函数的奇偶性讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第九讲：函数的奇偶性 一、偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 二、偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数. 三、函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 四、奇、偶函数的单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． 题型一：函数奇偶性的判断 例1.已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 课堂练习：1、下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 2.函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 3.下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 题型二：根据函数奇偶性求解析式 例1.已知函数为上的奇函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数满足不等式，求实数t的取值范围. 课堂练习：1.已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 2.已知是定义在上的奇函数，当时，．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.若函数为偶函数，则实数 ． 4.设函数是定义在上的奇函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）试判断函数的单调性，并用定义法证明. 5.已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)作出的图像； (3)若函数在区间上单调递增，结合图象求实数的取值范围. 题型三：奇偶性图像的应用 例1.已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作函数的图象，并写出它的单调区间和值域． 课堂练习： 1.已知函数是定义在R上的偶函数，如图所示，现已画出函数在y轴左侧的图象，    (1)请画出y轴右侧的图像，并写出函数的解析式和单调减区间； (2)若函数，求函数的最大值． 2.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 题型四：奇偶性、单调性的应用 例1.若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是 . 课堂练习：1.已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2.设偶函数 在区间 上单调递增， 则（       ） A． B． C． D． 3.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4.定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集 . 5.已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九讲：函数的奇偶性 一、偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 二、偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数. 三、函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 四、奇、偶函数的单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． 题型一：函数奇偶性的判断 例1.已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1)，. (2)函数在上为减函数；证明见解析 (3). 【详解】（1））函数是定义在上的奇函数，， 解得：， ∴，而，解得， ∴，. （2）函数在上为减函数；证明如下： 任意且， 则， 因为，所以，， 所以，即，所以函数在上为减函数. （3）由题意，不等式可化为， 所以，解得，所以该不等式的解集为. 课堂练习：1、下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】C 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是奇函数； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是偶函数； 对于C，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则且， 因此函数既不是奇函数，也不是偶函数. 所以选项中C的说法不正确， 故选：C. 2.函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】C 【分析】求出的定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数. 【详解】由函数的定义域可得， 则， 由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数. 故选：C. 3.下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 对于B，因为的定义域为，且，所以不是奇函数； 对于C，因为的定义域为，且，所以为奇函数； 对于D，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 故选：. 4.已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义与，求出参数即可； （2）由（1）得，再判断单调性，然后求解即可； （3）现将“若对任意的，对任意的，使得成立”转化为“当时，恒成立”然后分类讨论求解即可. 【详解】（1）由题意： 所以. 又. 所以：，. （2）由（1）可知：. 设， 则， 因为，所以，，， 所以. 所以函数在上单调递增. 又，，所以函数在上的值域为：. （3）问题转化为，当时，恒成立. 若，则在上为增函数，由. 若，则，此时在上恒成立. 若，则在上为减函数，由. 综上可知：.即实数的取值范围是：. 题型二：根据函数奇偶性求解析式 例1.已知函数为上的奇函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数满足不等式，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质结合题意可得当时，，设，则，利用奇偶性可得时的解析式，可得的解析式； （2）由（1）可得的单调性，根据函数的单调性、奇偶性结合列出不等式，即可求解. 【详解】（1）因为函数为上的奇函数， 且当时，， 所以， 又，解得， 所以当时，， 设，则， ， ， . （2）由（1）知， 可得在上是减函数， 又为奇函数，， ， 解得， 所以的取值范围是. 课堂练习：1.已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义，当时,,可求得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且当时， 设，则，, 故选：B． 2.已知是定义在上的奇函数，当时，．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数性质求解析式，画出函数大致图象，数形结合及已知单调区间求参数范围. 【详解】由题设，令，则，此时， 所以，且在处连续，图象如下， 函数在区间上单调递增，由图知：. 故选：C 3.若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【详解】因为， 该函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 可得对任意的恒成立，故，解得. 故答案为：. 4.设函数是定义在上的奇函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）试判断函数的单调性，并用定义法证明. 【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，解得的值，再根据，解得的值，从而求得的解析式． （2）设，化简可得，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果． 【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数， ∴由，得． 又∵ ， ∴ ，解之得； 所以函数的解析式为：； （2）设， 则 ∵，， ∴，即， 所以在上单调递增． 5.已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)作出的图像； (3)若函数在区间上单调递增，结合图象求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)图象见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）利用二次函数图象，结合奇函数作出函数的图象. （3）由的单调性，结合函数图象，列出不等式组求解即得. 【详解】（1）设，则，于是， 又为奇函数，即， 所以当时，. （2）当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 作出在上的图象，再作出所作图象关于原点对称的图形， 如图为函数的图象， （3）观察图象知，函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 则，于是，解得， 所以的取值范围是. 题型三：奇偶性图像的应用 例1.已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作函数的图象，并写出它的单调区间和值域． 【答案】(1)； (2) (3)图象见详解；单调递增区间为和，单调递减区间为和，值域为 【分析】（1）根据函数的解析式可直接求解，再根据奇函数的性质可求解； （2）根据奇函数的性质即可求解； （3）结合（2）可得图象，即可求解的单调区间和值域． 【详解】（1）当时，，则， 又因为函数为R上的奇函数，则； （2）因为函数为R上的奇函数，所以， 令，得，所以， 任取，则， 所以， 所以， 综上所述； （3）结合（2）可得图象如下， 由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为和， 值域为． 课堂练习： 1.已知函数是定义在R上的偶函数，如图所示，现已画出函数在y轴左侧的图象，    (1)请画出y轴右侧的图像，并写出函数的解析式和单调减区间； (2)若函数，求函数的最大值． 【答案】(1)图见解析，，单调递减区间为和 (2) 【分析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出的图象，写出单调递减区间，进而求得函数的解析式； （2）当时，得到，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出的图象， 当时，设函数， 由图象可得，解得，所以， 当时，则，因为函数为偶函数，所以， 所以函数的解析式为， 可得的单调递减区间为和，    （2）解：当时，， 可得其对称轴的方程为且开口向上， ①当时，即时，； ②当时，即时，， 综上可得， 2.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 【答案】(1)图象见解析，递增区间为， (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义直接画出图形，结合图形即可得出的增区间； （2）利用函数的奇偶性求解函数的解析式即可； （3）由题意可得，对称轴为，结合二次函数的图象与性质，分类讨论求出当、、时的即可. 【详解】（1） 函数是定义在上的偶函数， 即函数的图象关于轴对称，其递增区间为，； （2）根据题意，令，则，则， 又由函数是定义在上的偶函数， 则，则； （3）根据题意，，则， 则，其对称轴为， 当时，即时，在区间上为增函数，； 当时，即时，； 当时，即时，在区间上为减函数，， 则． 题型四：奇偶性、单调性的应用 例1.若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性以及奇偶性即可由自变量的大小进行求解. 【详解】由于在上是偶函数，所以， 因为，函数在上时增函数，所以 ，所以. 故答案为： 课堂练习：1.已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为定义在上的偶函数，且，可得， 且在上为减函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 2.设偶函数 在区间 上单调递增， 则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由单调性及偶函数对称性可得结果 【详解】偶函数在区间上单调递增，则，即. 故选：B 3.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论． 【详解】因为对任意的，有， 所以当时，，所以在上是减函数， 又是偶函数，所以，， 因为，所以，即． 故选：D． 4.定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集 . 【答案】 【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式 【详解】因为为定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以， 所以， 即， 故答案为： 5.已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得函数在定义域内单调递减，用奇偶性可将关系式变形为，根据单调性就可以求出. 【详解】对任意实数，有,所以函数在上单调递减， 又因为函数为定义在上的奇函数，且，则，所以得. 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 $$