4.4 对数函数 题型归纳讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.3指数函数 【题型归纳】 4 题型一 对数函数的概念 4 题型二 对数（型）复合函数的定义域问题 4 题型三 对数（型）函数图像的应用 5 考点1对数函数图像的平移对称变换 5 考点2 对数函数图像的识别 6 考点3 对数函数图像过定点问题 7 题型四 对数函数单调性的应用 8 考点1 对数型复合函数的单调性 8 考点2 对数函数有关的函数值域及最值问题 9 考点3 对数值的比较大小 10 考点4 解对数不等式 10 题型五 对数型复合函数奇偶性的应用 11 题型六 对数函数性质的综合应用 12 知识点一 对数函数的概念 1．对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是 注：以10为底的对数函数叫做常用对数函数， 以为底的对数函数叫做自然对数函数. 2．判断一个函数是对数函数的依据 (1)形如; (2)底数满足; (3)真数是，而不是的函数； (4)定义域为 知识点二 对数函数的图像与性质 1.对数函数的图像与性质 底数 图象 性质 定义域 值域 定点 函数图象恒过点，即时，. 函数值的正负 当 时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上为增函数 在上为减函数 对称性 函数与的图象关于轴对称. 2底数对对数函数函数图象的影响 (1)底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降” 当时，对数函数的图象“上升”； 当时，对数函数的图象“下降”. (2)底数的大小决定了图象相对位置的高低 无论是还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线的右侧，时，越大，图象越靠近轴；时，越小，图象越靠近轴； ②左右比较：比较图象与直线的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 拓展一 与对数函数有关的函数定义域 (1)对数函数的定义域为 (2)形如的函数，定义域由 来确定. (3)形如的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义. 拓展二 与对数函数有关的函数值域 (1)对数函数的值域利用函数的单调性求解. (2)求形如的复合函数的值域，先求的值域，然后结合函数的性质确定函数的值域. (3)求形如的复合函数的值域，其中复合函数一般是关于的二次函数，可采用换元法求解，注意新元的取值范围. 拓展三 与对数函数有关的函数单调性 对数型复合函数一般分为两类：型和型. (1)对于型复合函数的单调性，一般用复合法判定，即令，则只需研究及的单调性即可. (2)对于 型复合函数的单调性，首先由确定函数的定义域，然后判断在定义域上的单调性，然后结合底数或再来确定的单调性，其核心是同增异减. 拓展四 与对数函数有关的函数奇偶性 由于对数函数的定义域为，因而其本身是非奇非偶函数.但与对数函数有关且具有奇偶性的函数却屡见不鲜.例如： (1)函数和函数均为奇函数. (2)函数是奇函数. (3)函数是偶函数. 【题型归纳】 题型一 对数函数的概念 1．（2024高一·全国）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 2．（24-25高一上·上海）函数是对数函数，则实数 ． 3．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知，则等于（   ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型二 对数（型）复合函数的定义域问题 5．求下列函数的定义域 （1）； （2） （3） 6．若集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·四川绵阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 8．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数f(x)＝log2. （1）若定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若值域为R，求实数a的取值范围． 题型三 对数（型）函数图像的应用 考点1对数函数图像的平移对称变换 10．（2023高一上·上海·专题练习）由函数图像，画出下列各函数图像. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 考点2 对数函数图像的识别 11．图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 12．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 15．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 考点3 对数函数图像过定点问题 16．（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2024高三·北京·专题练习）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 . 18．（24-25高二上·山西·开学考试）函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 考点4 对数函数图像的应用-数形结合 19．（2024·上海嘉定·模拟预测）已知函数，若，且，则的取值范围是 . 20．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则 ；若，且，则的取值范围是 . 21．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数，设是四个互不相同的实数，满足，则的取值范围是 . 题型四 对数函数单调性的应用 考点1 对数型复合函数的单调性 22．求下列函数的单调区间： （1）． （2）． 23．（23-24高一上·浙江宁波·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 24．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．设函数，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点2 对数函数有关的函数值域及最值问题 26．（24-25高一上·全国）求下列函数的值域： (1)； (2)． 27．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的值域是 ． 28．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 . 29．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 30．（23-24高一下·甘肃白银·期中）已知函数． (1)证明：的定义域与值域相同． (2)若，，，求m的取值范围． 考点3 对数值的比较大小 31．比较下列各组中两个值的大小： ①log31.9，log32； ②log23，log0.32； ③logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)； ④log50.4，log60.4. 32．（24-25高三上·河南·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 33．函数f（x）＝，a＝70.5，b＝log0.50.7，c＝log0.75，则（    ） A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（a）＜f（c）＜f（b） C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（c）＜f（b）＜f（a） 34．（24-25高三上·广西·阶段练习）函数的定义域为，满足：①，②任意，都有.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点4 解对数不等式 35．（24-25高一上·全国）解下列关于x的不等式： (1)； (2)（且）； (3)（且）． 36．（2024高三·全国·专题练习）不等式的解集为 ． 37．（2024高三·全国·专题练习）已知，则不等式的解集为 ． 38．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）设函数，则使成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 对数型复合函数奇偶性的应用 39．（2021·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，则 . 40．（22-23高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，若，则 . 41．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 42．（浙江省杭州第十四中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题）关于函数，下列说法中正确的有（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是减函数 D．对任意，，都有 43．（第四章指数函数与对数函数4.4对数函数）已知函数. （1）若为奇函数，求a的值； （2）在（1）的条件下，若在上的值域为，求m，n的值. 题型六 对数函数性质的综合应用 44．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 45．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 46．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数 (1)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 47．（23-24高一上·浙江宁波·期中）设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 48．（天津市耀华中学2023-2024学年高一上学期期末学情调研数学试卷）已知函数. (1)若在区间为单调增函数，求的取值范围； (2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (3)设函数，若对任意，都存在使不等式成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$4.4对数函数 【题型归纳】 4 题型一 对数函数的概念 4 题型二 对数(型)复合函数的定义域问题 5 题型三 对数(型)函数图像的应用 8 考点1对数函数图像的平移对称变换 8 考点2 对数函数图像的识别 10 考点3 对数函数图像过定点问题 14 题型四 对数函数单调性的应用 17 考点1 对数型复合函数的单调性 17 考点2 对数函数有关的函数值域及最值问题 19 考点3 对数值的比较大小 22 考点4 解对数不等式 25 题型五 对数型复合函数奇偶性的应用 27 题型六 对数函数性质的综合应用 30 知识点一 对数函数的概念 1.对数函数的概念 一般地,函数叫做对数函数,其中是自变量,定义域是 注:以10为底的对数函数叫做常用对数函数, 以为底的对数函数叫做自然对数函数. 2.判断一个函数是对数函数的依据 (1)形如; (2)底数满足; (3)真数是,而不是的函数; (4)定义域为 知识点二 对数函数的图像与性质 1.对数函数的图像与性质 底数 图象 性质 定义域 值域 定点 函数图象恒过点,即时,. 函数值的正负 当. 时,. ; 当. 时, 当时,; 当时, 单调性 在上为增函数 在上为减函数 对称性 函数与的图象关于轴对称. 2底数对对数函数函数图象的影响 (1)底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降” 当时,对数函数的图象“上升”; 当时,对数函数的图象“下降”. (2)底数的大小决定了图象相对位置的高低 无论是还是,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较:在直线的右侧,时,越大,图象越靠近轴;时,越小,图象越靠近轴; ②左右比较:比较图象与直线的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 拓展一 与对数函数有关的函数定义域 (1)对数函数的定义域为 (2)形如的函数,定义域由 来确定. (3)形如的复合函数在求定义域时,必须保证每一部分都要有意义. 拓展二 与对数函数有关的函数值域 (1)对数函数的值域利用函数的单调性求解. (2)求形如的复合函数的值域,先求的值域,然后结合函数的性质确定函数的值域. (3)求形如的复合函数的值域,其中复合函数一般是关于的二次函数,可采用换元法求解,注意新元的取值范围. 拓展三 与对数函数有关的函数单调性 对数型复合函数一般分为两类:型和型. (1)对于型复合函数的单调性,一般用复合法判定,即令,则只需研究及的单调性即可. (2)对于 型复合函数的单调性,首先由确定函数的定义域,然后判断在定义域上的单调性,然后结合底数或再来确定的单调性,其核心是同增异减. 拓展四 与对数函数有关的函数奇偶性 由于对数函数的定义域为,因而其本身是非奇非偶函数.但与对数函数有关且具有奇偶性的函数却屡见不鲜.例如: (1)函数和函数均为奇函数. (2)函数是奇函数. (3)函数是偶函数. 【题型归纳】 题型一 对数函数的概念 1.(2024高一 全国)已知函数①;②;③;④;⑤;⑥.其中是对数函数的是( ) A.①②③ B.③④⑤ C.③④ D.②④⑥ 【答案】C 【分析】依据对数函数的定义即可判断. 【详解】根据对数函数的定义,只有符合(且)形式的函数才是对数函数, 其中x是自变量,a是常数, 易知,①是指数函数;②中的自变量在对数的底数的位置,不是对数函数; ③中,是对数函数;④中,是对数函数; ⑤⑥中函数显然不是对数函数,由此可知只有③④是对数函数. 故选:C. 2.(24-25高一上 上海)函数是对数函数,则实数 . 【答案】5 【分析】根据对数函数概念可解. 【详解】函数是对数函数,则. 故答案为:5. 3.(24-25高三上 福建宁德 开学考试)已知,则等于( ) A. B. C.1 D.2 【答案】B 【分析】根据给定条件,逐次判断代入计算即得. 【详解】函数,则, 所以. 故选:B 4.(24-25高一上 全国 课后作业)若点都在同一个对数函数的图象上,则t等于( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】C 【分析】根据点求得对数函数为,再代入点运算即可. 【详解】设对数函数为(且), 代入点可得,则,解得, 所以, 代入点可得,则, 可得,所以. 故选:C. 题型二 对数(型)复合函数的定义域问题 5.求下列函数的定义域 (1); (2)函数 (3) 【答案】(1);(2);(3) 【分析】(1)由分式及二次根式的性质即可得解; (2)由分式、二次根式及对数函数的性质即可得解; (3)由分式、对数函数及指数幂的性质即可得解. 【详解】(1)若要使函数有意义,则,解得或且, 所以该函数的定义域为; (2)若要使函数有意义,则,解得, 所以该函数的定义域为; (3)若要使函数有意义,则,解得且,, 所以该函数的定义域为. 6.若集合,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先求出集合A、B,再求. 【详解】或 所以, 所以. 故选:B 7.(23-24高一上 四川绵阳 期末)函数的定义域是( ) A. B. C. D.且 【答案】D 【分析】根据已知列出不等式组,求解即可得出答案. 【详解】要使有意义,则应有, 解得且. 故选:D. 8.若函数的定义域是,则函数的定义域是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据已知条件,结合对数函数的定义和性质,列出使函数的分母有意义时所满足的不等式组,然后求解;再根据已知函数的定义域,得到分子有意义的条件得到x需要满足的条件,最后求交集即得. 【详解】分母有意义的条件是得 分子有意义的条件是,则. 所以函数的定义域是. 故选:C. 9.已知函数f(x)=log2. (1)若定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若值域为R,求实数a的取值范围. 【答案】(1);(2). 【分析】(1)根据题意转化为不等式恒成立问题,根据a的正负性分类讨论求解即可; (2)根据对数型函数的值域特点,根据a的正负性结合一元二次方程根的判别式分类讨论即可. 【详解】解:(1)要使f(x)的定义域为R,则对任意实数x都有t=ax2+(a-1)x+>0恒成立.当a=0时,不合题意;当a≠0时,由二次函数图象可知 解得<a<.故所求a的取值范围为. (2)要使f(x)的值域为R,则有t=ax2+(a-1)x+的值域必须包含(0,+∞).当a=0时,显然成立;当a≠0时,由二次函数图象可知,其二次函数图象必须与x轴相交且开口向上, ∴即0<a≤或a≥. 故所求a的取值范围为.. 题型三 对数(型)函数图像的应用 考点1对数函数图像的平移对称变换 10.(2023高一上 上海 专题练习)由函数图像,画出下列各函数图像. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)图像见解析 (2)图像见解析 (3)图像见解析 (4)图像见解析 (5)图像见解析 (6)图像见解析 【分析】根据题意结合函数图象变换逐项分析作图. 【详解】(1)由于与关于轴对称,可得图象如下: . (2)由于与关于轴对称,可得图象如下: . (3)由于,可得图象如下: . (4)由于为偶函数,可得图象如下: . (5)将向右平移1个单位可得,可得图象如下: . (6)将向左平移1个单位可得, 易得为偶函数,当时,, 所以在轴左侧的图象由的图象关于轴对称而得,如图, . 考点2 对数函数图像的识别 11.图中曲线是对数函数的图象,已知取,,,四个值,则相应于,,,的值依次为 A.,,, B.,,, C.,,, D.,,, 【答案】A 【分析】 在第一象限,对数函数图象越接近轴底数越大,进而可得答案. 【详解】 解:由已知中曲线是对数函数的图象, 由对数函数的图象和性质,可得,,,的值从小到大依次为:,,,, 由取,,,四个值, 故,,,的值依次为,,,, 故选:. 【点睛】 本题考查的知识点是函数的图象,数形结合思想,对数函数的图象和性质,属于基础题. 12.(2024高二下 湖北 学业考试)如图,是函数的图象,是由经轴对称变换得到的函数图象,则对应的函数解析式分别是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】结合指数函数和对数函数的图象,根据函数图象的对称变化逐一求解可得. 【详解】由图可知,与关于直线对称,所以的解析是为; 与关于轴对称,所以的解析是为; 与关于轴对称,所以的解析是为. 故选:B 13.(23-24高一上 山东滨州 期末)若函数(,且)的图象如图所示,则下列函数与图象对应正确的为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用函数经过点,求出,并代入选项,借助基本初等函数逐一判断即可. 【详解】从函数(,且)的图象可知:该函数经过, 所以,即,解得, 对于选项A: ,由指数函数可知在定义域上单调递减,故选项A错误; 对于选项B: ,当时,则, 由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴,故选项B错误; 对于选项C: 该函数为,可看成的图象关于轴对称,对称后在单调递增,故选项C错误; 对于选项D: ,由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴,故选项D正确. 故选:D. 14.(23-24高二下 陕西宝鸡 期中)函数的大致图象为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先通过对数运算化简,然后由对数函数的图象变换即可求解. 【详解】令,解得, 由题意,,且, 所以的图象由图象向上平移一个单位长度即可. 故选:C. 15.(23-24高一上 山西晋中 期末)已知函数的图象如图所示,则的解析式可以是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】首先根据定义域排除C、D选项,再由趋于正无穷时的符号,结合排除法即可得到答案. 【详解】对于B,,当趋于正无穷时,是一个负数,即为负数,排除B选项; 因为和的定义域都为不满足所给图象,排除C、D选项; 故选: A 考点3 对数函数图像过定点问题 16.(2024 上海 三模)已知函数恒过定点,则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】令,即可求解恒过定点,进而求解. 【详解】令,解得,此时, 所以恒过定点,则, 所以. 故选:C 17.(2024高三 北京 专题练习)函数的图象恒过定点,且点在幂函数的图象上,则 . 【答案】 【分析】根据对数函数的图象求出定点的坐标,代入求出的值,然后计算函数值即可. 【详解】因为函数的图象恒过定点, 令,解得,则, 所以点坐标为, 又点在幂函数的图象上,所以,解得, 所以, 所以, 故答案为: 18.(24-25高二上 山西 开学考试)函数的图像恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为( ) A.4 B. C. D.8 【答案】D 【分析】先求出对数函数的定点,再结合点在线上得出1,最后应用基本不等式常值代换计算求解. 【详解】因为当时,所以函数 的图像恒过定点,即,因为点在直线上, 所以即 因为 所以 当且仅当 即时取等号. 故选:D. 考点4 对数函数图像的应用-数形结合 19.(2024 上海嘉定 模拟预测)已知函数,若,且,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出的图象,数形结合可得,,故,然后利用对勾函数的单调性即可求出答案. 【详解】的图象如下: 因为且,所以且, 所以,所以,故, 由对勾函数在上单调递减,所以, 所以的取值范围是. 故答案为: 20.(23-24高一上 北京大兴 期末)已知函数,若,则 ;若,且,则的取值范围是 . 【答案】 或 【分析】根据对数运算求解方程;根据对数函数的图象,即可去绝对值,再结合基本不等式,即可求解的取值范围. 【详解】,得或; 由题意可知,, 由函数图象可知,,则, 即,则, , 所以的取值范围是. 故答案为:或; 21.(23-24高三上 安徽 阶段练习)已知函数,设是四个互不相同的实数,满足,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对数函数的图象变换作出时,函数的图象,再根据图象设,从而得到,且,,即可求解 【详解】当时,,作出函数图象,如图所示: 当时,, 设,且, 则由图象得:, 则由题意知,,且,, 所以,即, 则, 所以的取值范围是, 故答案为:. 题型四 对数函数单调性的应用 考点1 对数型复合函数的单调性 22.求下列函数的单调区间: (1). (2). 【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为;(2)单调递增区间为,单调递减区间为. 【分析】(1)首先求出函数的定义域,再利用对数函数复合函数的单调性即可求解. (2)令,,再利用对数函数复合函数的单调性即可求解. 【详解】(1)令,则在上单调递减. 由得或, 而在上单调递增,在上单调递减, ∴函数的单调增区间为,单调减区间为. (2)令,则它在上单调递减. 在上单调递增,在上单调递减. 由得,由得, 故所求函数的单调递增区间为,单调递减区间为. 【点睛】本题考查了对数函数复合函数的单调性,注意在函数的定义域内求单调区间,属于基础题. 23.(23-24高一上 浙江宁波 期中)“”是“函数在区间上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求函数在区间上单调递增的等价条件,在结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】二次函数图象的对称轴为, 若函数在区间上单调递增, 根据复合函数的单调性可得,即, 若,则,但是,不一定成立, 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选:A 24.(2024 湖南郴州 模拟预测)已知函数在R上单调递减,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分段函数单调递减,需满足每一段函数均单调递减,且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值,从而得到不等式,求出答案. 【详解】显然在上单调递减, 要想在R上单调递减, 则,解得. 故选:D 25.设函数,若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先画出的图像,求出的单调区间,再结合已知条件可得且,从而可求出实数的取值范围 【详解】解:函数的图像如图所示, 函数在以及上递增,在上递减, 故若函数在区间上单调递减, 需满足且, 即, 故选:A. 考点2 对数函数有关的函数值域及最值问题 26.(24-25高一上 全国 课前预习)求下列函数的值域: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据对函数的单调性即可求解, (2)根据对数的运算性质,结合对数函数的单调性以及二次函数的性质即可求解. 【详解】(1)的定义域为R. ∵,∴. ∴, ∴的值域为. (2)∵ , 又∵,∴, ∴当,即时,取得最小值; 当,即时,取得最大值2, ∴函数的值域是 27.(23-24高一上 广东茂名 期中)函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用换元的思想,将复合函数转换为二次函数,结合求指数函数及对数函数的值域,来求解复合函数的值域问题. 【详解】解:令, 则, 因为, 则,且的对称轴为, 可知, 所以的值域是. 故答案为:. 28.(2024 上海 模拟预测)函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质将函数化简为,再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为 , 当,即时,取到最小值,且. 故答案为: 29.(23-24高一上 安徽宣城 期末)已知实数x满足不等式,则函数最大值是 . 【答案】/ 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围,再根据二次函数的性质即可得解. 【详解】由,解得, , 当时,取得最大值. 故答案为:. 30.(23-24高一下 甘肃白银 期中)已知函数. (1)证明:的定义域与值域相同. (2)若,,,求m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析; (2). 【分析】(1)由具体函数的定义域可得,解不等式即可求出的定义域,再结合对数函数的单调性即可求出的值域. (2)设,则,分别求出,即可得出答案. 【详解】(1)证明:由,得, 所以的定义域为. , 因为在上单调递增. 所以,所以的值域为, 所以的定义域与值域相同. (2)解:由(1)知在上单调递增, 所以当时,. 设, 当,即时,取得最小值,且最小值为. 因为,,, 所以,即m的取值范围为. 考点3 对数值的比较大小 31.比较下列各组中两个值的大小: ①log31.9,log32; ②log23,log0.32; ③loga ,loga3.14(a>0,a≠1); ④log50.4,log60.4. 【答案】(1)log31.9<log32;(2)log23>log0.32;(3)答案见解析;(4)log50.4<log60.4. 【分析】(1)根据y=log3x在上严格递增即可求解; (2)判断与中间值0的大小关系即可求解; (3)对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论,然后根据函数y=logax的单调性即可求解; (4)在同一直角坐标系中,作出y=log5x,y=log6x的图像,再作出直线x=0.4,观察图像即可求解. 【详解】解:(1)因为y=log3x在上严格递增,所以log31.9<log32. (2)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32. (3)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上严格递增,所以loga >loga3.14; 当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上严格递减,所以loga <loga3.14. 综上,当a>1时,loga >loga3.14; 当0<a<1时,loga <loga3.14. (4)在同一直角坐标系中,作出y=log5x,y=log6x的图像,再作出直线x=0.4, 观察图像可得log50.4<log60.4. 32.(24-25高三上 河南 期中)已知,,,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据对数函数及指数函数的单调性得出参数范围比较即可. 【详解】因为,,,所以. 故选:D. 33.(辽宁省葫芦岛市2020届高三高考数学(文科)二模试题)函数f(x)=,a=70.5,b=log0.50.7,c=log0.75,则( ) A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(a)<f(c)<f(b) C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a) 【答案】D 【分析】首先判断的单调性,比较出的大小,利用函数的单调性即可求解. 【详解】由函数f(x)=, 当时,单调递增, 当时,单调递增, 又,所以函数f(x)=为增函数, 又,,即, ,即, 所以, 故选:D 【点睛】本题考查了对数函数的单调性比较大小、分段函数的单调性,利用单调性比较函数值的大小,属于基础题. 34.(24-25高三上 广西 阶段练习)函数的定义域为,满足:①,②任意,都有.设,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由题意可知:为奇函数且在上的增函数,结合函数性质分析判断. 【详解】由①可知:为奇函数;由②可知:是上的增函数; 且, 因为,则,所以. 故选:B. 考点4 解对数不等式 35.(24-25高一上 全国 课堂例题)解下列关于x的不等式: (1); (2)(且); (3)(且). 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】(1)根据对数函数的单调性即可求解, (2)根据对数函数的单调性,结合分类讨论即可求解, (3)根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】(1)由题意可得,解得. 所以原不等式的解集为. (2)当时,原不等式等价于,解得:. 当时,原不等式等价于,解得:. 综上所述,当时,原不等式的解集为; 当时,原不等式的解集为. (3)当时,,所以,无解; 当时,,所以. 综上,原不等式的解集为. 36.(2024高三 全国 专题练习)不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性解不等式即可求解. 【详解】解:由对数函数的性质可得:, 解得:, , 且为递减函数, , 解得:, 综上所述:不等式的解集为. 故答案为:. 37.(2024高三 全国 专题练习)已知,则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域,保证 有意义,再代入函数解不等式即可. 【详解】,,解得,所以的定义域为, 将代入, 得, 即, 即,则 ,解得, 所以不等式的解集为. 故答案为:. 38.(24-25高三上 山东泰安 阶段练习)设函数,则使成立的的范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域、奇偶性和单调性,应用函数的奇偶性和单调性解之即可 【详解】因为函数定义域是,,所以函数为偶函数. 当时,由复合函数的单调性可知单调递增. 由偶函数性质可知,函数在上单调递减. 所以等价于, 进而等价于,即, 所以,解之可得或 故选:B 题型五 对数型复合函数奇偶性的应用 39.(2021 全国 模拟预测)已知函数是奇函数,则 . 【答案】 【分析】根据函数为奇函数,求出当时的解析式,进而求出. 【详解】因为当时,, 所以. 因为是奇函数,所以,所以当x<0时,, 则,所以. 故答案为: 40.(22-23高一上 广东广州 阶段练习)已知函数,若,则 . 【答案】/ 【分析】构造函数,判断出是奇函数,则,由此可计算. 【详解】设,,则,, , 即为奇函数,所以,, 由得. 故答案为:. 41.(2024 全国 模拟预测)已知函数,则的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先判断函数奇偶性排除选项A,再根据函数值正负排除B,C, 即可得出答案. 【详解】因为的定义域为,,所以是偶函数,则其图象关于y轴对称,排除A; 当时,,,所以,当时,,,所以,故排除B,C. 故选:D. 42.(浙江省杭州第十四中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题)关于函数,下列说法中正确的有( ) A.的定义域为 B.为奇函数 C.在定义域上是减函数 D.对任意,,都有 【答案】BCD 【分析】由函数的奇偶性,单调性等性质对选项逐一判断 【详解】对于A,由得,故的定义域为,故A错误, 对于B,的定义域为,,则为奇函数,故B正确, 对于C,,由复合函数的单调性知在上是减函数,故C正确, 对于D,任意,,, ,,故D正确, 故选:BCD 43.(第四章指数函数与对数函数4.4对数函数)已知函数. (1)若为奇函数,求a的值; (2)在(1)的条件下,若在上的值域为,求m,n的值. 【答案】(1)(2), 【解析】(1)根据为奇函数,利用列方程,解方程求得的值. (2)求得的的定义域,判断出在定义域内为减函数,结合函数在上的值域为求得的值. 【详解】(1)为奇函数,,即,,解得(舍去). (2)由(1)知,则,即或 解得,即其定义域为. 时,为减函数,而在定义域内为增函数, 在其定义域内是减函数.又在上的值域为,,无意义,,.即,. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性、奇偶性,考查运算求解能力,属于基础题. 题型六 对数函数性质的综合应用 44.(24-25高三上 山西晋城 阶段练习)已知函数满足. (1)求的解析式; (2)若,求的值域; (3)讨论的定义域. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】(1)换元法求函数解析式即可; (2)换元后求出真数的取值范围,再利用对数函数的单调性求值域; (3)分类讨论m的取值范围,再得出函数的定义域. 【详解】(1)令,得, 则, 所以. (2)若,则, 令,当且仅当时,u取得最小值,且最小值为4. 因为为减函数,所以, 故的值域为. (3). 当时,,则的定义域为; 当时,,则的定义域为; 当时,由,得或, 则的定义域为. 综上,当时,的定义域为;当时,的定义域为. 45.(24-25高三上 辽宁大连 期中)已知函数为奇函数. (1)求实数a的值; (2)设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)首先可得函数的定义域,根据奇函数的性质得到,求出参数的值,再检验即可; (2)首先求出在上的值域,再利用换元法求出在上的值域,依题意,即可得到不等式组,解答即可. 【详解】(1)由题意可得,函数的定义域为R,因为是奇函数,所以,可得, 经检验,对于,成立,所以. (2)由(1)可得, 因为,所以,,, ,, 所以当时的值域, 又,, 设,,则, 当时,取最小值为,当时,取最大值为, 即在上的值域, 又对任意的,总存在,使得成立, 即,所以,解得,即实数m的取值范围是. 46.(23-24高一上 江苏南通 期中)已知函数,函数 (1)试判断函数的单调性,并证明你的结论; (2)若不等式对恒成立,求实数a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增,证明见解析 (2) 【分析】(1)利用函数的单调性的定义以及对数函数的性质进行证明; (2)遇到恒成立的问题,经常转化为求最值的问题,从而得出关于a的不等式组,求解即可. 【详解】(1) 在其定义域上单调递增. 证明如下:设任意,则有: , , ,,, ,, 在上单调递增,,即 . 函数在上单调递增. (2)由(1)知:当时,, 由不等式对恒成立, 得, 为单调递增函数, , , 解得 . 实数a的取值范围 47.(23-24高一上 浙江宁波 期中)设,已知函数的表达式为. (1)当时,求不等式的解集; (2)设,若存在,使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据函数的单调性转化为自变量的不等式,解得即可; (2)根据函数的单调性求出最值,根据不等式有解分离参数求取值范围. 【详解】(1)当时,,不等式, 即,所以,即,等价于, 解得或; 所以不等式的解集为; (2)因为,,所以当时,函数为减函数, 所以函数在区间上单调递减, 又函数在区间上最大值和最小值的差不超过1, 所以, 即,即 所以, 即存在使成立,只需即可, 考虑函数,,令, , 设,其中, 任取,且,则, 因为,所以,因为,所以, 所以,所以函数在上单调递减, 所以在单调递减,所以, ,所以, 所以的取值范围为. 48.(天津市耀华中学2023-2024学年高一上学期期末学情调研数学试卷)已知函数. (1)若在区间为单调增函数,求的取值范围; (2)设函数在区间上的最小值为,求的表达式; (3)设函数,若对任意,都存在使不等式成立,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据题意,结合二次函数的单调性的判定方法,列出不等式组,即可求解; (2)根据二次函数的性质,分,和,三种情况讨论,结合函数的单调性,即可求解; (3)根据题意,转化为,结合指数函数与对数函数的单调性和二次函数的性质,列出不等式,即可求解. 【详解】(1)解:由函数的图象开口向上,且对称轴为, 若函数在区间为单调增函数,则满足,解得, 所以实数的取值范围为. (2)解:当时,即时,在区间上单调递增, 此时; 当时,即时,在区间上单调递减,在上单调递增,此时; 当时,即时,在区间上单调递减, 此时, 综上可得. (3)解:由函数, 对任意,都存在使不等式成立,即, 因为函数在为单调递减函数, 所以, 当时,即时,, 令,解得,此时,解集为空集; 当时,即时,, 令,解得,此时,解集为, 综上可得,实数的取值范围为. 2 学科网(北京)股份有限公司 $$