等比数列学案-2025届高三数学一轮复习

等比数列 一、知识梳理 1.等比数列的概念 (1)等比数列:一般地,如果一个数列从第　　项起,每一项与它的前一项的比都等于　　　　　　　　,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的　　　　　,公比常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为=q(n∈N*,n≥2)或=q(n∈N*).  (2)等比中项:若三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项,且有　　　　.  2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an=　　　　　　(n∈N*);  (2)前n项和公式:Sn=或Sn= 3.等比数列的性质 (1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,m∈N*). (2)若数列{an}为等比数列,且m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,q∈N*). (3)若数列{an}是等比数列,公比为q,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公比为qm的等比数列. (4)如果等比数列{an}的前n项和为Sn,那么(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列. 不能认为在任何等比数列中,都有Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列 （5）当等比数列{an}的项数为偶数,公比为q时,=q.　 4、等比数列的单调性 　当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.　　　　　　　　　　 常用结论 1.若数列{an},{bn}为等比数列,则{λan}(λ≠0),{|an|},,{},{anbn},仍为等比数列. 2.若数列{an}为公比不为1的等比数列,其前n项和Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有 A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则数列{an}必为等比数列. 3.若非零数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=kan+b(k≠0,k≠1),则数列{an}必为等比数列. 题型一 等比数列基本量的运算 【例1】设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=(　　). A.31 B.32 C.63 D.64 【对点1】在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是　　　　　.  【对点2】已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=(　　) A.21 B.42 C.63 D.84 【对点3】若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+...... +ln a20=　　　　.  【对点4】等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3= , S6=,则a8=　　　　　.  题型二 等比数列的性质 【例2】(1)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　) A.120 B.85 C.-85 D.-120 (2)已知正项等比数列{an}共有2n项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=　　　　. 【对点1】已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=_________. 【对点2】记Sn为等比数列{an}的前n项和,且,则___________. 【对点3】记Sn为等比数列{an}的前n项和,若成等差数列，则___________. 【对点4】记Sn为等比数列{an}的前n项和,且，则___________. 题型三等比数列的判定与证明 【例3】已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1) 证明:{an+bn}是等比数列 【对点1】在数列{an}中,a1=1,且an+1=2an+n-1. （1）证明:数列{an+n}为等比数列,并求出an; 【对点2】已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1. (1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式; 学科网（北京）股份有限公司 $$