记为. 3.对数式与指数式的关系 对数是由指数转化而来,则底数、指数或对数、幂或真数的范围不变,只是位置和名称发生了变换. 4.对数的基本性质 (1)负数和0没有对数. (2)1的对数等于0,即.因为,所以. (3)底数的对数等于1,即因为,所以. (4)对数恒等式因为,所以,将代入,即得 (5)因为,所以,将代入,即得. 知识点二 对数的运算性质 如果,且,,,那么 (1);(两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和) (2);(两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差) (3).(指数幂的对数等于底数的对数的指数倍) 对数运算中的常见公式及推广 (1); (2); (3); (4)可推广为. 知识点三 对数的换底公式 1.换底公式: 换底公式的证明(对数的定义和指数、对数的互化): 已知且;; 设可化为指数式,两边同时取以为底的对数,得 把代入上式得 因为,所以,则 2.常用的对数换底公式,其中,且且且 (1) (2) (3) 【题型归纳】 题型一 对数的概念 1.(23-24高一 上海)求下列各式中的取值范围: (1); (2)(且). 2.(24-25高一上 全国)对数中实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.(24-25高一上 上海 随堂练习)若对数有意义,则的取值范围是 . 4.(23-24高一上 上海徐汇 期中)若对于任意实数,代数式均有意义,则实数的取值范围是 . 题型二 对数式与指数式互化 5.(24-25高一上 全国 课堂例题)将下列指数式与对数式互化: (1); (2); (3); (4); (5); (6). 6.(24-25高一上 全国)求下列各式中x的值. (1); (2); (3); (4). 7.(24-25高三上 江苏南京 开学考试)已知,,则( ) A.5 B.6 C.7 D.12 8.(24-25高一上 上海 期中)已知正实数x、y满足,则 . 9.(2024高二下 湖北 学业考试)已知,则 . 10.(25-26高一上 全国 课后作业)已知,则的值为 . 11.(多选)(24-25高一上 全国)下列命题正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 题型三 对数运算性质的应用 12.(23-24高一下 全国 课堂例题)求下列各式的值: (1); (2); (3). 13.(23-24高一 上海)已知,,(且).用及表示下列各式: (1); (2); (3). 14.(24-25高一上 全国)求下列各式的值: (1); (2); (3); (4). 15.(24-25高一上 全国)计算下列各式的值: (1); (2); (3). (4). 16.(22-23高三上 江西南昌 阶段练习)计算:= . 题型四 换底公式的应用 17.(24-25高三上 广东梅州 开学考试)化简的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.6 18.(23-24高二下 天津滨海新 期末)计算的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 19.(23-24高一下 云南曲靖 阶段练习)若,则( ) A. B. C. D. 20.计算下列各式的值. (1); (2); (3) . (4). 题型六 指数对数与方程的应用 21.(23-24高二下 湖南娄底 阶段练习)方程的解为 . 22.(23-24高一上 上海 阶段练习)设方程,的两个实数根为a和b,则 . 23.(23-24高一上 江西赣州 阶段练习)方程:的解是 . 24.(24-25高一 上海 课堂例题)若方程的两根为、,则( ) A. B. C.35 D. 25.(多选)(24-25高一上 河北衡水 期中)若,是方程的两个根,则下列等式正确的是( ) A. B. C. D. 26.(24-25高三上 浙江 开学考试)方程的实数解有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 27.(22-23高一下 湖南岳阳 阶段练习)解关于的方程: (1) (2) 28.(24-25高一上 江苏连云港 阶段练习)(1)解方程:; (2)解方程:. (3)设是非零实数,已知,求的值. 题型五 含有附加条件的对数式或指数式的求值 29.(23-24高一下 西藏山南 期中)已知,且,求的值. 30.(24-25高一上 江苏盐城 阶段练习)已知,且,则M的值为 . 31.(23-24高三上 陕西渭南 阶段练习)若,则( ) A.2 B. C. D. 32.(13-14高三上 陕西西安 期中)设,,.若,,则最大值为( ) A.2 B. C.1 D. 33.(2022 陕西西安 模拟预测)设、、都是正数,且,则下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 34.(多选)(23-24高一上 吉林延边 期中)下列命题中正确的是( ) A.已知,,则 B.的值为1 C.若,则的值为 D.若且,则 题型六 对数及其运算性质的实际应用 35.(23-24高一上 安徽 期末)“学如逆水行舟,不进则退:心似平原跑马,易放难收”(明 《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.假设初始值为1,如果每天的“进步率”都是,那么一年后是;如果每天的“退步率"都是,那么一年后是.一年后“进步者”是“退步者”的倍.照此计算,大约经过( )天“进步者”是“退步者"的2倍(参考数据:,) A.33 B.35 C.37 D.39 36.(24-25高一 上海 课堂例题)测量地震级别的里氏震级M的计算公式为:,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,常数是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,而此次地震的里氏震级恰好为6级,那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的( )倍. A.10; B.100; C.1000; D.10000. 37.(2024 云南楚雄 一模)垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运,从而转变成公共资源的一系列活动,做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间(月)近似满足关系(其中、为正常数),经过个月,这种垃圾的分解率为,经过个月,这种垃圾的分解率为,则这种垃圾完全分解大约需要经过( )个月(参考数据:) A. B. C. D. 38.(2024 辽宁 模拟预测)苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550-1617)发明的对数及对数表(部分对数表如下表所示),为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.因为,所以的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数),已知是24位数,则正整数的值为( ) 3 4 5 6 7 8 9 0.4771 0.6021 0.6990 0.7782 0.8451 0.9031 0.9542 A.4 B.5 C.6 D.8 39.(24-25高三上 广东汕尾 阶段练习)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车,80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时的速度减少,那么他至少经过( )个小时才能驾驶?(参考数据) A.4 B.5 C.6 D.7 40.(24-25高三上 重庆 开学考试)牛顿曾提出:物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为,空气温度为,则分钟后物体的温度(单位:)满足:(k为常数).若,空气温度为,某物体的温度从下降到以下,至少大约需要的时间为( )(参考数据:) A.25分钟 B.32分钟 C.35分钟 D.42分钟 2 学科网(北京)股份有限公司 $$ 4.3对数 【题型归纳】 3 题型一 对数的概念 3 题型二 对数式与指数式互化 5 题型三 对数运算性质的应用 8 题型四 换底公式的应用 11 题型六 指数对数与方程的应用 12 题型五 含有附加条件的对数式或指数式的求值 16 题型六 对数及其运算性质的实际应用 18 知识点一 对数的概念 1．一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. 注：规定底数且的原因： (1)若，则当为某些值时，的值不存在.如：不存在. (2)若，则 ①当时，的值不存在.如：(可理解为0的多少次幂是3)不存在. ②当时，可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即有无数个值. (3)若，则 ①当时，的值不存在.如:不存在； ②当时，可以为任意实数，是不唯一的，即有无数个值.因此规定，且. 2．常用对数与自然对数 (1)常用对数：通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记为. (2)自然对数：在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把记为. 3．对数式与指数式的关系 对数是由指数转化而来，则底数、指数或对数、幂或真数的范围不变，只是位置和名称发生了变换． 4．对数的基本性质 (1)负数和0没有对数. (2)1的对数等于0，即.因为，所以. (3)底数的对数等于1，即因为，所以. (4)对数恒等式因为，所以，将代入，即得 (5)因为，所以，将代入，即得. 知识点二 对数的运算性质 如果，且，，，那么 (1);(两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和) (2);(两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差) (3).(指数幂的对数等于底数的对数的指数倍) 对数运算中的常见公式及推广 (1); (2); (3); (4)可推广为. 知识点三 对数的换底公式 1．换底公式： 换底公式的证明(对数的定义和指数、对数的互化)： 已知且；； 设可化为指数式，两边同时取以为底的对数，得 把代入上式得 因为，所以，则 2．常用的对数换底公式，其中，且且且 (1) (2) (3) 【题型归纳】 题型一 对数的概念 1．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中的取值范围： (1)； (2)（且）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）对数式中，真数是正数，据此求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得，即的取值范围为. （2）依题意，，解得或，即的取值范围为. 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，对任意的，且，当时，不合乎题意，进而可知，对任意的，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型二 对数式与指数式互化 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化. 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 6．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)27 (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）将对数化为指数，结合指数运算求解； （3）（4）根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 7．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：D 8．（24-25高一上·上海·期中）已知正实数x、y满足，则 ． 【答案】e 【分析】利用指数式和对数式互化和指数幂的运算求解. 【详解】解：， 所以． 故答案为：e． 9．（2024高二下·湖北·学业考试）已知，则 . 【答案】 【分析】根据指数与对数的运算法则计算． 【详解】由得，则， 所以， 故答案为：. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】将对数式转化为指数式，再结合指数运算公式，即可求解. 【详解】，则，则． 故答案为： 11．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 题型三 对数运算性质的应用 12．（23-24高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)5 (2)441 (3)10 【分析】（1）由对数的运算性质化简即可； （2）由对数的运算性质化简即可； （3）由对数的运算性质化简即可； 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得： 原式. 13．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，（且）.用及表示下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1） （2） （3） 14．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2)1 (3)0 (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）方法一  ． 方法二  ． （2）． （3） （4） 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据对数的运算计算即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 16．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）计算：= . 【答案】3 【分析】根据指数与对数运算性质化简求值即可. 【详解】原式 ． 故答案为：. 题型四 换底公式的应用 17．（24-25高三上·广东梅州·开学考试）化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据对数的性质及换底公式可求代数式的值. 【详解】原式. 故选：B 18．（23-24高二下·天津滨海新·期末）计算的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】 . 故选：C. 19．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 20．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）请写出对数换底公式． 【答案】答案见解析. 【分析】略 【详解】（，且，且） 题型六 指数对数与方程的应用 21．（23-24高二下·湖南娄底·阶段练习）方程的解为 . 【答案】 【分析】设，将原方程化成关于的方程，解之即得. 【详解】设，由可得， 即， 因，故，即，解得. 故答案为：. 22．（23-24高一上·上海·阶段练习）设方程，的两个实数根为a和b，则 【答案】 【分析】转化为一元二次方程求出a和b，然后由对数运算求解可得. 【详解】令，则，解得或， 即或，解得或， 所以，或，， 所以. 同理可求时，结果也为， 故答案为： 23．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）方程：的解是 . 【答案】 【分析】根据题意，由对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，即，所以， 即，解得，则，或无实根. 故答案为： 24．（24-25高一·上海·课堂例题）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【分析】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解. 【详解】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 25．（多选）（24-25高一上·河北衡水·期中）若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由根与系数的关系结合对数的运算即可求解. 【详解】由根与系数的关系，得，， ， . 故选：. 26．（24-25高三上·浙江·开学考试）方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由换底公式变形解对数方程即可. 【详解】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 27．（22-23高一下·湖南岳阳·阶段练习）解关于的方程： (1) (2) 【答案】(1)或或或或或， (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解， （2）根据对数与指数的互化，即可由二次方程求解. 【详解】（1）因为，所以 ①，解得或； ②，解得或； ③，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，方程的解为或或或或或； （2）由得， 所以， 由于，所以，故， 故方程的解为 28．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）解方程：； （2）解方程：． （3）设是非零实数，已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）转化为同底数的对数相等，再由等价方程求解即可； （2）将对数式等价转化为指数式，再解二次方程即可； （3）以与为整体，应用完全平方公式、立方和公式、平方差公式分别求出、、的值，代入求值即可. 【详解】（1）解：由题得：，， 则，所以，故； （2）解：由题得：且，因为， 所以，即，得． （3）解：因为，所以， 所以， 又因为， ， 所以． 题型五 含有附加条件的对数式或指数式的求值 29．（23-24高一下·西藏山南·期中）已知，且，求的值． 【答案】4 【分析】把指数式化成对数式，代入题设条件，利用换底公式，再逆用对数的运算公式即得. 【详解】由可得，， 由， 所以．因为，所以． 30．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，且，则M的值为 . 【答案】72 【分析】利用指数与对数的换算，结合对数的运算法则计算即可. 【详解】， ，，则， ∴ 故答案为： 31．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对互化的运算可得，利用对数的换底公式和对数的运算性质的应用即可求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：A 32．（13-14高三上·陕西西安·期中）设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先利用指、对数的关系，用表示，再利用基本不等式求最大值. 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1. 故选：C. 33．（2022·陕西西安·模拟预测）设、、都是正数，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得出，，，利用换底公式、对数的运算性质以及指数的运算性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】设，则，，， 所以， 即，所以，所以，故D正确； 由，所以，故A正确，B错误； 因为，， 又，所以，即，故C正确； 故选：B. 34．（多选）（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ） A．已知，，则 B．的值为1 C．若，则的值为 D．若且，则 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合指数与对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，且，则 则，故A正确； ，故B正确； 由可得，则， 故C正确； 因为，则，则， 所以，所以，故D错误； 故选：ABC 题型六 对数及其运算性质的实际应用 35．（23-24高一上·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：． 36．（24-25高一·上海·课堂例题）测量地震级别的里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的（    ）倍． A．10； B．100； C．1000； D．10000． 【答案】D 【分析】根据条件先计算出的值，然后分别计算出里氏9级地震的最大的振幅和里氏5级地震最大振幅，由此可求解出最终结果. 【详解】由条件可知：， 设里氏9级地震的最大的振幅为，里氏5级地震最大振幅为， 所以，所以， 故选：D 37．（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中、为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件可得出关于、的等式组，解出这两个量的值，可得出的表达式，然后解方程，求出的值即可. 【详解】由题意，可得，解得，则， 这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以， 所以，则． 故选：B. 38．（2024·辽宁·模拟预测）苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（部分对数表如下表所示），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．因为，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数），已知是24位数，则正整数的值为（    ） 3 4 5 6 7 8 9 0.4771 0.6021 0.6990 0.7782 0.8451 0.9031 0.9542 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据位数定义利用对数运算表可得. 【详解】由题意可知，两边同时取对数可得， 所以，故， 由表中数据可知， 故选：C 39．（24-25高三上·广东汕尾·阶段练习）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（    ）个小时才能驾驶？(参考数据) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】通过列不等式，来求解，再利用对数运算求值即可. 【详解】设至少经过小时后才能驾驶，则满足：， 化简得：，根据是递增函数可得： ，即， 因为，所以 所以他至少要经过小时后才能驾驶. 故选：B. 40．（24-25高三上·重庆·开学考试）牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．25分钟 B．32分钟 C．35分钟 D．42分钟 【答案】C 【分析】根据题意，建立含指数方程，后指数对数互化，结合对数性质和参考数据可解. 【详解】由题知，所以，可得， 所以. 即某物体的温度从下降到以下，至少大约需要35分钟. 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$