5.3　一元一次方程的应用 课件 2024-2025学年 北师大版数学七年级上册

　一元一次方程的应用 　一元一次方程的应用(1) ——几何变形 如图，将一个底面直径是10 cm，高为36 cm的“瘦长”形圆柱，锻压成底面直径是20 cm的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？ 等体积变形 解：设高变成了x cm. 依题意，得π×(10÷2)2×36＝π×(20÷2)2x， 解得x＝9. 答：高变成了9 cm. 两个圆柱体容器如图所示，容器1的半径是4 cm，高是20 cm；容器2的半径是6 cm，高是8 cm，我们先在容器2中倒满水，然后将里面的水全部倒入容器1中，问：倒完以后，容器1中的水面离容器口有多少厘米？ 解：设倒完以后，容器1中的水面离容器口有x cm. 依题意，得π×42×(20－x)＝π×62×8，解得x＝2. 答：容器1中的水面离容器口有2 cm. (BS七上P147例1)用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形. (1)如果该长方形的长比宽多1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？ 等周长或面积变形 解： (1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x＋1.4)m. 依题意，得2(x＋x＋1.4)＝10，解得x＝1.8. 则长方形的长为x＋1.4＝3.2(m). 答：此时长方形的长为3.2 m，宽为1.8 m. (2)如果该长方形的长比宽多0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？ 解：(2)设此时长方形的宽为y m，则它的长为(y＋0.8)m. 依题意，得2(y＋y＋0.8)＝10，解得y＝2.1. 则长方形的长为2.1＋0.8＝2.9(m)， 此时长方形的面积为2.9×2.1＝6.09(m2). (1)中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(m2). 此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大 6.09－5.76＝0.33(m2). 答：此时长方形的长为2.9 m，宽为2.1 m，此时长方形的面积为6.09 m2，比(1)中的长方形的面积增大0.33 m2. (3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化？ 解：(3)设正方形的边长为a m， 依题意，得4a＝10，解得a＝2.5. 此时正方形的面积为2.5×2.5＝6.25(m2)，比(2)中长方形的面积增大6.25－6.09＝0.16(m2). 答：此时正方形的边长是2.5 m，正方形的面积比(2)中长方形的面积增大0.16 m2. 如图，小玲将一个正方形纸片剪去一个宽为2 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为3 cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长为 ( ) A.4 cm B. 6 cm C. 12 cm D. 18 cm B 1. 若x的43%比它的一半少7，则列出求x的方程应是( ) A. 43%x－ ＝7　　　B. 43%(x－ )＝7 C. 43%x＋ ＝7 D. x－7＝43%x D 2. 一个底面半径为10 cm，高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10 cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为 ( ) A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm C 3. 李红准备用40 cm长的铁丝围成一个长方形，该长方形的长比宽多4 cm.设宽为x cm，则可列方程为_______________，围成的长方形的面积为_________. 2(x＋x＋4)＝40 96 cm2 4. 一个边长为6的正方形是由一个与其周长相等的长方形变形得到的，已知原长方形的长是宽的3倍，请求出这个长方形的面积. 解：设这个长方形的宽为x，则它的长为3x. 依题意，得2(x＋3x)＝6×4， 解得x＝3. 所以3x＝9. 所以这个长方形的面积是3×9＝27. 5. 用一根长60 m的绳子围成一个长方形，使它的长是宽的1.5倍，设宽为x m，则可列方程为_______________. 2(x＋1.5x)＝60 6. 黄老师带学生们去野炊，1人一个饭碗，2人合用一个菜碗，4人合用一个汤碗，若一共用了28个碗，则参加野炊的有多少名学生？ 解：设参加野炊的有x名学生. 解得x＝16. 答：参加野炊的有16名学生. 依题意，得x＋ x＋ x＝28， 7. 如图，小明用一张正方形纸片剪出两个宽都是5 cm的长条，如果其中一 个长条的面积是另一个长条的1.2倍，求原来正方形纸片的边长. 解：设小长条的长为x cm， 则原来正方形的边长为(x＋5)cm， 所以小长条的面积为5x cm2，大长条的面积为 5(x＋5)cm2. 因为其中一个长条的面积是另一个长条的1.2倍， 所以1.2×5x＝5(x＋5)，解得x＝25. 所以原来正方形纸片的边长为x＋5＝25＋5＝30(cm). 答：原来正方形纸片的边长为30 cm. 　一元一次方程的应用(2) ——盈不足问题 《九章算术》中的一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四. 问人数物价各几何？其大意是：有若干人共同买东西，若每人出8块钱，则余3块钱；若每人出7块钱，则还差4块钱. 问一起买东西的人数和所买东西的价格各是多少？ 设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗？请完成下表. 每人出8块钱 每人出7块钱 人数 x 出钱总数 物价 x 8x 7x 8x－3 7x＋4 解：依题意，得8x－3＝7x＋4， 解得x＝7. 所以7x＋4＝7×7＋4＝53. 答：一起买东西的人数是7人，所买东西的价格是53块钱. 《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买牛，人出三十，不足三百五；人出六十，不足五十，问人数、牛价各几何？大意为：若干人共同出资买牛，每人出30元，则差350元；每人出60元，则差50元. 求人数和牛价各是多少. (1)若设合伙买牛的有x人，请解答上述问题. 解：(1)依题意，得30x＋350＝60x＋50， 解得x＝10. 所以30x＋350＝650. 答：合伙买牛的有10人，牛的价钱为650元. (2)若设牛的价格是y元，又如何列方程？ 解：(2)依题意，得 . 把一批图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本. 这个班有多少名学生？ 解：设这个班有x名学生. 若每人分3本，则这批图书共_________本； 若每人分4本，则这批图书共_________本. 可列方程为_________________， 解得_______. 答：这个班有____名学生. (3x＋20) (4x－25) 3x＋20＝4x－25 x＝45 45 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为2∶5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？ 解：设采用新工艺的废水排量是2x t， 则采用旧工艺的废水排量是5x t. 依题意，得5x－200＝2x＋100， 解得x＝100，则2x＝200，5x＝500. 答：新工艺的废水排量是200 t，旧工艺的废水排量是500 t. 1. 一份数学试卷只有20道选择题，规定做对一道得5分，不做或做错一道扣1分，结果某学生得分为76分，则他做对的题数为 ( ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 A 2. 小强买了语文本和数学本共15本，其中买语文本比买数学本多用2元，已知语文本每本1.2元，数学本每本0.8元，设语文本买了x本，下列方程正确的是 ( ) A. 0.8(15－x)－1.2x＝2 B. 1.2(15－x)－0.8x＝2 C. 0.8x－1.2(15－x)＝2 D. 1.2x－0.8(15－x)＝2 D 3. 王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋，分给朋友们品尝，如果每人分5袋，还剩余3袋；如果每人分6袋，还差3袋，则王经理带回孔明菜___袋. 33 4. 某中学七年级某班48名同学去公园划船，一共乘坐10艘船. 已知每艘大船坐6人，每艘小船坐4人，正好全部坐满. 问：大船、小船各有多少艘？ 解：设大船有x艘，则小船有(10－x)艘. 依题意，得6x＋4(10－x)＝48， 解得x＝4. 所以10－x＝10－4＝6. 答：大船有4艘，小船有6艘. 5. 用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板可以按如图所示的两种方法进行裁剪. (裁剪后边角料不再利用) A方法：剪4个侧面； B方法：剪2个侧面和5个底面. 现有19张硬纸板，那么多少张用A方法裁剪，多少张用B方法裁剪，可使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完？能做多少个盒子？ 解：设x张用A方法裁剪， 则(19－x)张用B方法裁剪，可使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完. 依题意，得[4x＋2(19－x)]∶5(19－x)＝3∶2， 解得x＝11. 所以19－x＝19－11＝8， 答：11张用A方法裁剪，8张用B方法裁剪，可使剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做20个盒子. 盒子个数为 ＝20(个). 一元一次方程的应用(3) ——行程问题 甲、乙两站的距离为450 km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶85 km.两车同时开出，相向而行，几小时后两车相遇？ 相遇问题(快车路程＋慢车路程＝总路程) 解：设x个小时后两车相遇， 依题意，得85x＋65x＝450， 解得x＝3. 答：3个小时后两车相遇. 甲、乙两人骑自行车同时从相距50 km的两地相向而行，2 h后相遇，已知甲每小时比乙少骑5 km，求乙的速度. 解：设乙的速度为x km/h. 依题意，得2(x－5)＋2x＝50， 解得x＝15. 答：乙的速度为15 km/h. 追及问题：(1)不同起点同时出发：快车路程－慢车路程＝路程差； (2)同起点不同时出发：快车路程＝慢车路程 解：设x秒后两人能首次相遇. 甲、乙两人沿400米的环形跑道进行晨跑，甲的速度为5米/秒，乙的速度为4米/秒. 若甲站在乙前面20米处，两人同时同向起跑，几秒后两人能首次相遇？ 依题意，得5x－4x＝400－20，解得x＝380. 答：380秒后两人能首次相遇. 解：设快马x天可追上慢马. 快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？ 依题意，得240x＝150x＋150×12， 解得x＝20. 答：快马20天可追上慢马. 小明每天早上要在7：30之前赶到距家1 000米的学校上学. 一天，小明以70米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书. 于是，爸爸立即以170米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他. (1)爸爸追上小明用了多少时间？ 解：(1)设爸爸追上小明用了x分钟. 依题意，得70×5＋70x＝170x， 解得x＝3.5. 答：爸爸追上小明用了3.5分钟. (2)爸爸追上小明时，他们距离学校还有多远？ 解：(2)1 000－170×3.5＝405(米). 答：爸爸追上小明时，他们距离学校还有405米. 小明每天早上要在7：30之前赶到距家1 000米的学校上学. 小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书. 于是，爸爸立即以110米/分的速度去追小明，而同时，小明也想起自己的语文书掉在家里了，他马上以90米/分的速度回头取书. 问爸爸出门几分钟后两人在途中相遇？ 解：设爸爸出门x分钟后两人在途中相遇. 依题意，得110x＋90x＝80×5， 解得x＝2. 答：爸爸出门2分钟后两人在途中相遇. 1. 两辆汽车从相距84 km的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20 km/h，半小时后两车相遇. 问乙车的速度是多少？ 解：设乙车的速度为x km/h， 则甲车的速度为(20＋x)km/h. 依题意，得0.5x＋0.5(20＋x)＝84， 解得x＝74. 答：乙车的速度为74 km/h. 2. 已知A、B两站间的距离为480 km，一列慢车从A站出发，一列快车从B站出发，慢车的平均速度为60 km/h，快车的平均速度为100 km/h, 如果两车同时出发，慢车在前，快车在后，同向而行，那么出发几小时后两车相距80 km？ 解：设出发x h后两车相距80 km. 当慢车在前时，100x－60x＝480－80，解得x＝10. 当快车在前时，100x－60x＝480＋80，解得x＝14. 答：出发10 h或14 h后，两车相距80 km. 3. 电动出租车以绿色环保受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大方便. 下表是行驶15 km以内普通燃油型出租车和纯电动型出租车的运营价格： 老张每天从家里打出租车上班(路程在15 km以内)，结果发现正常情况下乘坐纯电动出租车比乘坐普通燃油型出租车平均每千米节省0.8元，求从老张家到单位的路程. 解：设从老张家到单位的路程是x km. 依题意，得13＋2.3(x－3)－[8＋2(x－3)]＝0.8x， 解得x＝8.2. 答：从老张家到单位的路程是8.2 km. 一元一次方程的应用(4) ——打折销售问题 某运动鞋的进货价是100元/双，标价为200元/双，打8折促销出售. 其中，100元/双是_____，折扣是_____，实际售价是___元/双，单件利润是__元，利润率是_____. 名词解释 ①售价－进价＝单件利润；②进价×利润率＝利润(利润率＝ ×100%)；③打八五折，即乘85%. 进价 8折 160 60 60% 商场售出一批电器，原价每件100元，后打8折出售，最终每件获利30元，则该电器每件的售价是____元，每件的进价是____元. 80 50 某商品进价为5 000元，按标价九折出售，仍获利400元，求该商品的标价. 解：设该商品的标价为x元. 利润问题 依题意，得0.9x－5 000＝400， 解得x＝6 000. 答：该商品的标价为6 000元. 服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利20%，则这款服装每件的进价是多少元？ 解：设这款服装每件的进价是x元. 依题意，得300×80%－x＝20%x， 解得x＝200. 答：这款服装每件的进价是200元. (BS七上P160 T11改编)一家服装店同时卖出两件上衣，售价都是 135元. (1)若其中一件盈利25%，则它的进价是多少？ 盈亏情况 解：(1)设盈利的上衣进价为x元. 依题意，得x＋25%x＝135，解得x＝108. 答：盈利的上衣进价为108元. (2)若另一件亏损25%，则它的进价是多少？ 解：(2)设亏损的上衣进价为y元. 依题意，得y－25%y＝135，解得y＝180. 答：亏损的上衣进价为180元. (3)在(1)(2)的条件下，卖这两件上衣总的是盈利还是亏损，或不盈不亏？ 解：(3)(135－108)＋(135－180)＝－18(元). 答：卖这两件上衣总共亏损18元. 某超市用6 800元购进A、B两种型号的计算器共120个，进价、标价如表： (1)这两种计算器各购进多少个？ 解：(1)设购进A型计算器x个， 则购进B型计算器(120－x)个. 依题意，得30x＋70(120－x)＝6 800， 解得x＝40. 所以120－x＝120－40＝80. 答：购进A型计算器40个，B型计算器80个. (2)若A型计算器按标价的9折出售，B型计算器按标价的8折出售，那么这批计算器全部售出后，超市共获利多少元？ 解：(2)50×0.9×40＋100×0.8×80－6 800＝1 400(元). 答：超市共获利1 400元. 1. 一件衣服的进价是120元，按标价的八折出售仍能赚32元，则标价是_____元. 2. 某商品的进价是100元，按标价的八折销售，仍可获利60%，求该商品的标价. 190 解：设该商品的标价为x元. 依题意，得80%x＝100×(1＋60%)， 解得x＝200. 答：该商品的标价为200元. 3. 某超市用5 000元购进A、B两种型号的电蚊拍共120个，进价、标价如下表： (1)这两种电蚊拍各购进多少个？ 解：(1)设购进A型电蚊拍x个， 则购进B型电蚊拍(120－x)个. 依题意，得30x＋50(120－x)＝5 000， 解得x＝50. 所以120－x＝70. 答：购进A型电蚊拍50个，购进B型电蚊拍70个. (2)若A型电蚊拍按标价的9折出售，B型电蚊拍按标价的8折出售，则这批电蚊拍全部售出后，超市共获利多少元？ 解：(2)50×90%×50＋70×80%×70－5 000＝1 170(元). 答：这批电蚊拍全部售出后，超市共获利1 170元. 4. (创新意识·核心素养)甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按60%的利润率标价出售，乙玩具按50%的利润率标价出售. 在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的9折出售，这样商店共获利114元. (1)甲、乙两个玩具的成本各是多少元？ 解：(1)设甲玩具的成本是x元， 则乙玩具的成本是(300－x)元. 依题意，得 0.9×(1＋60%)x＋0.9×(1＋50%)(300－x)－300＝114， 解得x＝100. 所以300－x＝300－100＝200. 答：甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元. (2)商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每个玩具至少购进1个，那么怎样安排进货利润最高？ 解：(2)依题意，得1个甲玩具的实际利润为 0.9×(1＋60%)×100－100＝44(元)； 1个乙玩具的实际利润为 0.9×(1＋50%)×200－200＝70(元). 甲玩具投入100元，利润为44元，而乙玩具投入200元，利润为70元， 所以应尽可能多的购进甲玩具，且保证每个玩具至少购进1个， 即购进乙玩具1个，剩下800元购进甲玩具8个利润最高. $$