广东省佛山市顺德区华侨中学2024-2025学年高三上学期数学周测二

高三数学周测二 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．复数，则（    ） A．1 B． C． D． 3．已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．的展开式中的系数为（ ） A．－50 B．－10 C．10 D．50 5．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．已知函数存在极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 10．已知在数列中，，，则下列结论正确的是（    ） A．是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递增数列 11．若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小值为8． B．的最小值为 C．的最大值为． D．的最小值为． 三、填空题 12．已知集合，集合，则以集合为定义域，集合为值域的函数的个数为 ．（用数字作答） 13．甲乙两名篮球运动爱好者进行三分球对抗赛，甲乙各投篮一次.已知甲投中的概率是0.8，乙投中的概率是0.75，甲乙两人每次是否投中互不影响.设事件为“两人至少投中一次”，事件为“甲投中”，则的值为 . 14．已知函数若，则的值域是 ；若函数的值域是，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 16．设数列满足，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式． 17．旅游承载着人们对美好生活的向往.随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代.某旅游景区为吸引旅客，提供了､两条路线方案.该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名的旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表： 路线 路线 合计 好 一般 好 一般 男 20 55 120 女 90 40 180 合计 50 75 300 (1)填补上面的统计表中的空缺数据，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对，两条路线的选择与性别有关？ (2)某人计划到该景区旅游，预先在网上了解两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考），若评价为“好”的计5分，评价为“一般”的计2分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条线路.请用计算说明理由. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，. 现有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，每加工一个零件耗时分钟，第，台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时分钟和分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望. 19．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)若函数的对称中心为，求函数的解析式． (2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. 124124132 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 高三数学周测2参考答案： 1．B 【详解】，， 所以.故选：B 2．D 【详解】，则.故选：D. 3．A 【详解】当时，且，所以成立， 当时，得或，即不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 4．A 【详解】展开式的通项为，则，，故展开式中的系数为.故选：A 5．B 【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为， 所以成等比数列，则， 即，解得或. 设等比数列公比为，则， ，则，得.故选：B 6．A 【详解】由已知得， 因为为递增数列，所以有，即恒成立， 所以，所以只需，即， 所以，故选：A. 7．C 【详解】由， 可得，，，， 所以， 所以， 所以前项和， 所以，故选：C. 8．A 【详解】函数的定义域为，且， 由于函数存在极值点，即在上有变号零点， 由，得， 令，则，则a的取值范围为在上的值域， 且需满足的，即； 对于，当时，， 故，即实数的取值范围是，故选：A 9．BD 【详解】由题意，， 因为，所以， 当时，，合题意， 当时，，，因为， 所以或，所以或，故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误.故选：BD. 10．CD 【详解】由可得，所以是以公差为1的等差数列，故CD正确， ，故不是等差数列，而且为单调递减数列，故AB错误，故选：CD 11．ABC 【详解】A选项，因为，且，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立，故A正确； B选项，因为 ， 当且仅当，即时取等号，故B项正确； C选项，， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确； D选项，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故D项错误．故选：ABC. 12． 【详解】分以下两种情况讨论： ①将集合中的元素分三组为{3,1,1}与集合B分别对应时，此时，满足条件的函数个数为； ②将集合中的元素分三组为{2,2,1}与集合B分别对应时，此时，满足条件的函数个数为. 由分类加法计数原理可知，满足条件的同函数的个数为.故答案为：. 13． 【详解】由题意， ，所以. 故答案为：. 14． 【详解】 当时，函数为， 画出函数图象，由图可知，当时，函数有最小值， 当或时，函数有最大值，则函数的值域为； 当函数的值域为，由函数图象可知，当且仅当时，函数值，可得， 又由得或，结合图象可得， 综上所述，，即的范围为.故答案为：；. 15．(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，……………………………………1分 ， 所求切线方程为，整理得：； ……………………………………5分 （2）， ……………………………………6分 因为，故时，在上单调递增，……………………………………8分 当时，对于， 若，则，此时在上单调递增，……………………………………10分 若，令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递增； 当时，单调递减；……………………………………12分 综上所述：时，在上单调递增； 时，在、上单调递增，在上单调递减. ……………………………………13分 16．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由，，得， 由，得， 所以，故数列是以为首项，3为公比的等比数列．…………………6分 （2）由（1）得，则， 则；；， ． 由累加法可得， 又，则， 同时满足上式， 所以．……………………………………15分 17．【详解】（1）补全统计表如下： 路线 路线 合计 好 一般 好 一般 男 10 20 55 35 120 女 90 30 20 40 180 合计 100 50 75 75 300 ……………………………………2分 零假设：对于、两条路线的选择与性别无关，……………………………………3分 将所给数据整理，得到如下列联表： 性别 路线 合计 男 30 90 120 女 120 60 180 合计 150 150 300 所以，……………………………………5分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为对、两条路线的选择与性别有关.……………………………………6分 （2）设为选择路线好评率，则， 设为选择路线好评率，则， 设路线和路线累计分数分别为，，则，的可能取值都为、、、， 则，， ，， 所以， ，， ，， 所以， 所以，所以选择路线.……………………………………15分 18．【详解】（1）设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”()， 则，且两两互斥. 根据题意， . 由全概率公式，得 .……………………………………8分 （2）由题意知，则 ， 同理得， 所以加工这个零件耗时的分布列为： 35 32 30 （分钟）.……………………………………17分 19．(1). (2). 【详解】（1）由为奇函数，则恒成立. 即， 整理得：恒成立，故，解得， 故.……………………………………5分 （2）①若，则，由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为；……………………………………10分 ②时，，由有， 同时除以得，令，，， 由题知是方程的三个根， 则， 展开得，， 则.……………………………………17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$