贵州省黔南州罗甸县第一中学2024-2025学年高三上学期数学第六周周考卷

高三数学第六周周考卷 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则该函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 5．函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 7．函数是定义在R上的奇函数，满足，当时，有，则（    ） A．0 B．1 C． D． 8．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．在单调递增 B．有两个零点 C．的最小值为 D．在点处切线为 三、填空题 11．曲线在点处的切线方程为 . 12．已知函数，则函数的零点是 ． 13．中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．己知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了 （附：） 四、解答题 14．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 15．已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 16．已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D D C C D AC ACD 1．B 【分析】用列举法表示集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】若，则是4的正因数，而4的正因数有1，2，4， 所以， 因为， 所以. 故选：B. 2．D 【分析】求出的定义域，结合复合函数的单调性求解即可 【详解】由，解得或，所以函数的定义域为 可看作是由，复合而成的， 的单调递增区间为， 在上单调递增， 由复合函数的单调性的判定知， 函数的单调递减区间为 故选：D 3．A 【分析】根据向量共线满足的坐标关系，即可由充分不必要条件的定义求解. 【详解】由，， 若，则，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4．D 【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以，因为，所以. 因为，所以，所以. 故选：D 5．D 【分析】法一种利用函数的奇偶性可排除AB，再由时，，可排除C，得到D正确；法二中由奇函数和偶函数乘积后为奇函数可排除AB；再由时，，可排除C，得到D正确； 【详解】法一： 对于A、B：因为的定义域为， ， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A，B错误. 对于C、D：当时，，， 所以，所以，故C错误，D正确； 法二： 对于A、B：因为的定义域为， 函数为奇函数，函数为偶函数， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故A、B错误； 对于C、D：当时，，， 所以，所以，故C错误，D正确； 故选：D. 6．C 【分析】先利用导数判断函数在给定区间上的单调性，再根据题设条件，结合零点存在定理得到不等式组，求解即得. 【详解】由在区间上恒为正可得，函数在区间上为增函数， 依题意，函数在区间上存在零点，则由零点存在定理可得， 且，解得. 故选：C. 7．C 【分析】先结合已知及奇函数性质求得函数的周期为6，然后利用周期性代入对数函数求解即可. 【详解】由题意，函数是R上的奇函数，所以，所以， 又，所以， 所以，因此函数为周期函数，周期， 所以. 故选：C 8．D 【分析】根据题意，得到函数的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 则在上单调递减，且，， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： 或或， 解得或或，即或， 所以满足的的取值范围是. 故选：D. 9．AC 【分析】由不等式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A，由，得，所以，所以，则A正确； 对于B，当时，，则B错误； 对于C，由，得，所以，则C正确； 对于D，当时，，此时，则D错误. 故选：AC 10．ACD 【分析】首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可判断ABC，再根据导数的几何意义求切线方程，判断D. 【详解】，， 对于A，当时，，所以在单调递增，故A正确； ，得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，C正确， 当时，，当时，， 所以函数只有1个零点，故B错误， 对于D，，，所以曲线在点处的切线方程为，故D正确； 故选：ACD. 11． 【分析】先求出函数导函数，进而可求出曲线在点处的切线斜率，再由点斜式即可得解. 【详解】由题得， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 12．和 【分析】根据分段函数解析式，由求得正确答案. 【详解】依题意，或， 解得或（负根舍去）. 故答案为：和 13． 【分析】利用对数运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时C的比值即可求得结果. 【详解】根据题意可设技术提升前最大信息传送速率，信道带宽，信噪比； 提升后分别为，信道带宽，信噪比； 且满足，； 易知， 所以； 所以可得C大约增加了. 故答案为： 14．(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程； （2）求导，解不等式得到单调区间. 【详解】（1）∵，∴， 且，∴， ∴函数在点处的切线方程为，即． （2）∵的定义域为R， ∴由（1）得． 令，解得， ∴当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 15．(1)极小值为，极大值为 (2)答案见解析 【分析】（1）对求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解； （2），对分，和讨论单调性即可. 【详解】（1）. 所以或时，，时，， 则在上递减，在递增， 所以的极小值为，极大值为. （2）， 当时，，所以在上递增， 当时，或时，；时，， 所以在上递增，在上递减， 当时，或时，；时，， 所以在上递增；在上递减． 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得在区间上恒成立，构造函数，求得其最大值，即可得到结果； （2）根据题意要证等价于证明，构造函数，利用导数求出其最小值，从而可求解. 【详解】（1）由，则， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即， 构造函数，所以， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时取得极大值也是最大值，即，所以， 所以的取值范围为. （2）解法一：由题意得的定义域为， 当时，要证，即证：，等价于证明 构造函数，即证； 所以，令， 因为函数的对称轴为，所以在上单调递增， 且，，所以存在，使， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值， 又因为，得，所以， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以，即， 所以即证，所以可证. 解法二：若，， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$