26．3　实践与探索 第1课时　二次函数的应用 课件 2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册

直角坐标系 坐标 函数 关系式 B 0.5 B 4 48 C y＝－0.25(x－5)2＋6.25 26．3　实践与探索 第1课时　二次函数的应用 二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型，求解与抛物线相关的实际问题的一般步骤：①建立恰当的 直角坐标系；②将已知条件转化为点的坐标；③合理地设出所求函数关系式；④代入已知条件或点的坐标，求出关系式；⑤利用关系式求解问题． 小明以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为(　　) A．14 B．11 C．6 D．3 【思路分析】首先由y＝2x2－4x＋8求出D点的坐标为(1，6)，然后根据AB＝4，可知B点的横坐标为x＝3，代入y＝2x2－4x＋8，得到y＝14，所以CD＝14－6＝8，又DE＝3，即可知杯子高度． 【自主解答】 【易错原因】错误理解题意 如图，小明的父亲在相距 2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________m. 【自主解答】 知识点1：二次函数与建筑物有关的问题 1．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，以水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y＝－eq \f(1,400)(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面上，AC⊥x轴．若OA＝10 m， 则桥面离水面的高度AC为 （ ） A．16eq \f(9,40) m B.eq \f(17,4) m C．16eq \f(7,40) m D.eq \f(15,4) m 2．(白银期末)中国贵州省省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500 m，最低点P到口径面AB的距离是100 m，若按如 . 图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是y＝ x2－100. y＝eq \f(1,625)x2－100 知识点2：二次函数与运动路线问题 3．(连云港中考)如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－0.2x2＋x＋2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05 m，则他距篮筐中心的水平距离OH是4 m. 4．小王同学在校运动会上投掷标枪，标枪运行的高度h(m)与水平距离x(m)的关系式为h＝－eq \f(1,48)x2＋eq \f(23,24)x＋2，则小王同学投掷标枪的成绩是48 m. 5．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 （ ） A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m 6．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－eq \f(3,5)x2＋3x＋1的一部分，如图． (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高BC＝3.4 m，在一次表演中， 人梯到起跳点A的水平距离是4 m， 问这次表演能否成功？请说明理由． 解：(1)y＝－eq \f(3,5)x2＋3x＋1 ＝－eq \f(3,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(19,4)， ∴－eq \f(3,5)<0，∴函数的最大值是 eq \f(19,4)，即演员弹跳离地面的最大高度是 eq \f(19,4) m. (2)当x＝4时，y＝－eq \f(3,5)×42＋3×4＋1＝3.4＝BC， ∴这次表演能成功． 7．(罗湖区模拟)【实践与探究】九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： (1)【实践】他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10 m，隧道顶部最高处距地面6.25 m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的表达式为y＝－0.25(x－5)2＋6. 25； (2)【应用】按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5 m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3 m，最高3.5 m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙)? 解：(2)当最宽3 m，最高3.5 m的两辆厢式货车居中并列行驶时，10－3×2＝4，4÷2＝2， 将x＝2代入表达式得 y＝－0.25(2－5)2＋6.25＝4， 4－3.5＝0.5(m)， ∴隧道能让最宽3 m，最高3.5 m的两辆厢式货车居中并列行驶． (3)【探究】该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下问题，请予解答：如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值． (3)假设AO＝x，可得AB＝10－2x， ∴AD＝－0.25(x－5)2＋6.25； ∴矩形ABCD的周长为 l＝2[－0.25(x－5)2＋6.25]＋2(10－2x) ＝－0.5x2＋x＋20， ∴当x＝－eq \f(b,2a)＝1时， l的最大值为－0.5＋1＋20＝20.5. $$