专题24 导数与函数的单调性六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题24 导数与函数的单调性六种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、由函数的在区间上的单调性求参数………………………………………2 类型二、函数与导数图像之间的关系………………………………………………5 类型三、利用导数比较大小（含构造函数） 7 类型四、利用导数解不等式 9 类型五、抽象函数与导数 11 类型六、含参分类讨论函数的单调区间 13 压轴能力测评（10题） 15 1.导数判别函数的单调性： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2.已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 3.导数研究函数的单调性的解题步骤： （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.1、使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． 注意：确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开． 4.导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件： 若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 5.导数与函数单调区间的关系： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解． （2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解． 导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 6.含参分类讨论函数的单调区间： 导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间 若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论 类型一、由函数的在区间上的单调性求参数 例．（1）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数，求导得，由在上单调递减， 得，，即，令， 求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为: （2）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 令， 因为在上不单调， 在上有变号零点，即在上有变号零点， 当 时， ，不成立； 当 时，只需 ，即 ， 解得 或 ， 所以 在上不单调的充要条件是或 ， 所以在上不单调的一个充分不必要条件是， 故选：B （3）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】定义域为，而，由已知得函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解，化简得，令，由幂函数性质得在上单调递增，，则. 故答案为： (4)若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对任意的，，且，，易知， 则，所以， 即． 令，则函数在上单调递减． 因为，由，可得， 所以函数的单调递减区间为， 所以，故， 即实数的取值范围为． 故选：C． 【变式训练1】函数在上不单调，则实数的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】函数定义域为， 由题意，函数在上不单调， 所以在上有零点， 即方程在上有根， 即方程在上有根， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式训练2】若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 则原问题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解， 令，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 所以，则， 所以，即. 故答案为：. 类型二、函数与导数图像之间的关系 例．的图象如图所示，则的图象最有可能是（     ）    A．   B．   C．   D．     【答案】C 【解析】由导函数的图象可知，当或时，；当时，. 所以，函数的增区间为和，减区间为， 所以，函数的图象为C选项中的图象. 故选：C. 【变式训练1】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】解法一：因为在和上，在和上， 所以函数在，上单调递增，在，上单调递减， 观察各选项知，只有D符合题意. 解法二：由题图知，在的左侧大于、右侧小于， 所以函数在处取得极大值，观察各选项知，只有D符合题意 故选：D. 【变式训练2】如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得函数的单调增区间为，，单调减区间为， 所以时，，时，， 由，可得或，所以. 故选：D 类型三、利用导数比较大小（含构造函数） 例．(1)若，则的大小关系为 （用“<”号连接）． 【答案】 【详解】令函数，求导得， 即函数在上单调递增，，则，即， 令函数，求导得， 即函数在上单调递减，，则，即， 所以的大小关系为. 故答案为： (2)已知，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性判定选项即可. 【解析】令，则， 显然，即在上单调递增， 而，，即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即A错误； 易知，则，即C正确； 且，即B错误； 由于与大小不确定，则的大小不能确定，即大小不确定， 如其中有时，，故D错误. 故选：C 【变式训练1】若，，，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，则，，， 由，令得，令得， 则在上单调递增，在上单调递减． 因为，所以，所以； 因为，所以，所以； 令，且，则， 令，， 则， 所以在上单调递增， 又，所以，所以， 因为，且，所以，所以. 故选：B 【变式训练2】已知定义域为R的偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对所要比较的式子适当变形，构造函数证得，结合已知即可进一步求解. 【解析】因为定义域为R的偶函数在上单调递减，所以定义域为R的偶函数在上单调递增， 而， 令， 则在上恒成立， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 即， 而定义域为R的偶函数在上单调递增， 综上所述，. 故选：C. 类型四、利用导数解不等式 例．(1)已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断函数的单调性和奇偶性，从而由函数的单调性与奇偶性解不等式即可. 【解析】的定义域为R， ， 所以，在上，，则函数单调递减， 在上，，则函数单调递增. 因为，所以是偶函数. 由，可得， 于是，即， 化简得，解得，即. 故选：D. (2)设函数则满足的x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为，进而得解. 【详解】因为， 所以 ， 设，显然定义域为，， 又， 所以为上的奇函数， 又， 所以在上单调递增， 又，则， 所以，即， 所以，解得， 则满足的的取值范围是． 故选：C． 【变式训练1】已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 所以在上单调递增， 不等式，即，即， 所以，解得，所以不等式的解集是. 故选：C 【变式训练2】已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，有， 令，则，所以在区间上单调递增． 又，得，所以， 所以，解得． 故选：A 【变式训练3】若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为 【答案】 【解析】构造， 所以， 所以在上单调递增，且， 不等式可化为，即，所以， 所以原不等式的解集为 故答案为: 类型五、抽象函数与导数 例．定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造函数，根据导数确定函数的单调性，即可结合奇偶性求解. 【解析】由知是奇函数，， 设，则， 在上单调递增，由得， 即，，得的取值范围是. 故答案为： 【变式训练1】设函数则满足的x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为，进而得解. 【详解】因为， 所以 ， 设，显然定义域为，， 又， 所以为上的奇函数， 又， 所以在上单调递增， 又，则， 所以，即， 所以，解得， 则满足的的取值范围是． 故选：C． 【变式训练2】已知函数及其导函数的定义域均为，满足，，，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令，由及可得，，从而得关于对称，再令，则原不等式等价于，利用导数得在上单调递增，再由得关于对称，从而得在上单调递增且有，从而得答案. 【解析】解：令，因为， 所以，所以（为常数）， 又因为，所以，所以＝0， 即，则函数关于对称， 令，则原不等式等价于， 当时，因为， 则， 此时单调递增． 因为，所以函数关于对称， 则函数在时单调递增， 又因为，则，， 所以的解集为， 即原不等式的解集为． 故答案为：． 类型六、含参分类讨论函数的单调区间 例．(1)已知函数．讨论函数的单调性； 【解析】由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间. 当时，令解得， 令，解得；令，解得， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)已知函数．讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为， 则， ①当时，令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ②当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， ③当时，恒成立， 在上单调递增， ④当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增 【变式训练1】已知函数.讨论函数的单调性； 【解析】（1）函数的定义域是， 因， ①若，则在上单调递增； ②若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增 【变式训练2】已知函数，,求函数的单调区间. 【解析】函数，， 则， ①当时可知当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时， 可知当时，当或时， 所以在上单调递减，在，上单调递增； ③当，即时，恒成立， 所以在上单调递增； ④当，即时， 可知当时，当或时， 所以在上单调递减，在，上单调递增； 综上可得：当时的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为， 1．已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， ∵在，上为增函数；上为减函数, ∴两根分别位于和中， 得，即，解得. 故选：B 2．已知函数在上不单调，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，， 若函数在上单调，则或， 当时，恒成立， 当，转化为，或， 设，则或恒成立， 即或， ， 所以， 所以函数在上不单调，则. 故选：B 3．函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图象可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，即， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在定义域内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为. 故选：D. 4．已知，设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性，以及构造函数利用导数求解单调性即可. 【解析】当时，由得，所以为偶函数． 又， 当时，令，则， 所以在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减． ，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增，所以， 即，所以，得． 故，从而，即. 故选：C． 5．设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 设， 则，即为上的偶函数， 又当时，， 则，所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以， 即，所以，即，解得. 故选：B 6．（多选）已知函数下列结论中正确的是（     ） A．若，则是的极值点 B．，使得 C．若是的极小值点，则在区间上单调递减 D．函数的图象是中心对称图形 【答案】BD 【详解】A：因为，所以， 当时，，则在R上单调递增，不是极值点，故A错误； B：由选项A的分析知，函数的值域为，所以，使得，故B正确； C：由选项A的分析知，当时，在上单调单调递增，在上单调递减， 所以若为的极小值点时，在上先递增再递减，故C错误； D：， 而， 则， 所以点为的对称中心，即函数的图象是中心对称图形，故D正确. 故选：BD． 7．已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 . 【答案】 【解析】因为时，则， 又，则，即， 所以， 令，即，即， 又，则，解得， 令，即，即， 即，解得， 所以在单调递增， 又为奇函数， 当时，在单调递增， 所以的单调增区间为. 故答案为： 8．函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对于函数， ，令， 则，因为在区间上单调递减， 所以恒成立，即恒成立，又， 所以， 又在区间上单调递增， 所以恒成立， 所以，解得， 综合得. 故答案为： 9．已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1); (2)答案见解析 【分析】（1）对函数求导，结合题意有，，即可求解值； （2）对函数求导，分和两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性. 【解析】（1）因为，， 所以， 曲线在处的切线与垂直， 所以， 得； （2）由得， 当时，的定义域为， 令得， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，的定义域为， 令得 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 10．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【解析】（1）当时，， ，， 故曲线在点处的切线方程为. （2），其定义域为， 则． ①当，即时，令，得，令，得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. ②当，即时，由，得. （ⅰ）当，即时， 令，可得或；令，可得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. （ⅱ）当，即时，， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. （ⅲ）当，即时， 令，可得或；令，可得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24 导数与函数的单调性六种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、由函数的在区间上的单调性求参数………………………………………2 类型二、函数与导数图像之间的关系………………………………………………5 类型三、利用导数比较大小（含构造函数） 7 类型四、利用导数解不等式 9 类型五、抽象函数与导数 11 类型六、含参分类讨论函数的单调区间 13 压轴能力测评（10题） 15 1.导数判别函数的单调性： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2.已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 3.导数研究函数的单调性的解题步骤： （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.1、使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． 注意：确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开． 4.导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件： 若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 5.导数与函数单调区间的关系： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解． （2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解． 导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 6.含参分类讨论函数的单调区间： 导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间 若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论 类型一、由函数的在区间上的单调性求参数 例．（1）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ． （2）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． （3）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． (4)若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】函数在上不单调，则实数的取值范围为_____________ 【变式训练2】若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是 ． 类型二、函数与导数图像之间的关系 例．的图象如图所示，则的图象最有可能是（     ）    A．   B．   C．   D．     【变式训练1】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（　　）    A．   B．   C．   D．   【变式训练2】如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（     ）    A． B． C． D． 类型三、利用导数比较大小（含构造函数） 例．(1)若，则的大小关系为 （用“<”号连接）． (2)已知，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】若，，，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知定义域为R的偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 类型四、利用导数解不等式 例．(1)已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． (2)设函数则满足的x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为 类型五、抽象函数与导数 例．定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 【变式训练1】设函数则满足的x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知函数及其导函数的定义域均为，满足，，，当时，，则不等式的解集为 ． 类型六、含参分类讨论函数的单调区间 例．(1)已知函数．讨论函数的单调性； (2)已知函数．讨论的单调性； 【变式训练1】已知函数.讨论函数的单调性； 【变式训练2】已知函数，,求函数的单调区间. 1．已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．已知函数在上不单调，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 4．已知，设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．（多选）已知函数下列结论中正确的是（     ） A．若，则是的极值点 B．，使得 C．若是的极小值点，则在区间上单调递减 D．函数的图象是中心对称图形 7．已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 . 8．函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是 ． 9．已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性． 10．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$