对勾函数的图像与性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一 数学学科 《探究函数的图象与性质》教学设计 教学背景分析 （1） 课标分析 函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，贯穿高中数学课程的主线，而幂函数作为初等函数中最基本的、应用最广泛的函数，是进一步学习数学的基础.本节通过研究两个幂函数的和作为新的函数模型，理解其中蕴含的运算规律，能帮助学生解决简单的实际问题，体会这些函数在实际问题中的作用. （2） 教材分析 本节取自人教A版普通高中数学教科书必修第一册第三章中的“探究与发现”. 本单元内容是学生进入高中阶段后的第一次数学探究活动的题材，在教材中只是直接呈现了紧密相连、逐层递进的7个探究问题，这为教学提供了广阔的创意空间.新版教材设置“探究与发现”栏目，是实现数学建模和数学探究活动的一个窗口，而选择“函数的图象和性质”这个素材又契合了函数的主题，函数是两个幂函数的 “函数和”， 它是一个典型的函数模型，并且有着广泛的应用.这部分内容上承函数的的图象、函数的性质、幂函数等，但不是简单的重复，能有效补充以前学生对相关内容认识的不足，为研究指数函数、对数函数和三角函数做好了铺垫. （三）学情分析 在初中阶段，学生已经了解函数是解决实际问题的重要模型，能够根据解析式进行描点作图.在高中，学生已经学习了函数的概念和性质，以及新的函数类型幂函数并且能利用函数单调性的定义来研究函数的单调性、最值，也具有研究函数奇偶性的能力，具备了进一步研究函数的图象与性质的能力. 在此基础上，学生初步形成了“图象视角”和“运算视角”分析数学问题的习惯. 教学目标 1. 通过类比幂函数的学习，经历对函数的“背景→概念→图象→性质→应用”的完整学习过程，进一步感受研究函数性质的基本过程与方法； 2. 能够理解函数的图象与性质，通过探究函数的图象与性质，拓展研究函数（，为常数）； 3. 通过对新函数的构造、分析、理解、总结，培养学生的探索精神，提高学生应用数学模型简单的值域问题的能力，感受其在实际生活中的应用. 教学重难点 教学重点：函数图象和性质以及性质的应用. 教学难点：画图、观察、比较、归纳得出的性质与单调性“分界点”的确定. 教学过程 学习任务 教师活动 学生活动 设计意图 创设情境引入新课 问题导入：不同的函数可以通过不同的运算进行构造，本节通过对幂函数的加减乘除等运算构造出新的函数函数类型，对所构造出的函数进行研究与讨论. 问题1 将正比例函数与反比例函数进行加、减、乘、除可以得到那些函数？ 加 除 乘 减 师生活动 学生思考后作答，得到各种结果，对于乘除得到的结果快速略过，引导学生将注意力放在加法和减法的函数类型，重点研究加法. 学生进行创造性思考与作答，得到各种创造性结果 结合学生最熟悉的幂函数出发，引导学生自助构建新函数模型，经历创造的过程，提高本节课的兴趣，通过对比几个新函数的综合程度，激发学生探究的欲望. 新课 探究一 探究函数 的图象与性质 问题2 回顾本单元所学的与函数相关的内容，对于函数，你认为可以从哪些方面研究这个函数？ 教师提示：类比幂函数的学习，具体可以从定义域，值域，单调性，奇偶性，最值，函数图象等方面对该新函数进行研究，明确研究目标. 追问 观察解析式的结构，你能获得哪些性质？完成表格内容 学生 回答定义域与是一个奇函数 师生活动 函数类型 （） 定义域 值域 奇偶性 单调性 问题2.1请写出函数的定义域； 问题2.2如何求函数的最值； 学生1 可以利用基本不等式进行证明 学生2 知道的单调性就可以根据单调性求值域 追问 肯定代数的做法并提出该方法的不足之处，如何知道的单调性？ 师生活动 猜想函数的单调性，但是没有图象，不能直观的猜出，数缺形时少直观，从而引导学生先去列表作出函数的草图. 问题2.3 你能试着画出在第一象限的图象吗？ … … … … 学生列表描点，在坐标纸上画图，教师课堂巡视帮助有困难的学生，再进行班级交流互动.教师将3张学生作出的图投影展示，最后师生一起进行总结，并结合图象猜想函数的性质，并给出证明，这个过程中，可以同时对函数性质和函数图象进行探究. 问题3根据表格和图象，引导学生发现规律，思考如何确定单调性的分界点，探索函数在区间与的单调性，分组进行证明. 师生活动 存在部分学生发现互为倒数的自变量对应的函数值相等，即，教师予以肯定；后续分组对在上的单调性进行分开证明，教师检查学生的证明过程，并验证上的单调性. 追问 现在知道了上的单调性，那在上的单调性怎么解决？ 学生 利用奇函数的性质，奇函数在对称区间上单调性相同 探究二 你能利用函数和函数的图象变化趋势说明函数的变化趋势吗？ 学生观察图象，合作交流，学生代表发言，得出以下结论： 在第一象限， 函数的图象在和图象的上方， 当时，，函数中，起主导作用，图象无限接近直线； 当时，，函数中，起主导作用，图象无限接近轴. 事实上，这里体现了直线和轴为什么是函数的渐近线. 适当的时候提下渐近线的概念：曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线. 图象形成 同时师生一起总结函数的图象与性质，提出画图象要抓住几个关键，尤其是先画渐近线，然后完成性质小结，教师点评并板书单调性、值域、渐近线等内容. 例题巩固 已知墙长MN=米，面积为32平米的矩形用地一面靠墙，其他三面用栅栏围成，设边长AB=米 (1)写出栅栏周长与边长的函数关系式，并指出函数的定义域 (2)请你设置为何值时，用料最省？ 课外探究 探究函数图象与性质 设置不同（）的值，作出函数（）的图象，并与函数的图象进行比较，尝试总结他们的共同特征. 函数类型 （） 定义域 值域 奇偶性 单调性 学生独立思考、作答，再全班交流.教师可以适时引导：具体可以从定义域，值域，单调性，奇偶性，最值，函数图象等方面对该新函数进行研究，明确研究目标. 先分小组合作探究，再由小组代表到讲台分享，分享后师生共同总结. 以函数为载体，进一步感受研究函数性质的基本研究过程与方法; 在问题2的基础上，追问学生先研究函数的哪些性质，在得到函数的定义域和奇函数两个性质后，试着去猜想函数的单调性，但是没有图象，不能直观的猜出，数缺形时少直观，从而引导学生先去作出函数的草图. 整体感知函数的变化趋势，基于极限的思想看问题. 可以提下渐近线的概念，并引导学生借助数的分析，说明形的变化，进一步体会数形结合的思想，同时培养学生分析问题和解决问题的能力，让学生在探究过程中体验成功的喜悦. 总结归纳 问题4 回顾本节课的学习过程，回答下列问题： （1）结合本节课的学习过程，你对函数图象和性质的研究内容和方法有什么体会？ （2）你有什么新的发现? 师生活动 先由学生独立思考、作答，再进行全班交流，引导学生提出新的问题，教师和学生互动，点评后进行总结. 在探究过程中，很好地借助了原来两个函数和解析式以及图象的特征. 要研究一个新的函数，通常转化到已经学过的函数上来，体现了把未知转化为已知的化归思想.回顾探究过程，先从解析式出发，研究了函数的定义域和奇偶性，再结合定义域和奇偶性去画函数的图象，在选取点时，经过分析，借助解析式特征去选点，可以方便、有效地画出函数的图象，还可以分析图象的变化趋势，在图象画出来后，我们借助函数的图象猜想出函数的单调性和值域，通过图象可以得到函数的其他性质，根据基本不等式或者单调性定义给出了严谨的证明.在这个过程中，充分体现了数形结合的思想方法，正如华罗庚说的，数缺形时少直观，形缺数时难入微. 从结构化，联系性等角度归纳总结本节探究课的学习内容，进一步认识研究一个新函数的研究内容、过程和方法，突出新函数和原来函数的内在关联，渗透化归思想，强调基于数和形两个角度探究函数的图象和性质. 板书设计 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$