26.2.2　二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与性质 第5课时　利用二次函数求最值 课件 2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

y＝a(x－h)2＋k k 取值范围 最值 C －4　5 A D －3 C D 5元 A C 15 cm2 第5课时　利用二次函数求最值 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值：利用配方法，将二次函数y＝ax2＋bx＋c配成y＝a(x－h)2＋k的形式，可以直接得到最值为k. 2．求实际问题中二次函数的最值：要根据自变量的取值范围和二次函数的最值来确定，不能简单地认为是该函数顶点的纵坐标． 用长8 m的铝合金条制成矩形窗框 (如图)．使窗户的透光面积最大(铝合金条的宽度忽略不计)，那么这个窗户的最大透光面积是 (　　) A.eq \f(64,25) m2　B.eq \f(4,3) m2　 C.eq \f(8,3) m2　D．4 m2 【思路分析】设窗的高度为x m，宽为eq \f(8－2x,3) m，则根据矩形面积公式列出二次函数并求出函数值的最大值即可． 【自主解答】 【名师支招】解决此题的关键是将实际问题转化为数学问题，利用矩形面积公式及二次函数最值公式求解． 【易错原因】不注意自变量的取值范围 函数y＝x2－2x－3(－1≤x≤4)的最小值是　　，最大值是　　. 【自主解答】 知识点1：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值 1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，顶点坐标为(3，－2)，那么该抛物线有 （ ） A．最小值－2 B．最大值－2 C．最小值3 D．最大值3 2．(大连中考)已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为 （ ） A．－2 B.－1 C.0 D.2 3．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－eq \f(1,4)，当x＝2时，y有最小值，则m的值是－3 . 知识点2：实际问题中的最值 4．出售某种文具盒，若每个可获利x元，一天可售出(6－x)个．当一天出售该种文具盒的总利润y最大时，x的值为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为 （ ） A．20 B．40 C．100 D．120 6．将进货单价为50元的商品按零售价80元一件出售时，每天能卖出20件，在一定范围内每降1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，则应降价5元 ． 7．如图，ABCD是一块边长为8 m的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为x m. (1)若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD 的面积相等，求此时BE的长； (2)当x为何值时改造后的矩形苗圃 AEFG的面积最大？并求出最大面积． (2)设改造后的矩形苗圃AEFG的面积为y m2， 根据题意可得 y＝(8－x)(8＋2x)＝－2x2＋8x＋64＝－2(x－2)2＋72， ∵－2＜0，∴当x＝2时，y取最大值，最大值为72. 答：当x为2 m时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最大为72 m2. 解：(1)根据题意得(8－x)(8＋2x)＝82， 解得x＝0(舍去)或x＝4， ∴此时BE的长为4 m. 8．(包头中考)已知实数a，b满足b－a＝1，则代数式a2＋2b－6a＋7的最小值为 （ ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的点．如果AM⊥MN，那么当四边形ABCN的面积最大时，BM的长为 （ ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s 的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为15 cm2. 11．某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少时，该超市每天销售 这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ (2)设每天销售这种商品所获的利润为w元，则 w＝(x－13)y ＝－20(x－19)2＋720， ∵－20＜0，∴当x＜19时，w随x的增大而增大， ∵13≤x≤18，∴当x＝18时，w有最大值为700， ∴售价定为18元/件时，每天利润最大为700元． 解：(1)y＝－20x＋500. 12．(湘潭中考)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1 m的水池且需保证总种植面积为32 m2，试分别确定CG，DG的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？ 解：(1)∵两块篱笆墙的长为12 m， 则AD＝GH＝BC＝(21－12)÷3＝3 m， 设CG为a m，DG为(12－a)m， 那么AD·DC－AE·AH＝32， 即12×3－1×(12－a)＝32，解得a＝8， ∴CG的长为8 m，DG的长为4 m. (2)设两块矩形总种植面积为y m2，BC长为x m， 那么AD＝HG＝BC＝x m，DC＝(21－3x)m， 由题意，得两块矩形总种植面积＝BC·DC， 即y＝x(21－3x)， ∴y＝－3x2＋21x＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(147,4)， ∵21－3x≤12，∴x≥3，∴当BC＝eq \f(7,2) m时，y最大＝eq \f(147,4) m2. 故BC应设计为 eq \f(7,2) m长，此时最大面积为 eq \f(147,4) m2. $$