第一章 二次函数知识归纳与题型突破（8类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

第一章 二次函数知识归纳与题型突破（题型清单） 二次函数的概念 1、定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 注意： 二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0，而b、c为任意实数。 当b=c=0时，二次函数是最简单的二次函数。 二次函数是常数，自变量的取值为全体实数 （为整式） 2、三种函数解析式： （1）一般式： （a≠0）， 对称轴：直线x= 顶点坐标：( ) （2）顶点式：（a≠0）， 对称轴：直线x= 顶点坐标为（, ） （3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）, 对称轴:直线x= (其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标). 二次函数的图象 1、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线. 2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤. 注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到 3、二次函数的图像的画法 因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是： 先找出顶点坐标，画出对称轴； 找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； 把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来. 二次函数的性质 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 （轴） （0,0） （轴） (0, ) (,0) (,) () 注：常用性质： 1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a<0时，函数开口方向向下； 2、增减性： 当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大； 当a<0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少； 3、最大或最小值： 当a>0时，函数有最小值，并且当x= ， y最小 ＝ 当a<0时，函数有最大值，并且当x= ， y最大 ＝ 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标 ①的符号决定抛物线的开口方向 ②对称轴平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线. ③顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 抛物线中a、b、c的作用 a决定抛物线的开口方向和开口大小 的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a<0时，函数开口方向向下； 的大小决定抛物线的开口大小：当越大时，开口越小； 当越小时，开口越大； 相等，抛物线的开口大小、形状相同. a和b共同决定抛物线的对称轴位置。（x=） 左同右异：①如果对称轴在Y轴左侧，则a、b符号相同。 ②如果对称轴在Y轴右侧，则a、b符号相反。 注意：①时，对称轴为轴； ②（即、同号）时，对称轴在轴左侧； ③（即、异号）时，对称轴在轴右侧. c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。（于y=kx+b中的b作用相同） 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： 注意点： ①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴； ③,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 抛物线的平移 方法：左加右减，上加下减 抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式 ――――――――――――――→ 向上（k>0）向下（k<0）平移︱k︱个单位 ↓ 向上（k>0）向下（k<0）平移︱k︱个单位 ↓ ―――――――――――→ 二次函数是常数，的最大值和最小值的求法 二次函数是否有最值，由a的符号确定。 当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x= ， y最小 ＝ 当a<时，抛物线有最高点，函数有最大值，当x= ， y最大 ＝ 注：如果自变量x有取值范围，则另当别论。 用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：. 抛物线（与x轴的交点个数 与x轴交点，令y＝0，则有 即解一元二次方程 1 当△>0时，方程 有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个不同的交点。 ②当△＝0时，方程 有两个相等的实数根，即抛物线与x轴有一个交点。 ③当△< 0时，方程 无实数根，抛物线与x轴没有交点。 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 注：次公式的推导依据一元二次方程（韦达定理）的知识，需理解记忆！ 直线与抛物线的交点问题 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). 重要的结论 1、对于二次函数 而言 ①b=0时 对称轴为 x=0 ②c=0时 抛物线过原点 ③函数值y>0 恒成立 ｛｝ 0 0 a ④函数值y<0恒成立 0 0 a 2、的对称问题 1 关于x轴对称 2 关于y轴对称 3 关于原点轴对称 二次函数的应用 1、理论应用 2、实际应用 3、跨学科综合题 题型一　二次函数的概念 例题：（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，因式分解求一元二次方程的解，根据题意可得，，，因式分解求值即可． 【详解】解：已知是关于的二次函数， ∴，， 解得：，， ∴． 巩固训练 1．（24-25九年级上·天津·阶段练习）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数的定义，逐项判断可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、，当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（九年级上·浙江杭州·期中）在下列函数表达式中，属于二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．分别利用正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是反比例函数关系，故此选项不符合题意； B、是一次函数关系，故此选项不符合题意； C、是二次函数关系，故此选项符合题意； D、不是二次函数关系，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数中，是关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次． 【详解】解：A：，最高次项为一次，不符合题意； B：，当时，不是二次函数，不符合题意； C：，不满足二次函数的定义，不符合题意； D：，满足二次函数的定义，符合题意； 故选：D 4．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先把关系式整理成一般形式，再根据二次函数的定义判定即可解答． 本题考查了二次函数的定义，若两个变量x、y之间的关系可以表示成（a、b、c是常数，）的形式，则称y是x的二次函数．解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义． 【详解】解：①，是二次函数； ②，没有说，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； 故选：B． 5．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】本题考查二次函数定义．根据题意利用二次函数一般形式：形如“（，a、b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 6．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若是二次函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．根据二次函数的定义，得到，，求解即可． 【详解】解：是二次函数， ，， ，， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）关于的函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念：关于自变量的二次三项式，一般形式为，a、b、c是常数；根据概念得，，求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：； 故答案为：． 8．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如果是二次函数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的定义及一般表达式式，因式分解法求一元二次方程，不等式，根据二次函数一般式列式求解即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， ∴，且， 解一元二次方程得，， ∴， 故答案为： ． 题型二　二次函数的图象与性质 例题：（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数（）． (1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴． (2)已知点，，，都在该二次函数图象上， ①请判断与的大小关系：_________（用“>”“=”“<”填空）； ②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围． 【答案】(1)，． (2)①=    ② 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解决此题的关键． （1）根据对称轴公式和y轴上点的坐标特征即可求得； （2）①根据二次函数的性质和图象即可； ②根据二次函数的性质和图象，要把a分情况讨论，再根据y与x的关系得到答案即可． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴令时，，函数图象的对称轴为直线， ∴二次函数图象与y轴的交点为，函数图象的对称轴为直线； （2）解：①∵函数图象的对称轴为直线， ∴点和点关于对称轴对称， ∴． 故答案为：； ②由上可知， ∴只需要比较、、， 分两种情况： 当时， ∵距离对称轴越远就越大， ∴， 而， ∴此种情况舍去； 当时， ∵距离对称轴越远越小， ∴， 则必有， 得出不等式， 解得：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期中）若抛物线顶点坐标在第一象限，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，求出顶点坐标，再根据顶点坐标在第一象限列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标在第一象限， ∴， 解得， 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知二次函数．下列结论正确的是（    ） A．其图像的开口向下 B．图像的对称轴为直线 C．函数有最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．利用二次函数的性质对用顶点式表示的二次函数进行分析后即可得到答案． 【详解】解：中， ， 图像开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 函数有最小值为，故C正确； 当时，随的增大而增大，故D错误； 故选C． 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）点，在抛物线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据题意可得：抛物线的对称轴为直线，由，可得点，关于对称轴对称，即可求解． 【详解】解：抛物线为， 抛物线的对称轴为直线， ，点，在抛物线上， 点，关于对称轴对称， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）二次函数的对称轴为直线，且经过点，且有最大值．下列结论： ①开口向下； ②； ③关于x的方程的另一个根是； ④点和点在抛物线上时，；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据二次函数有最大值，可判断开口向下，故①正确；根据二次函数的对称轴公式可求得，即可判断②；根据二次函数的对称性结合其对称轴可求出该二次函数还经过点，即可判断③；由两点坐标可判断其关于直线对称，结合二次函数的对称性即可得出，可判断④． 【详解】解：∵该二次函数有最大值， ∴开口向下，故①正确； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线，且经过点， ∴该二次函数还经过点， ∴关于x的方程的另一个根是，故③正确； ∵， ∴点和点关于直线对称， ∴，故④正确． 综上可知，正确的个数有3个． 故选C． 5．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）已知抛物线下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 故A、B、D均不正确，C正确． 故选：C． 6．（24-25九年级上·重庆·期中）二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 故选：A． 7．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为轴 ∵关于对称轴轴对称点为， ∴是抛物线上点， 又∵， 当时，随的增大而减小， ，点，，是抛物线上的三点， ， 故选：D． 8．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口方向向下 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．经过点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可 ． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，故A选项正确不符合题意； 对称轴为直线，故C选项正确不符合题意； 当时，随的增大而增大，故B选项错误符合题意； 令，得， 抛物线经过点，故D选项正确不符合题意． 故选：B． 9．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）关于二次函数的说法，下列正确的是（ ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．函数有最大值为2 C．函数图象对称轴为 D．函数图象开口向上 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 当时，， ∴图象与y轴的交点坐标为； 综上，正确的只有选项C； 故选C． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列关于二次函数的说法，正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象向右平移3个单位则变为 C．当时，有最大值 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数的图象平移，掌握二次函数的图象性质和二次函数的图象平移规律是解题的关键． 根据二次函数的性质和平移的规律对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：由二次函数可知： A、对称轴为直线，故此选项不符合题意； B、把二次函数的图象向右平移3个单位得到函数为，即，故此选项不符合题意； C、∵，开口向上，对称轴为直线，∴当时有最小值是；故此选项不符合题意； D、∵，开口向上，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，故此选项符合题意； 故选：D． 11．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列关于抛物线 的结论，正确的是（    ） A．开口方向向上 B．对称轴为直线 C．当时， 函数有最小值为 D．当时， y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，直接根据抛物线的图象和性质判断即可． 【详解】解：抛物线中， A.∵，∴开口方向向下，故选项A错误； B. 对称轴为直线，故选项B错误； C. 当时，函数有最大值为，故选项C错误； D. 当时， y随x的增大而减小，选项D正确， 故选：D． 12．（24-25九年级上·全国·期中）当时，二次函数的最大值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数有最大值为：； 故答案为：6． 13．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如果抛物线的对称轴是直线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据对称轴公式，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得：， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·河南·期中）二次函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数的顶点坐标，熟练掌握把二次函数的一般式整理成顶点式是解题关键．直接把二次函数的解析式整理为顶点式即可解答． 【详解】解：， 顶点坐标为， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）抛物线的对称轴为直线，且经过点，，则试比较与的大小： （填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由题意可得抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且经过点，， ∴点离直线较近，点离直线较远， ∵抛物线开口向上， ∴． 故答案为： 16．（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）若点， ， 均在二次函数 的图象上，则，，的大小关系是 ． （用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，根据题意确定对称轴直线和开口方向，结合即可判断； 【详解】解：由题意得：二次函数 的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∵，， ∴， 故答案为： 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线（b，c为常数）的顶点横坐标是抛物线顶点横坐标的2倍． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①求t（请用含的代数式表示）； ②若且，求t的最大值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）求出抛物线顶点横坐标为2，根据的顶点横坐标为，且为抛物线顶点横坐标的2倍，即可求出答案； （2）①把点的坐标分别代入得到，，即可得到； ②把代入得到，求出，根据二次函数的性质即可得到t的最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线顶点横坐标为2， ∵的顶点横坐标为，且为抛物线顶点横坐标的2倍， ∴， 解得； （2）①∵点在抛物线上，点在抛物线上．， ∴，， ∴； ②∵， ∴ ∵， ∴， 解得， ∵当时，随着m的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为 题型三　二次函数图象与各项系数符号 例题：（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，抛物线（，，为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口方向以及与轴的交点可知， ，根据对称轴为直线得出，即可判断①；由对称轴为直线得出，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由时，，得出，由得出即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线（，，为常数）关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 故②正确； ∵时，，对称轴为直线， ∴时，， ∴， 故③错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，即， 故④错误； ∵时，， ∴， ∵， ∴． 故⑤正确． 故答案为：①②⑤． 巩固训练 1．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的有（    ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵函数图象与轴的交点在轴的负半轴可知， ∴， 故①正确； 函数图象开口向上， ， ∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴故， 故②正确； 把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即， 故③正确； ∵， ∴， 故④错误； ∵， ∴， 故⑤正确； 其中正确信息的有①②③⑤． 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数（、、b、c为常数，且）系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图象得：， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①错误； ∵当时，，当时，， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，当时，， ∴当时，，故③错误； ∵当时，，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时， 当时，， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 观察图象得：当时，y随x的增大而减小，故⑥错误； 综上所述：正确的结论有②④⑤；共3个； 故选：A 3．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴交点个数判断即可． 【详解】解：①由图可知，图象开口向上，得；当时，；进而推断出，那么①错误，不符合题意． ②由图可知，二次函数与轴有两个交点，故，那么②正确，符合题意． ③由图可知，当时，，那么③错误，不符合题意． ④由图可知，对称轴，结合得，那么④正确，符合题意． 综上：正确的有②④，共2个． 故选：C． 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题．根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，可有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为， ∴， 又∵当时，可有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴， 而本结论中没有说明，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故选：C． 5．（九年级上·浙江杭州·期中）函数与的图象如图所示，有以下结论：；；当时，；当时，．其中正确的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与系数的关系，根据所给函数图象，利用数形结合的思想即可解决问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给函数图象可知， ∵抛物线与轴没有公共点， ∴， 即，故错误； ∵点在抛物线上， ∴，即，故正确； 根据函数图象可知，当或时，二次函数的图象在正比例函数图象的上方， 即，故错误； 当时， 即有时，函数有最大值，时，函数有最小值， 显然此时的函数值比小，故错误， 综上可知：正确的为，有个， 故选：． 6．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，已知顶点为的抛物线过，下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③：④若，则；⑤，其中结论正确的为 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴结论正确的为①③⑤， 故答案为：①③⑤． 7．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论①；②；③；④若，则．其中正确的是： ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等；①由图象得，，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断；能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ， ， ， ， 故①不正确； ②对称轴为直线， 图象与x轴交于点， 图象与x轴交于另一点， ， ， ， ， ， ， 故②正确； ③， ，对称轴为直线， 当时， ， ， ， 故③正确； ④由②得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 故答案：②③④． 题型四　一次函数、反比例函数、二次函数图象综合 例题：（24-25九年级上·全国·单元测试）已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象确定出a、b、c的符号，再判断反比例函数与一次函数所在的位置即可． 【详解】解：根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，由与y轴交点在正半轴可得， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数经过第一、二、三象限， 符合条件的只有A选项， 故选：A． 巩固训练 1．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质．熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数图象的对称轴，一次函数与轴、轴的交点，二次函数与轴的交点对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，，即二次函数图象与轴的交点为， ∴A、C中抛物线的对称轴在轴右侧，故不符合要求； ∵， ∴当时，，即一次函数与轴的交点为，当时，，即一次函数图象与轴的交点为， ∴B中抛物线、直线与轴的交点不在同一点，故不符合要求； 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象及性质，掌握系数对函数图象的影响是解题的关键． 根据函数图象分别确定系数的正负，同一字母在同一图象中取值不能相异，据此判定即可． 【详解】解：A． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； B． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，一致，符合题意； C． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； D． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）学习的函数图象及性质后，小星在同一平面直角坐标系中作出和的函数图象，其中正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的性质．根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：由的图象知，当时，函数的图象经过第一、二、三象限，故A、B选项不符合题意； 由的图象知，当时，函数的图象经过第二、三、四象限，故C选项符合题意，D选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项排除即可，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、∵一次函数的图象过一、二、三象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、三、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 故选：． 5．（2023·山西太原·三模）在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，称轴为，则对称轴应在轴左侧与图象不符，故B选项错误； C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 6．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，已知一次函数、二次函数解析式，可根据图象的基本性质，直接判断． 【详解】解：因为一次函数的图象应该经过原点，故可排除A、B； 因为二次函数的图象的顶点坐标应该为(0,2)，故可排除D； 故选C． 7．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二次函数图象综合问题，掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键．根据一次函数与二次函数的图象与性质进行逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，，则，而二次函数图象的对称轴是轴，即，故此选项错误，不符合题意； B、由一次函数图象知，，而二次函数图象的开口向下，即，故此选项错误，不符合题意； C、由一次函数图象知，，则，二次函数图象的对称轴位于轴右侧即，且开口向下即，此选项正确，符合题意； D、二次函数图象必须过原点，而D选项二次函数不过原点，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】A.由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项错误； B. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； C. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项正确； D. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； 故选：C． 9．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与反比例函数图象的性质，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键； 分和讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可． 【详解】当时，时，二次函数，图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故A选项正确，B选项不正确； 当时，时，二次函数图象开口向上，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故C选项不正确， 当时，时，二次函数图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第二，四象限且上升趋势，故D选项不正确， 故选：A． 10．（2024·全国·二模）如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，掌握一次函数、二次函数以及反比例函数的图象和性质是解题关键．由抛物线图象可知，，，进而判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在正半轴， ，，， 函数的图象经过第一、三、四象限，函数在第一、三象限， 故选：B． 11．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）二次函数的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数反比例函数和二次函数的图象分布，熟练掌握各函数系数的性质是关键．根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在轴右侧，，图象与轴交于正半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可． 【详解】根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在轴右侧，，图象与轴交于正半轴，， 一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合， 故选：B． 12．（2023九年级·山东泰安·学业考试）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，再利用代入解析式，得到进而可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由题图可知，二次函数的图象开口向上， ∴， 又∵对称轴在y轴的右侧． ∴． ∴． 又∵抛物线与y轴正半轴交于一点， ∴， 且当时， 即 ∵一次函数，反比例函数 ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．反比例函数的图象在第一、三象限． 综上所述，符合条件的图象是B选项 故选：B. 题型五　二次函数图象的平移 例题：（24-25九年级上·北京东城·期中）把抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得 ． 故答案为：． 巩固训练 1．（九年级上·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，如果把抛物线向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向上平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．先化成顶点式，再根据图象平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案． 【详解】解：化为顶点式为， ∵将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位， ∴，即． 故选：D． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）把抛物线向左平移2个单位、向下平移1个单位后得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．根据二次函数的平移“左加右减，上加下减”可进行求解 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为，可得新抛物线的解析式为． 故选：B． 4．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 【详解】解：抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为， 故选：B． 5．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题．先整理成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：， 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线解析式为， 故选：C． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）将二次函数的图象，先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的变化确定函数解析式的变化求解更简便．先求出二次函数顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后二次函数顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：二次函数顶点坐标为， 图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后， 平移后顶点坐标为， 所得图象的函数表达式是． 故选：C． 7．（24-25九年级上·全国·期中）将函数的图象向左平移5个单位长度后，得到的函数解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将函数的图象向左平移5个单位长度后，得到的函数解析式为， 故选：C． 8．（24-25九年级上·河南·期中）若坐标平面上二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合，则a、b、c的值可能为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，根据二次函数平移过程中，开口方向，开口大小不变，即a的值不变，得出，进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合， ∴． 故选：C． 9．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式即可得到答案． 【详解】解：， ∴将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 题型六　不共线三点确定二次函数的表达式 例题：（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求当时，直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3)当时，的取值范围 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象的性质及二次函数与不等式，关键是利用二次函数的性质解题． （1）设抛物线解析式为，把点，代入计算即可求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，即可作答； （2）结合二次函数的性质，以及，即可作答． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点，， ∴把点，代入，得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：由（2）知，图象开口向上， ∴对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大； ∴当时，， 当时，则 当时，则 ∴当时，的取值范围． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河南周口·期中）形状、开口方向与抛物线相同，且顶点为的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出值是关键． 根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 又∵二次函数的图象形状与开口方向和抛物线相同， ， 则， 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线与的形状相同，开口方向相反，且经过点，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数一般式中a对抛物线的决定作用是解题的关键． 由两条抛物线的形状相同且开口方向相反，可得出两个二次函数表达式中二次项的系数互为相反数，再由抛物线经过点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反， ∴． 又∵该抛物线经过点， ∴，解得：． ∴该抛物线的函数解析式为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，直线与抛物线在同一坐标系内．已知点，点．求直线与抛物线的函数解析式． 【答案】， 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．将点代入求出二次函数的解析式，再求出点得坐标，即可求出一次函数解析式． 【详解】解：将点代入中，得， 即； 将代入，得， 将点，点代入中，得， 即． 4．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上？ 【答案】(1) (2)点不在此抛物线上 【分析】本题考查求二次函数的解析式，抛物线上的点的特征，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】（1）解：把和代入解析式，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴点不在抛物线上． 5．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）已知二次函数 ． (1)若二次函数过点，求二次函数的表达式； (2)若点和点在该二次函数图象上，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）直接用待定系数法将点代入求出即可． （2）先求出抛物线的对称轴为，再根据点和点关于对称轴对称，得，求出即可． 【详解】（1）， 且二次函数过点， 将代入得， 整理得， 解得， ． （2）， 其中对称轴为， 点和点在该二次函数图象上， 点和点关于对称轴对称， ， 即， ． 6．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）已知二次函数的图象以为顶点，且过点 (1)求该函数图象抛物线的解析式； (2)将函数图象向右平移几个单位，该函数图象恰好经过原点． 【答案】(1) (2)向右平移3个单位，该函数图象恰好经过原点， 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）先算出抛物线与轴的交点坐标为，，则把点向右平移3个单位到原点，所以把抛物线解析式向右平移3个单位，该函数图象恰好经过原点； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象以为顶点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵ ∴当时，， ∴， 解得，， 则抛物线与轴的交点坐标为，； ∴把抛物线解析式向右平移3个单位，该函数图象恰好经过原点， 7．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求函数解析式． (2)当y随x的增大而减小时，写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． （1）根据顶点坐标可设顶点式，再把代入求解即可； （2）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得：， 函数解析式为； （2）解：，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 自变量的取值范围为． 8．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线的图象经过点和点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． （1）把点和点分别代入，求出b、c的值即可求解； （2）根据二次函数的性质，先求出该函数的最小值，再求出当时和当时y的值，即可得出y的取值范围． 【详解】（1）解：把点和点分别代入，得 ，解得：， ∴二次函数的解析式为：． （2）解：∵， 又， ∴抛物线的开口上，当时，y有最大值为， 又∵当时，， 当时，， ∴当时，函数值y的取值范围为． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线经过，，三点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法． （1）把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． （2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：将，，代入抛物线中得： ， 解方程组得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵ ， ∴顶点坐标为． 题型七　二次函数与一元二次方程的联系 例题1：（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，利用图象回答： (1)方程的解是______． (2)方程的解是______． (3)方程的解是______． (4)方程的解的情况怎样？ 【答案】(1) (2) (3) (4)无解 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数与直线交点的横坐标是一元二次方程的解，是解决问题的关键． （1）看二次函数与x轴交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案； （2）看二次函数与直线交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案； （3）看二次函数与直线交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案； （4）看二次函数与直线交点的情况，然后结合图象即可求出答案． 【详解】（1）由图象知，二次函数的图象交x轴于，两点， ∴方程的解为； 故答案为：； （2）由图象知，直线与二次函数的图象交于，两点， ∴方程的解为； 故答案为：； （3）由图象知，直线与二次函数的图象交于顶点， ∴方程的解为； 故答案为：； （4）由图象知，直线与二次函数的图象无交点， ∴方程无解． 例题2：（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求二次函数的解析式； (2)写出不等式的解集； (3)写出随的增大而减小时自变量的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图象在x轴上方的部分对应的x范围，即可作答； （3）根据二次函数的增减性，即可作答； （4）根据二次函数的顶点坐标，结合直线与二次函数有两个交点，即可作答． 【详解】（1）解∶∵二次函数图象的顶点为， ∴设函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵或时，二次函数的值大于0， ∴不等式的解集为或； （3）解：由函数图象可知，当时，y随x的增大而减小， 即y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围为； （4）解：由函数图象可知，二次函数图象开口向下，顶点坐标为， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴直线与二次函数有两个交点， ∴k的取值范围为， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期中）若二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是（　） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与轴的交点问题，根据抛物线与x轴有交点，得到，结合二次函数的二次项系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选C． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是, 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由二次函数的图象的对称性得抛物线与轴的一个交点为，由轴的上方的图象对应的函数值大于，即可求解；会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：由图像得，对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点为， 抛物线与轴的一个交点为， 轴的上方的图象对应的函数值大于， 当时，； 不等式的解集为， 故答案：． 4．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点． (1)该二次函数的对称轴为 (2)方程的解为 ； (3)不等式的解集为 ； (4)描述当时该二次函数的增减性： ． 【答案】(1)直线 (2)， (3)或 (4)当时y随x增大而减小，当时y随x的增大而增大 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系、抛物线与轴交点的问题，熟练掌握决定抛物线与轴的交点个数；与轴交点的横坐标就是方程的两个根；明确二次函数图象的性质，本题利用数形结合的思想比较简便，是中考常考题型． （1）根据抛物线与轴两交点的横坐标即可求出该二次函数的对称轴； （2）方程的两个根，就是抛物线与轴两交点的横坐标，据此求解即可； （3）在图象中找时，所以对应的的取值； （3）由图象得：当时，或，且图象开口向上，再求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点， 该二次函数的对称轴为直线， 故答案为：直线； （2）解：抛物线与x轴交于点， 方程的解为：，， 故答案为：，； （3）不等式，即； 由图象得：当时，或， 不等式的解集为：或， 故答案为：或； （4）由图象得：当时，或，且图象开口向上， 当时y随x增大而减小，当时y随x的增大而增大， 故答案为：当时y随x增大而减小，当时y随x的增大而增大． 5．（北京市昌平一中教育集团2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷）已知：二次函数． (1)若图象经过原点，求二次函数的表达式； (2)求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式、利用二次函数与一元二次方程的关系判断抛物线与x轴的交点个数．注意二次函数与一元二次方程虽有联系但并不相同，要先将函数转化为方程再使用判别式 解决问题． （1）由抛物线经过原点，即可将原点坐标代入二次函数表达式求出参数m的值，再把m的值代入二次函数表达式，化简即可． （2）解决“无论为任何实数”的问题，考虑将函数问题转化为方程，即令，此时一元二次方程的根即为抛物线与轴交点的横坐标，故而通过判别式的值的正负性与无关，可得方程根的情况与无关，再转化为所对应的函数问题，即可得证． 【详解】（1）解：抛物线经过原点 ． 把代入， 得：， 解得， 二次函数的表达式为． （2）证明：令，则． ． ． ． 方程有两个不相等的实数根． 无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 6．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线与直线相交于点和点B．    (1)________，_________； (2)①求点B的坐标； ②结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，4 (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点；函数与方程；函数与不等式等方面的知识点，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）①直线和抛物线的解析式联立即可求出点B的坐标； ②根据图像可知直线在抛物线上方的部分是，因此得到不等式的解集． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线经过点， ∴将代入，得：， 解得：， ∴将代入，得：， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得，直线和抛物线的解析式分别为，． 两个解析式联立得， 解得或（不合题意，舍去） 即点B的坐标为． ②由图象知，不等式的解集为． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式的关系． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线与x轴交点坐标可得抛物线在x轴上和上方时x的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴当时，， ∴不等式的解集为． 8．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，二次函数 的图象过点和点， 对称轴为直线 (1)求该二次函数的解析式； (2)若， 求函数y的取值范围； (3)C为点B关于抛物线的对称轴的对称点，直线经过A，C两点，根据图象直接写出满足的x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象的性质，解题关键时熟练掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）设抛物线交点式求解. （2）根据开口方向和对称轴可得时最大,时最小, 进而求解. （3）根据点坐标及对称轴求出点坐标，然后根据图象抛物线在直线上方的的范围求解． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线, ∴抛物线与轴另一交点坐标为， 设抛物线解析式为, 把代入解析式得, 解得, ; （2）解：∵抛物线对称轴为直线, , ∴当时, 为最大值， 时, 为最小值, ∴时,； （3）∵点坐标为, 对称轴为直线, ∴点坐标为, 由图象可得时，抛物线在直线上方， 时,． 9．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数． (1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； (2)若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线 ∴ ∴ ∴当时， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为． 题型八　二次函数的应用 例题：（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为∶ (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）设拱桥抛物线的函数表达式为：，根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （3）令求得的值，再与3.2比较大小即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：， 相邻两支柱间的距离均为， ， ，两点都在抛物线上， ， ， ． （2）解：由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到或的距离为9米，三辆车并排宽共6米， 因此只需考虑当时，的值与3.2的大小即可判定， 当时，， 不能并排行驶宽、高的三辆汽车． 巩固训练 1．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；； (2)能， (3)当时，有最大值 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ； ， ， ， ； （2）当时，， ， ， 或（舍去）， 当时，矩形实验田的面积能达到； （3）， 当时，有最大值． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求出a，b的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较再计算即可． 【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． （2）由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二次则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 3．（北京市昌平一中教育集团2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷）年巴黎奥运会，中国跳水队史上首次包揽所有项目的8块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条拋物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点的水平距离为时，离水面的高度为．求： (1)关于的函数表达式： (2)运动员从起跳点到入水点的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）根据题意，得抛物线的对称轴为直线，经过点，． 设关于的函数表达式为．   ，即， 解得， 关于的函数表达式为． （2）令，则， 解得或（不合题意，舍去）． 运动员从起跳点到入水点的水平距离为 4．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，二次函数图象交坐标轴于点，，点P为线段上一动点． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)线段的最大值为；此时的面积 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，表示出，根据二次函数的性质求得的最大值，进而根据三角形的面积公式，即可求解； 【详解】（1）解：∵二次函数图象交坐标轴于点． ， 解得：， ， ， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， 设直线的解析式为，代入，则， ， ∴直线的解析式为， 设， 则， ∴， ∵， 当时，有最大值，最大值为， ∴． 5．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点，与x轴相交于点 A、B． (1)求抛物线的表达式，及A、B两点的坐标； (2)点F 是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与轴的交点，二次函数与特殊的四边形的综合．熟练掌握二次函数的解析式，二次函数与轴的交点，二次函数与特殊的四边形的综合是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，则，可求，则抛物线的表达式为；当时，，计算求解，进而可求； （2）设，由，可知当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，分，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 当时，， 解得，，， ∴； （2）解：设， ∵， ∴当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，分，两种情况求解； 当时，，，如图1， ∴关于对称轴直线对称， ∴； 当时，如图2，记的交点为， ∴， 解得，， ∴，， 综上所述，存在，点F 的坐标为或或． 6．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)自行车车棚的长为，宽为 (3)自行车车棚面积最大可达到，计算见解析 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽．另外，一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过8米； （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由，解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：自行车车棚的长为57m，宽为5m． （3）解：自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ，， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到． 7．（24-25九年级上·全国·期中）周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 【答案】(1) (2)当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，解方程求出自变量x的值，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为，将代入得： ， 解得， ， 答：抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 他与小江的水平距离为或， 答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或． 8．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习） 安全驾驶：合理车距的保持艺术 背景 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作匀速直线运动． 素材 司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）整个停车距离为． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离___（用含的代数式表示） 任务二 探索研究方法 若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米 任务三 尝试解决问题 某司机开车上班途中发现正前方米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 【分析】任务一：根据列式表示即可； 任务二：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解； 任务三：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：任务一：由题意得，， 故答案为：； 任务二：当时，； 任务三：把代入得，， 解得（不合，舍去），， 答：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 二次函数知识归纳与题型突破（题型清单） 二次函数的概念 1、定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 注意： 二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0，而b、c为任意实数。 当b=c=0时，二次函数是最简单的二次函数。 二次函数是常数，自变量的取值为全体实数 （为整式） 2、三种函数解析式： （1）一般式： （a≠0）， 对称轴：直线x= 顶点坐标：( ) （2）顶点式：（a≠0）， 对称轴：直线x= 顶点坐标为（, ） （3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）, 对称轴:直线x= (其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标). 二次函数的图象 1、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线. 2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤. 注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到 3、二次函数的图像的画法 因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是： 先找出顶点坐标，画出对称轴； 找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； 把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来. 二次函数的性质 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 （轴） （0,0） （轴） (0, ) (,0) (,) () 注：常用性质： 1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a<0时，函数开口方向向下； 2、增减性： 当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大； 当a<0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少； 3、最大或最小值： 当a>0时，函数有最小值，并且当x= ， y最小 ＝ 当a<0时，函数有最大值，并且当x= ， y最大 ＝ 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标 ①的符号决定抛物线的开口方向 ②对称轴平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线. ③顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 抛物线中a、b、c的作用 a决定抛物线的开口方向和开口大小 的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a<0时，函数开口方向向下； 的大小决定抛物线的开口大小：当越大时，开口越小； 当越小时，开口越大； 相等，抛物线的开口大小、形状相同. a和b共同决定抛物线的对称轴位置。（x=） 左同右异：①如果对称轴在Y轴左侧，则a、b符号相同。 ②如果对称轴在Y轴右侧，则a、b符号相反。 注意：①时，对称轴为轴； ②（即、同号）时，对称轴在轴左侧； ③（即、异号）时，对称轴在轴右侧. c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。（于y=kx+b中的b作用相同） 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： 注意点： ①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴； ③,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 抛物线的平移 方法：左加右减，上加下减 抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式 ――――――――――――――→ 向上（k>0）向下（k<0）平移︱k︱个单位 ↓ 向上（k>0）向下（k<0）平移︱k︱个单位 ↓ ―――――――――――→ 二次函数是常数，的最大值和最小值的求法 二次函数是否有最值，由a的符号确定。 当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x= ， y最小 ＝ 当a<时，抛物线有最高点，函数有最大值，当x= ， y最大 ＝ 注：如果自变量x有取值范围，则另当别论。 用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：. 抛物线（与x轴的交点个数 与x轴交点，令y＝0，则有 即解一元二次方程 1 当△>0时，方程 有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个不同的交点。 ②当△＝0时，方程 有两个相等的实数根，即抛物线与x轴有一个交点。 ③当△< 0时，方程 无实数根，抛物线与x轴没有交点。 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 注：次公式的推导依据一元二次方程（韦达定理）的知识，需理解记忆！ 直线与抛物线的交点问题 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). 重要的结论 1、对于二次函数 而言 ①b=0时 对称轴为 x=0 ②c=0时 抛物线过原点 ③函数值y>0 恒成立 ｛｝ 0 0 a ④函数值y<0恒成立 0 0 a 2、的对称问题 1 关于x轴对称 2 关于y轴对称 3 关于原点轴对称 二次函数的应用 1、理论应用 2、实际应用 3、跨学科综合题 题型一　二次函数的概念 例题：（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知是关于的二次函数，求的值． 巩固训练 1．（24-25九年级上·天津·阶段练习）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（九年级上·浙江杭州·期中）在下列函数表达式中，属于二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数中，是关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 6．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若是二次函数，则m的值是 ． 7．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）关于的函数是二次函数，则的值是 ． 8．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如果是二次函数，则 ． 题型二　二次函数的图象与性质 例题：（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数（）． (1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴． (2)已知点，，，都在该二次函数图象上， ①请判断与的大小关系：_________（用“>”“=”“<”填空）； ②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期中）若抛物线顶点坐标在第一象限，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知二次函数．下列结论正确的是（    ） A．其图像的开口向下 B．图像的对称轴为直线 C．函数有最小值为 D．当时，随的增大而减小 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）点，在抛物线上，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）二次函数的对称轴为直线，且经过点，且有最大值．下列结论： ①开口向下； ②； ③关于x的方程的另一个根是； ④点和点在抛物线上时，；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）已知抛物线下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 6．（24-25九年级上·重庆·期中）二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口方向向下 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．经过点 9．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）关于二次函数的说法，下列正确的是（ ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．函数有最大值为2 C．函数图象对称轴为 D．函数图象开口向上 10．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列关于二次函数的说法，正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象向右平移3个单位则变为 C．当时，有最大值 D．当时，y随x的增大而增大 11．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列关于抛物线 的结论，正确的是（    ） A．开口方向向上 B．对称轴为直线 C．当时， 函数有最小值为 D．当时， y随x的增大而减小 12．（24-25九年级上·全国·期中）当时，二次函数的最大值为 ． 13．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如果抛物线的对称轴是直线，则 ． 14．（24-25九年级上·河南·期中）二次函数图象的顶点坐标为 ． 15．（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）抛物线的对称轴为直线，且经过点，，则试比较与的大小： （填“＞”“＜”或“＝”）． 16．（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）若点， ， 均在二次函数 的图象上，则，，的大小关系是 ． （用“<”连接） 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线（b，c为常数）的顶点横坐标是抛物线顶点横坐标的2倍． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①求t（请用含的代数式表示）； ②若且，求t的最大值． 题型三　二次函数图象与各项系数符号 例题：（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，抛物线（，，为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的有（    ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 2．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 5．（九年级上·浙江杭州·期中）函数与的图象如图所示，有以下结论：；；当时，；当时，．其中正确的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，已知顶点为的抛物线过，下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③：④若，则；⑤，其中结论正确的为 ．（填序号） 7．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论①；②；③；④若，则．其中正确的是： ． 题型四　一次函数、反比例函数、二次函数图象综合 例题：（24-25九年级上·全国·单元测试）已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A．B．C．D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 3．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）学习的函数图象及性质后，小星在同一平面直角坐标系中作出和的函数图象，其中正确的是（   ） A．B．C． D． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   5．（2023·山西太原·三模）在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 7．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中图象可能是（    ） A．B．C． D． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 9．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C． D． 10．（2024·全国·二模）如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　   ） A．B．C． D． 11．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）二次函数的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 12．（2023九年级·山东泰安·学业考试）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A．B．C．D． 题型五　二次函数图象的平移 例题：（24-25九年级上·北京东城·期中）把抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 巩固训练 1．（九年级上·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，如果把抛物线向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）把抛物线向左平移2个单位、向下平移1个单位后得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）将二次函数的图象，先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·全国·期中）将函数的图象向左平移5个单位长度后，得到的函数解析式为（  ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·河南·期中）若坐标平面上二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合，则a、b、c的值可能为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 题型六　不共线三点确定二次函数的表达式 例题：（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求当时，直接写出函数值的取值范围． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河南周口·期中）形状、开口方向与抛物线相同，且顶点为的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线与的形状相同，开口方向相反，且经过点，则其解析式为 ． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，直线与抛物线在同一坐标系内．已知点，点．求直线与抛物线的函数解析式． 4．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上？ 5．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）已知二次函数 ． (1)若二次函数过点，求二次函数的表达式； (2)若点和点在该二次函数图象上，求n的值． 6．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）已知二次函数的图象以为顶点，且过点 (1)求该函数图象抛物线的解析式； (2)将函数图象向右平移几个单位，该函数图象恰好经过原点． 7．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求函数解析式． (2)当y随x的增大而减小时，写出自变量的取值范围． 8．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线的图象经过点和点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线经过，，三点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 题型七　二次函数与一元二次方程的联系 例题1：（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，利用图象回答： (1)方程的解是______． (2)方程的解是______． (3)方程的解是______． (4)方程的解的情况怎样？ 例题2：（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求二次函数的解析式； (2)写出不等式的解集； (3)写出随的增大而减小时自变量的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期中）若二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是（　） A． B． C．且 D． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象，则不等式的解集是 ． 4．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点． (1)该二次函数的对称轴为 (2)方程的解为 ； (3)不等式的解集为 ； (4)描述当时该二次函数的增减性： ． 5．（北京市昌平一中教育集团2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷）已知：二次函数． (1)若图象经过原点，求二次函数的表达式； (2)求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 6．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线与直线相交于点和点B．    (1)________，_________； (2)①求点B的坐标； ②结合图象直接写出不等式的解集． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集． 8．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，二次函数 的图象过点和点， 对称轴为直线 (1)求该二次函数的解析式； (2)若， 求函数y的取值范围； (3)C为点B关于抛物线的对称轴的对称点，直线经过A，C两点，根据图象直接写出满足的x的取值范围． 9．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数． (1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； (2)若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 题型八　二次函数的应用 例题：（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为∶ (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 巩固训练 1．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 2．（24-25九年级上·吉林·期中）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求出a，b的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 3．（北京市昌平一中教育集团2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷）年巴黎奥运会，中国跳水队史上首次包揽所有项目的8块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条拋物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点的水平距离为时，离水面的高度为．求： (1)关于的函数表达式： (2)运动员从起跳点到入水点的水平距离． 4．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，二次函数图象交坐标轴于点，，点P为线段上一动点． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积． 5．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点，与x轴相交于点 A、B． (1)求抛物线的表达式，及A、B两点的坐标； (2)点F 是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 7．（24-25九年级上·全国·期中）周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 8．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习） 安全驾驶：合理车距的保持艺术 背景 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作匀速直线运动． 素材 司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）整个停车距离为． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离___（用含的代数式表示） 任务二 探索研究方法 若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米 任务三 尝试解决问题 某司机开车上班途中发现正前方米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$