26.2.3　求二次函数的表达式 课件 2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册

三 三 顶点 一 D D (1，4) y＝x2－2x y＝－2(x－3)2－1(或y＝－2x2＋12x－19) y＝－x2－4x＋5 D 6 26．2.3　求二次函数的表达式 1．一般式y＝ax2＋bx＋c：已知图象上任意三点坐标或三对x，y值．分别代入一般式，可以求得函数表达式． 2．顶点式y＝a(x－h)2＋k：已知抛物线顶点坐标和另一点坐标，可求得表达式． 3．交点式y＝a(x－x1)(x－x2)：x1，x2是图象与x轴两交点的横坐标，符合此特点的抛物线适合设为交点式． 二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝－1，则这个二次函数的表达式为(　　) A．y＝－x2＋2x＋3 B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝－x2＋2x－3 D．y＝－x2－2x＋3 【思路分析】由抛物线的对称轴为直线x＝－1，设表达式为y＝a(x＋1)2＋k.将(－3，0)，(0，3)代入求出a，k的值即可得． 【自主解答】 【名师支招】求二次函数的表达式，首先应清楚二次函数的几种表达式和它的图象及其性质，再根据已知条件灵活选取确定． 【易错原因】考虑问题不全面 已知二次函数的图象经过原点及点(－2，－1)，且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为1.则该二次函数的表达式为　　. 【自主解答】 y＝－eq \f(1,6)x2＋eq \f(1,6)x或y＝－eq \f(1,2)x2－eq \f(1,2)x 知识点1：利用一般式求二次函数的表达式 1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过(－1，2)，(0，1)，(2，－7)三点，则抛物线的表达式为 （ ） A．y＝x2＋2x＋1 B．y＝x2－2x＋1 C．y＝－x2＋2x＋1 D．y＝－x2－2x＋1 2．(河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上的两点，该抛物线的顶点坐标是(1，4)． 知识点2：利用顶点式求二次函数的表达式 3．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且经过原点(0，0)，则该二次函数的表达式为y＝x2－2x. 4．二次函数的图象经过点(4，－3)，当x＝3时，有最大值－1，则该二次函数的表达式为y＝－2(x－3)2－1(或y＝－2x2＋12x－19)． 解：设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋k. 把A(1，0)，B(0，－3)代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝a（1－2）2＋k，,－3＝a（0－2）2＋k，))　解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,k＝1.)) ∴这个二次函数的表达式为y＝－(x－2)2＋1，即 y＝－x2＋4x－3. 5．(太和县期末)已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，－3)，且对称轴是直线x＝2，求此抛物线的表达式． 知识点3：利用交点式求二次函数的表达式 6．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－5，0)和(－1，8)，且以直线x＝－2为对称轴，则它的表达式为y＝－x2－4x＋5. 解：设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－2)， 把(0，－2)代入得－2＝－2a，∴a＝1， ∴y＝(x＋1)(x－2)，即y＝x2－x－2. 7．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的表达式． 8．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝OB，则c的值为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则此函数表达式 为y＝ x2－ x＋2或y＝－ x2＋ x＋2. y＝eq \f(1,8)x2－eq \f(1,4)x＋2或y＝－eq \f(1,8)x2＋eq \f(3,4)x＋2 10．如图，已知直线y＝－2x＋m与抛物线相交于A，B两点，且点A(1，4)为抛物线的顶点，点B在x轴上． (1)m的值为6 ； (2)求抛物线的表达式． 解：(2)y＝a(x－1)2＋4. ∵x轴上的点B在直线 y＝－2x＋6上， ∴B(3，0)，∴0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1. ∴y＝－(x－1)2＋4，∴y＝－x2＋2x＋3. 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点B(1，0)，C(5，0)，点A，B，C在抛物线y＝ax2＋bx＋c上． (1)求点A的坐标； 解：作AD⊥BC于点D， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴BD＝CD，∴AD＝eq \f(1,2)BC， ∵抛物线的对称轴为直线 x＝eq \f(1＋5,2)＝3，BC＝5－1＝4， ∴AD＝eq \f(1,2)×4＝2，∴A(3，－2)． 解：设抛物线的表达式为y＝a(x－3)2－2， 将点B(1，0)代入，得0＝4a－2， ∴a＝eq \f(1,2)，∴y＝eq \f(1,2)(x－3)2－2， ∴该抛物线的表达式为y＝eq \f(1,2)x2－3x＋eq \f(5,2). (2)求该抛物线的表达式． 12．【概念理解】设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为(a，b)，(c，d)．若a＝－2c，b＝－2d，且开口方向相同，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”． 【问题解决】 (1)请写出二次函数y＝x2－x＋1的一个“反倍顶二次函数”； 【拓展运用】 (2)已知关于x的二次函数y1＝x2＋nx和二次函数y2＝2x2－nx＋1.若函数y1恰是y2 的“反倍顶二次函数”，求n的值． 解：(1)∵y＝x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)， 顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))，∴其“反倍顶二次函数”的顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))). 又∵开口方向相同， ∴二次函数y＝x2－x＋1的一个“反倍顶二次函数”可以是y＝(x＋1)2－eq \f(3,2). (2)∵y1＝x2＋nx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(n,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(n2,4)， y2＝2x2－nx＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(n,4))) eq \s\up12(2)－eq \f(n2－8,8)， 由题意，得－eq \f(n2,4)＝(－2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(n2－8,8)))， 解得n＝±2. $$