26．3　实践与探索 第2课时　二次函数与一元二次方程和不等式的关系 课件 2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册

方程ax2＋bx＋c＝0 x<x1或x＞x2 x1<x<x2 x<x1或x＞x2 x1<x<x2 C －1，2或1 B D 4 1 C x<－2或x>4 x＜－1或x＞4 B C 0<m<4 -2 2 第2课时　二次函数与一元二次方程和不等式的关系 1．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个交点，则这两个交点的横坐标分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根． 2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2(x1<x2)，则当a>0时，使得y＝ax2＋bx＋c>0的x的取值范围是x<x1或x＞x2，使得y＝ax2＋bx＋c<0的x的取值范围是x1<x<x2；当a<0时，使得y＝ax2＋bx＋c>0的x的取值范围是x1<x<x2，使得y＝ax2＋bx＋c<0的x的取值范围是x<x1或x＞x2. 二次函数y＝－2 023x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程－2 023x2＋bx＋c＝0的一个解为x1＝5，则另一个解x2为(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 【思路分析】由图可知抛物线的对称轴为x＝1，根据抛物线的对称性可求出抛物线与x轴的另一交点的坐标，则可求出一元二次方程－2 023x2＋bx＋c＝0的另一个解． 【自主解答】 【易错原因】漏掉函数是一次函数的情况 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为　　. 【自主解答】 知识点1：二次函数与一元二次方程之间的关系 1．已知方程x2－3x＋2＝0的两根分别为x1＝1，x2＝2，则抛物线y＝x2－3x＋2与x轴的交点的坐标为 （ ） A．(1，0) B．(1，0)，(2，0) C．(2，0) D．(0，1)，(0，2) 2．二次函数y＝x2－2(m＋1)x＋4m的图象与x轴的关系是 （ ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．至少有一个交点 3．抛物线y＝x2－2x－3与x轴的两个交点间的距离是4. 4．(成都中考)在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝1. 知识点2：根据二次函数图象求方程的近似解 5．下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是 （ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04 A.6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 知识点3：二次函数与一元二次不等式之间的关系 6．已知二次函数y＝ax2＋bx－3的自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表： x … －2 －1 0 1 2 3 … y … 5 0 －3 －4 －3 0 … 则在实数范围内，能使得y－5>0成立的x的取值范围是x<－2或x>4. 7．如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n>ax2＋bx＋c的解集是x＜－1 x＞ . 8．(衡阳中考)已知m>n>0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1<x2)).关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3<x4)．则下列结论中正确的是 （ ） A．x3<x1<x2<x4 B．x1<x3<x4<x2 C．x1<x2<x3<x4 D．x3<x4<x1<x2 【解析】把x1，x2看做是直线y＝m与抛物线y＝x2＋2x－3交点的横坐标，把x3，x4看做是直线y＝n与抛物线y＝x2＋2x－3交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案． 9．(铜仁中考)已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴有两个交点A(－1，0)，B(3，0)，抛物线y＝a(x－h－m)2＋k与x轴的一个交点是(4，0)，则m的值是 （ ） A．5 B．－1 C．5或1 D．－5或－1 10．已知函数y＝|x2－4|的大致图象如图所示，如果方程|x2－4|＝m(m为实数)有4个不相等的实数根，则m的取值范围是0<m <4. 解：∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1， ∴－eq \f(b,－2)＝1，∴b＝2，y＝－x2＋2x＋c， 将x＝1代入y＝－x2＋2x＋c，得y＝1＋c＝4， ∴c＝3. 11．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，函数的最大值为4. (1)求b，c的值； 解：由(1)可得二次函数表达式为y＝－x2＋2x＋3， 令－x2＋2x＋3＝2x＋k，整理得x2＋k－3＝0， ∴x1＋x2＝m＋m＋2＝0， 解得m＝－1， 将x＝－1代入y＝－x2＋2x＋3＝0， 将x＝－1＋2＝1代入y＝－x2＋2x＋3＝4， ∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(1，4)． (2)直线y＝2x＋k与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A(m，y1)和B(m＋2，y2)两点，求A，B两点的坐标． 12．(河南中考)如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b相交于点A(2，0)和点B. (1)m＝－ ，b＝2 (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx>－x＋b的解集； (3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3 个单位得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围． 解：(2)点B的坐标为(－1，3)， 不等式x2＋mx>－x＋b的解集为x<－1或x>2. (3)当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， ∵MN的距离为3，而AB的水平距离为3， 故此时只有一个交点，即－1≤xM<2； 当点M在点B的左侧时， 线段MN与抛物线没有公共点； 当点M在点A的右侧时，当xM＝3时， 抛物线和MN交于抛物线的顶点(1，－1)， 即xM＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点． 综上所述，－1≤xM<2或xM＝3. $$