等差数列学案-2025届高三数学一轮复习

等差数列（一） 一、知识梳理 定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于　　　　　　　,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的　　　　,通常用字母d表示.定义表达式为　　　　　　　　　　　  等差 中项 若三个数a,A,b组成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有2A=　　　　  2.等差数列的有关公式 通项公式 an=a1+(n-1)d 前n项和公式 Sn==　　　　　　　　　　  3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+　　　　(m,n∈N*).  (2)若{an}是等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq. 特别地,当m+n=2p时,am+an=2ap. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为　　　　的等差数列.  (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是　　　　数列.  (5)S2n-1=(2n-1)an. (6)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列是　　　　数列. 　 4.　等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列， ②当d<0时，数列为递减数列， ③当d=0时，数列为常数列， 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5.等差数列的判定的方法与结论】 1．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. 2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论： (1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. (2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 6.求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值.　　　　　　　　 常用结论 1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(p,q∈R),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p. 2.若数列{an}的前n项和为Sn,则数列{an}为等差数列的充要条件是Sn=an2+bn(a,b∈R). 3.若等差数列{an}的项数为偶数2n,公差为d,则S偶-S奇=nd,. 4.若等差数列{an}的项数为奇数2n+1,公差为d,则S奇-S偶=an+1,S奇=(n+1)an+1,. 5.若数列{an},{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn,Tn,则. 6.在等差数列中，若，则有 二、题型总结 题型（一）基本量的计算 【例】记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5= (　　) A.25 B.22 C.20 D.15 【对点训练1】记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(　　) A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n 【对点训练2】记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=　　　　　.  【对点训练3】已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是　　　　　.  【对点训练4】等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=　　　　　. 题型（二）等差数列的判定 【例】在数列中，. (1) 若，求证：为等差数列； 【对点训练1】已知数列满足：，且，其中为的前项和． (1) 令，求证：为等差数列； 【对点训练2】记为数列的前项和，已知. (1) 证明：是等差数列； 【对点训练3】非零数列满足，且． (1) 设，证明：数列是等差数列； 题型（三）等差数列性质的应用 【例】已知数列是等差数列，，则（    ） A．4 B． C． D． 【对点训练1】在数列中，已知，且，则（    ） A．256 B．196 C．144 D．96 【对点训练2】已知等差数列满足，则（    ） A． B．5 C．5或－5 D．或 【对点训练3】已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．30 B．58 C．60 D．90 【对点训练4】设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63 【对点训练5】设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 【对点训练6】已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【对点训练7】记等差数列的前项和为，公差为，已知，则取最小值时，（    ） A．1 B．4 C．5 D．4或5 【对点训练8】等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 学科网（北京）股份有限公司 $$